準射影多様体

1：$Y$ を射影多様体 $X$ の空でない開集合とする。既約な空間 $X$ の空でない開集合は既約かつ稠密なので、$Y$ は既約で $\overline Y=X$ であり、$Y$ は $\overline Y$ の開集合である。逆に $Y$ が既約で $\overline Y$ の開集合なら、既約集合の閉包は既約なので $\overline Y$ は射影多様体であり、$Y$ はその空でない開集合である。
2：$Y=\overline Y\cap O$（$O$ は $\mathbb P^n$ の開集合）と書く。空でない開集合 $W=Y\cap O'$ は $\overline Y\cap(O\cap O')$ なので射影多様体 $\overline Y$ の空でない開集合である。$Z\subset Y$ が既約閉集合なら $Z=Y\cap\overline Z=\overline Z\cap O$ であり、$Z$ は射影多様体 $\overline Z$ の空でない開集合である。
3：$V=\overline V\cap O$（$\overline V$ は $\mathbb A^n$ の閉包、$O$ は開集合）とする。$\varphi_0$ は同相なので $\varphi_0^{-1}(V)$ は既約で、$U_0$ の局所閉集合であり、$U_0$ は $\mathbb P^n$ の開集合だから $\mathbb P^n$ の局所閉集合である。1 により準射影多様体である。射影多様体はそれ自身の開集合である。$\square$

$g\notin I(Y)$ だから $Y_g$ は $Y$ の空でない開集合で、既約である。$W$ は閉集合であり、$(P,b)\in W$ は $P\in Y$ かつ $bg(P)=1$ を意味する。$\psi$ の成分 $x_j$ と $1/g$ は $Y_g$ 上の正則関数なので $\psi$ は射であり（Har77 Lemma I.3.6、p. 20）、射影 $\pi\colon W\to Y_g$、$(P,b)\mapsto P$ も多項式で与えられる射である。$\pi\circ\psi$ と $\psi\circ\pi$ は恒等写像なので（$(P,b)\in W$ では $b=1/g(P)$）、$\psi$ は同型である。とくに $W$ は既約な $Y_g$ と同相なので既約であり、アフィン多様体である。$\square$

$P\in U_i$ となる $i$ をとる。$U\cap U_i$ は $Y$ の開集合で $P$ を含むので、prop-qpv-locally-closed の 2 により準射影多様体であり、$\varphi_i$ で $\mathbb A^n$ に移した $V_1:=\varphi_i(U\cap U_i)$ は既約な局所閉集合、すなわち準アフィン多様体である。$\overline{V_1}$ を $\mathbb A^n$ での閉包とし、$Z:=\overline{V_1}\setminus V_1$ とおく。$V_1$ は $\overline{V_1}$ の開集合なので $Z$ は閉集合であり、$P':=\varphi_i(P)\notin Z$ である。零点定理により $Z=V(I(Z))$ だから、$g(P')\neq0$ となる $g\in I(Z)$ がある。
$\overline{V_1}$ はアフィン多様体で $g\notin I(\overline{V_1})$ なので、lem-qpv-basic-open により $W_1:=\{Q\in\overline{V_1}\mid g(Q)\neq0\}$ はアフィン多様体と同型である。$g$ は $Z$ 上で消えるから $W_1\subset V_1$ であり、$W_1$ は $P'$ を含む $V_1$ の開集合である。$V:=\varphi_i^{-1}(W_1)$ は $P\in V\subset U\cap U_i\subset U$ を満たす開集合で、$\varphi_i$ は同型なので $V$ はアフィン多様体と同型である。
最後の主張：各点にこのような開近傍をとると $Y$ の開被覆が得られる。$\mathbb P^n$ は Noether 空間なのでその部分空間 $Y$ も Noether 空間で、開被覆は有限部分被覆をもつ。$\square$

$\ell$ についての帰納法による。$\ell=0$ なら $\mathfrak m=0$ なので $B$ は体で、$\dim B=0$ である。$\ell\ge1$ とする。$\operatorname{ht}\mathfrak p_1\ge2$ なら $\mathfrak q_0\subsetneq\mathfrak q_1\subsetneq\mathfrak p_1$ となる素イデアルがあり、$0\subsetneq\mathfrak q_1\subsetneq\mathfrak p_1$ が挟めない仮定に反する。よって $\operatorname{ht}\mathfrak p_1=1$ であり、次元公式の命題「有限型整域の高さと残る次元」により $\dim B/\mathfrak p_1=\dim B-1$ である。$B/\mathfrak p_1$ も $k$ 上有限生成な整域で、$\mathfrak p_1/\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak m/\mathfrak p_1$ は長さ $\ell-1$ の挟めない鎖だから、帰納法の仮定により $\ell-1=\dim B-1$ である。$\square$

不等式 $\le$：$Y$ の既約閉集合の真の列 $Z_0\subsetneq\cdots\subsetneq Z_\ell$ について、$Z_j=Y\cap\overline{Z_j}$ なので閉包 $\overline{Z_j}$ も真の列をなし、既約である。よって $\dim Y\le\dim\overline Y$ である。
準アフィンの場合の $\ge$：$Y\subset\mathbb A^n$ を準アフィン多様体、$X:=\overline Y$、$B:=A(X)$ とする。$\dim X=\dim B$ は有限なので、上の不等式から $Y$ の列の長さは有限で抑えられる。点 $P\in Y$ をとり、列 $\{P\}\subsetneq Y$ を、間に既約閉集合を挟めなくなるまで細分した列 $\{P\}=Z_0\subsetneq\cdots\subsetneq Z_\ell=Y$ をとる。閉包の列 $\{P\}=\overline{Z_0}\subsetneq\cdots\subsetneq\overline{Z_\ell}=X$ も挟めない。実際、$X$ の既約閉集合 $T$ が $\overline{Z_j}\subsetneq T\subsetneq\overline{Z_{j+1}}$ を満たすなら、$T\cap Y$ は $P$ を含むので $T$ の空でない開集合であり、既約で $T$ で稠密である。$Z_j\subset T\cap Y\subset Z_{j+1}$ で、$T\cap Y$ は $Y$ の閉集合であり、その閉包は $T$ だから両端のどちらとも異なる。これは挟めない仮定に反する。零点定理により、この列は $B$ の素イデアルの挟めない鎖 $0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak m_P$ に対応し、lem-qpv-saturated-chain により $\ell=\dim B$ である。よって $\dim Y\ge\dim X$ である。
一般の場合：$Y$ の既約閉集合の真の列 $Z_0\subsetneq\cdots\subsetneq Z_\ell$ について、$Z_0$ と交わる $U_i$ をとると、各 $Z_j\cap U_i$ は $Z_j$ の空でない開集合で稠密だから、$Y\cap U_i$ の既約閉集合の真の列を与える。逆向きは閉包をとればよい。よって $\dim Y=\max_i\dim(Y\cap U_i)$（$Y\cap U_i\neq\emptyset$ となる $i$ にわたる最大）であり、$\overline Y$ についても同様である。$Y\cap U_i$ は $\overline Y\cap U_i$ で稠密な開集合であり、$\varphi_i$ で移すと準アフィン多様体とその閉包になるので、前段により $\dim(Y\cap U_i)=\dim(\overline Y\cap U_i)$ である。以上から $\dim Y=\dim\overline Y$ である。
最後に、$U$ は既約な $Y$ で稠密なので $\overline U=\overline Y$ であり、$\dim U=\dim\overline U=\dim\overline Y=\dim Y$ である。$\square$

$X$ は $\mathbb A^2$ の空でない開集合なので、prop-qpv-locally-closed の 3 により準射影多様体である。
大域関数：$D(x):=\{x\neq0\}\subset\mathbb A^2$ は lem-qpv-basic-open によりアフィン多様体 $V(x_3x-1)\subset\mathbb A^3$ と同型である。$k[x,y,x_3]/(x_3x-1)\cong k[x,y]_x$ は整域なので $(x_3x-1)$ は素イデアルであり、零点定理により $I(V(x_3x-1))=(x_3x-1)$、座標環は $k[x,y]_x$ だから $\mathcal O(D(x))=k[x,y]_x$ である。$D(y)$ も同様である。$f\in\mathcal O(X)$ をとると $X=D(x)\cup D(y)$ で、$f=a/x^m$（$D(x)$ 上）、$f=b/y^l$（$D(y)$ 上）と書ける。$D(xy)$ 上で $ay^l=bx^m$ が関数として成り立ち、$D(xy)$ は $\mathbb A^2$ で稠密で、二つの多項式が一致する点の集合は閉集合だから、$ay^l=bx^m$ は $\mathbb A^2$ 全体で成り立ち、$k$ は無限体なので多項式として等しい。$k[x,y]$ は一意分解整域で $x\nmid y^l$ だから $x^m\mid a$ であり、$c:=a/x^m\in k[x,y]$ について $D(x)$ 上で $f=c$ である。$D(y)$ 上でも $f$ と $c$ は空でない開集合 $D(xy)$ で一致する。正則関数は $\mathbb A^1$ への連続写像なので（Har77 Lemma I.3.1、p. 15）一致する点の集合は閉集合であり、既約な $D(y)$ の稠密な部分を含むので $D(y)$ 全体で $f=c$ である。よって $f$ は多項式 $c$ の制限であり、制限 $k[x,y]\to\mathcal O(X)$ は $X$ が稠密なので単射でもある。
アフィンでない：同型 $\phi\colon X\to Y$（$Y$ はアフィン多様体）があるとする。引き戻し $\phi^*\colon A(Y)=\mathcal O(Y)\to\mathcal O(X)=k[x,y]$ は $k$ 代数の同型で、$(\phi^*f)(P)=f(\phi(P))$ を満たす。極大イデアル $(x,y)$ の逆像は $A(Y)$ の極大イデアルなので、ある $Q\in Y$ について $\mathfrak m_Q$ である。$P:=\phi^{-1}(Q)\in X$ とすると、$\phi^*f=x$ となる $f$ は $\mathfrak m_Q$ に属するので $x(P)=f(Q)=0$、同様に $y(P)=0$ であり、$P=(0,0)\notin X$ となって矛盾する。
射影的でない：射影多様体 $Z$ では $\mathcal O(Z)=k$ である（Har77 Theorem I.3.4(a)、p. 18。スキームの言葉では射影多様体の命題「射影多様体の大域関数」）。同型は正則関数の環の同型を引き起こすが、$\mathcal O(X)=k[x,y]\neq k$ である。$\square$