半完全環

1：$x\in J$ で $1-yx$ が左逆元をもたないなら、$R(1-yx)$ は $R$ と異なる左イデアルなので、Zornの補題により極大左イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれる。$x\in\mathfrak{m}$ から $yx\in\mathfrak{m}$ であり、$1=(1-yx)+yx\in\mathfrak{m}$ となって矛盾する。逆に $x\notin\mathfrak{m}$ となる極大左イデアル $\mathfrak{m}$ があれば $\mathfrak{m}+Rx=R$ なので $1=a+yx$（$a\in\mathfrak{m}$）と書け、$1-yx=a$ が左逆元 $z$ をもつと $1=za\in\mathfrak{m}$ となって矛盾する。

2：$J$ は左イデアルの共通部分なので左イデアルである。$x\in J$ とすると、1 により $u(1-x)=1$ となる $u$ がある。$u=1+ux$ で $ux\in J$ なので、1 により $wu=1$ となる $w$ があり、$w=wu(1-x)=1-x$ である。よって $u$ は $1-x$ の両側の逆元である。次に $x\in J$、$r,y\in R$ とする。$ryx\in J$ なので $1-ryx$ は単元であり、その逆元を $v$ とすると $(1+yxvr)(1-yxr)=1-yxr+yxv(1-ryx)r=1$ である。1 により $xr\in J$ であり、$J$ は両側イデアルである。

3：単純左加群 $S$ の $0$ でない元 $s$ について $Rs=S$ であり、零化イデアル $\operatorname{Ann}(s)$ は $R/\operatorname{Ann}(s)\cong S$ が単純なので極大左イデアルである。よって $J\subset\operatorname{Ann}(s)$ であり、$x\in J$、$r\in R$ について $xr\in J$ だから $x(rs)=(xr)s=0$ である。$N$ が $M$ の極大部分加群なら $M/N$ は単純なので $J(M/N)=0$、すなわち $JM\subset N$ である。

4：$M\neq0$ を有限個の元 $m_1,\dots,m_q$ で生成されるとする。真の部分加群の鎖の合併は $m_1,\dots,m_q$ をすべて含むことはない（含めば鎖のある 1 つの元がすべてを含む）ので真の部分加群であり、Zorn の補題により極大部分加群 $N$ がある。3 により $JM\subset N\neq M$ である。

5：$\bar u\bar v=\bar v\bar u=1$ となる $v$ をとると $uv=1-j$、$vu=1-j'$（$j,j'\in J$）であり、2 によりこれらは単元である。よって $u$ は右逆元 $v(1-j)^{-1}$ と左逆元 $(1-j')^{-1}v$ をもち、単元である。$\square$

1：証明は 冪零イデアル の記事の命題「冪等元の持ち上げ」の 1 と同じである。$\varepsilon$ の代表元 $x$ をとると $x-x^2\in I$ はある $N$ で $(x-x^2)^N=0$ を満たし、$f:=\sum_{k=N}^{2N-1}\binom{2N-1}{k}x^k(1-x)^{2N-1-k}$ が $\bar f=\varepsilon$ となる冪等元である。そこで使うのは、現れる元がすべて $x$ の多項式で互いに交換することだけなので、可換でない環でもそのまま成り立つ。

2：まず次を示す。（＊）$e\in R$ を冪等元、$\varepsilon\in R/I$ を $\bar e\varepsilon=\varepsilon\bar e=0$ となる冪等元とすると、$\bar g=\varepsilon$ かつ $eg=ge=0$ となる冪等元 $g\in R$ がある。実際、$\varepsilon$ を冪等元 $f$ に持ち上げると $ef,fe\in I\subset J$ である。lem-spr-jacobson の 2 により $u:=1-ef$ は単元で、$\bar u=1$ である。$f_1:=ufu^{-1}$ は冪等元で $\bar f_1=\varepsilon$ であり、$eu=e-ef$ から $euf=ef-ef=0$、よって $ef_1=0$ である。$g:=f_1(1-e)$ とおくと $g^2=f_1(f_1-ef_1)(1-e)=f_1^2(1-e)=g$、$eg=ef_1(1-e)=0$、$ge=f_1(1-e)e=0$、$\bar g=\varepsilon(1-\bar e)=\varepsilon$ である。

本題：$n=1$ なら $e_1=1$ とする。$n\ge2$ とし、$k=0$ から順に、直交する冪等元 $e_1,\dots,e_k$（$k\le n-2$）で $\bar e_i=\varepsilon_i$ となるものが得られたとし、$e:=e_1+\cdots+e_k$ とおく。$e$ は冪等元で $\bar e=\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_k$ は $\varepsilon_{k+1}$ と直交するので、（＊）により $\bar g=\varepsilon_{k+1}$、$eg=ge=0$ となる冪等元 $g$ がある。$e_ie=e_i=ee_i$ なので $e_ig=e_ieg=0$、$ge_i=gee_i=0$ であり、$e_{k+1}:=g$ とおけば直交性が保たれる。こうして $e_1,\dots,e_{n-1}$ を作り、$e_n:=1-(e_1+\cdots+e_{n-1})$ とおくと、$e_n$ は冪等元で $e_1,\dots,e_{n-1}$ と直交し、$\bar e_n=1-(\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_{n-1})=\varepsilon_n$ である。$\square$

1：$\varphi(e)=\varphi(e\cdot e)=e\varphi(e)\in eM$ であり、$x\in Re$ について $\varphi(x)=\varphi(xe)=x\varphi(e)$ なので $\varphi$ は $\varphi(e)$ で決まる。$m\in eM$ なら $x\mapsto xm$ は準同型で $e$ を $em=m$ に送る。$M=Re$ のとき $a\in eRe$ に対応する準同型を $\rho_a(x)=xa$ とすると $\rho_a\circ\rho_b=\rho_{ba}$ なので、$a\mapsto\rho_a$ は反同型である。

2：$J$ は両側イデアルなので $eJe\subset J\cap eRe$ であり、$ere\in J$ なら $ere=e(ere)e\in eJe$ である。よって $eJe$ は環準同型 $eRe\to\bar R$、$s\mapsto\bar s$ の核であり、像は $\bar e\bar R\bar e$ である。$x\in eJe$ なら $ex=x=xe$ なので $e$ は $1-x$ とも、その逆元 $v$（lem-spr-jacobson の 2）とも交換する。$e-x=e(1-x)$ だから $(e-x)(ev)=e(1-x)v=e$、$(ev)(e-x)=ev(1-x)e=e$ であり、$ev=eve\in eRe$ が逆元である。

3：$x\in J\cap Re$ なら $x=xe\in Je$ である。$Re$ の極大部分加群 $N$ について、lem-spr-jacobson の 3 により $Je=J\cdot Re\subset N$ である。逆に $x$ が $Re$ のすべての極大部分加群に属するとする。極大左イデアル $\mathfrak{m}$ について、合成 $Re\to R\to R/\mathfrak{m}$ は単純加群 $R/\mathfrak{m}$ への準同型なので $0$ か全射であり、全射ならその核 $Re\cap\mathfrak{m}$ は $Re$ の極大部分加群で $x$ を含み、$0$ なら $Re\subset\mathfrak{m}$ である。どちらでも $x\in\mathfrak{m}$ なので、$x\in J\cap Re=Je$ である。

4：$eRe$ は零環でないので $e\neq0$ である。$e\in J$ なら $1-e$ が単元で $e(1-e)=0$ から $e=0$ となるので、$e\notin J$、すなわち $Je\neq Re$ である。$Re$ は $e$ で生成されるので、lem-spr-jacobson の 4 の証明と同じく、真の部分加群はどれも極大部分加群に含まれる。極大部分加群 $N_1\neq N_2$ があったとすると $N_1+N_2=Re$ であり、$e=n_1+n_2$（$n_i\in N_i$）と書ける。左から $e$ を掛けて $e=en_1+en_2$ であり、$en_i=en_ie\in N_i\cap eRe$ である。$eRe$ の単元でない元の全体はイデアルなので、$en_1,en_2$ の一方、たとえば $en_1$ は $eRe$ の単元であり、逆元 $s\in eRe$ について $e=s(en_1)\in N_1$、すなわち $N_1=Re$ となって矛盾する。よって極大部分加群はただ 1 つで、3 によりそれは $Je$ である。$\square$

同型 $S\varepsilon\to S\varepsilon'$ とその逆は、$a\in\varepsilon S\varepsilon'$、$b\in\varepsilon'S\varepsilon$ による $x\mapsto xa$、$y\mapsto yb$ で与えられ、$ab=\varepsilon$、$ba=\varepsilon'$ である（$\varepsilon ab=\varepsilon$ と $a=\varepsilon a$ から）。同様に $a'\in(1-\varepsilon)S(1-\varepsilon')$、$b'\in(1-\varepsilon')S(1-\varepsilon)$ で $a'b'=1-\varepsilon$、$b'a'=1-\varepsilon'$ となるものがある。$w:=a+a'$、$w':=b+b'$ とおくと、$ab'=a\varepsilon'(1-\varepsilon')b'=0$ などから $ww'=ab+a'b'=1$、$w'w=ba+b'a'=1$ である。さらに $b'\varepsilon=0$、$\varepsilon a'=0$ から $w'\varepsilon w=b\varepsilon a=ba=\varepsilon'$ である。$\square$

左イデアルの減少列 $J\supset J^2\supset\cdots$ はある $k$ で止まる。$I:=J^k$ とおくと $I^2=I$ である。$I\neq0$ と仮定する。$IL\neq0$ となる左イデアル $L$ の全体は $L=I$ を含むので空でなく、左 Artin性により極小元 $L$ がある。$IL=\sum_{a\in L}Ia\neq0$ なので $Ia\neq0$ となる $a\in L$ があり、$Ia\subset L$ は $I(Ia)=I^2a=Ia\neq0$ を満たす左イデアルなので、極小性から $Ia=L\ni a$ である。よって $a=xa$ となる $x\in I\subset J$ があり、$1-x$ は単元（lem-spr-jacobson の 2）だから $a=0$ となって $Ia\neq0$ に反する。したがって $J^k=0$ である。

$\bar R$ の極大左イデアルは $J$ を含む $R$ の極大左イデアルと対応し、$R$ の極大左イデアルはすべて $J$ を含むので、$J(\bar R)=0$ である。$\bar R$ は左 Artin環なので、半単純環 の記事の定理「Artin 性による特徴づけ」により半単純環である。$J$ は冪零なので nil イデアルであり、lem-spr-lift の 1 により冪等元が持ち上がる。$\square$