Lemoineの円

段 1（(1) の証明）。$A$ を始点とするベクトルで考え、$\vec b=\overrightarrow{AB}$、$\vec c=\overrightarrow{AC}$ とおく。$\overrightarrow{AP}=\dfrac pc\vec b$、$\overrightarrow{AQ}=\dfrac qb\vec c$ なので

$$\overrightarrow{PQ}=\frac qb\vec c-\frac pc\vec b$$

である。$\overrightarrow{PQ}$ が $\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ の実数倍になるのは、$\vec b$ と $\vec c$ が平行でない（1 次独立な）ので、$\vec b$ と $\vec c$ の係数の比が同じとき、つまり $\dfrac qb=\dfrac pc$ のときに限る。これは 平行線と線分の比 の定理を、符号つきの長さで言い直したものである。

段 2（(2) の証明）。上で見たように、角 $A$ の二等分線に関する折り返しで、$P$ は直線 $AC$ の上の $\overline{AP^*}=p$ の点 $P^*$ に、$Q$ は直線 $AB$ の上の $\overline{AQ^*}=q$ の点 $Q^*$ に移る。直線 $PQ$ の像は直線 $Q^*P^*$ である。(1) を $Q^*$（直線 $AB$ の上、$\overline{AQ^*}=q$）と $P^*$（直線 $AC$ の上、$\overline{AP^*}=p$）に使うと、$Q^*P^*\parallel BC$ は $\dfrac qc=\dfrac pb$、つまり $pc=qb$ と同値である。$\overline{AB}=c$、$\overline{AC}=b$ なので、これは $\overline{AP}\cdot\overline{AB}=\overline{AQ}\cdot\overline{AC}$ と書ける。

段 3（(3) の証明）。$p,q>0$ のとき、$pc=qb$ は $\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}$ と同じである。三角形 $APQ$ と $ACB$ は角 $A$ を共有するので、2 辺の比とその間の角が等しく、相似である（三角形の相似条件）。逆に相似なら対応する辺の比から $\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}$ である。対応する角から $\angle APQ=\angle ACB=C$、$\angle AQP=\angle ABC=B$ となる。最後に、$AP\cdot AB=AQ\cdot AC$ は、点 $A$ を通る 2 本の直線の上の 4 点 $P$、$B$ と $Q$、$C$ について、方べきの定理（高校数学） の逆により 4 点が 1 つの円の上にあることと同値である。$\square$

方針：角 $A$ の二等分線に関する折り返しを $\sigma$ とする。類似中線は中線を $\sigma$ で折り返した直線である（類似重心 の定義）。$\sigma$ で移すと、反平行線は平行線に、類似中線は中線に移るので、「平行線の中点は中線の上にある」ことに帰着する。

段 1（折り返した点）。$p=\overline{AP}$、$q=\overline{AQ}$ とし、$\vec b=\overrightarrow{AB}$、$\vec c=\overrightarrow{AC}$ とする。$\sigma$ は $P$ を直線 $AC$ の上の $\overline{AP^*}=p$ の点 $P^*$ に、$Q$ を直線 $AB$ の上の $\overline{AQ^*}=q$ の点 $Q^*$ に移すので

$$\overrightarrow{AP^*}=\frac pb\,\vec c,\qquad \overrightarrow{AQ^*}=\frac qc\,\vec b$$

である。折り返しは距離を変えないので、線分 $PQ$ の中点 $M$ を線分 $P^*Q^*$ の中点 $M^*$ に移す。よって

$$\overrightarrow{AM^*}=\frac12\left(\frac qc\,\vec b+\frac pb\,\vec c\right)$$

である。

段 2（中線の上にある条件）。$BC$ の中点を $L$ とすると $\overrightarrow{AL}=\dfrac12(\vec b+\vec c)$ で、中線 $AL$ の上の点は $\overrightarrow{AX}=t(\vec b+\vec c)$（$t$ は実数）と書ける点である。$\vec b$ と $\vec c$ は 1 次独立なので、$M^*$ が中線の上にあるのは、段 1 の式の $\vec b$ と $\vec c$ の係数が等しいとき、つまり $\dfrac qc=\dfrac pb$ のときに限る。

段 3（まとめ）。$M$ が類似中線の上にあることは、$\sigma(M)=M^*$ が中線の上にあることと同値である（$\sigma$ で類似中線と中線が入れかわる）。段 2 より、これは $qb=pc$ と同値で、prop-lmc-anti (2) により $PQ$ が $BC$ の反平行線であることと同値である。$\square$

$A$ を始点とし、$\vec b=\overrightarrow{AB}$、$\vec c=\overrightarrow{AC}$、$\vec o=\overrightarrow{AO}$ とおく。

段 1（外心の内積）。$OB=OA$ なので $\lvert\vec b-\vec o\rvert^2=\lvert\vec o\rvert^2$ である。左辺を展開すると $\lvert\vec b\rvert^2-2\vec b\cdot\vec o+\lvert\vec o\rvert^2$ なので、$\vec b\cdot\vec o=\dfrac{c^2}2$ である。同じく $OC=OA$ から $\vec c\cdot\vec o=\dfrac{b^2}2$ である（ベクトルの内積（高校数学））。

段 2（反平行線の向き）。反平行線の上の 2 点 $P$、$Q$（直線 $AB$、$AC$ の上）について、$p=\overline{AP}$、$q=\overline{AQ}$ は $pc=qb$ を満たす（prop-lmc-anti (2)）。$k=\dfrac pb=\dfrac qc$ とおくと $p=kb$、$q=kc$ で、prf-lmc-anti の段 1 の式から

$$\overrightarrow{PQ}=\frac qb\vec c-\frac pc\vec b=k\left(\frac cb\vec c-\frac bc\vec b\right)$$

である。

段 3（内積が $0$）。段 1 を使うと

$$\vec o\cdot\overrightarrow{PQ}=k\left(\frac cb\cdot\frac{b^2}2-\frac bc\cdot\frac{c^2}2\right)=k\left(\frac{bc}2-\frac{bc}2\right)=0$$

である。よって $PQ\perp AO$ である。$\square$

方針：$F_1,F_2,D_1$ を通る円をとり、その方程式を 3 本の辺の上に制限すると 2 次式になる。2 次式の解と係数の関係（n次方程式の解と係数の関係）から、残りの 3 点も円の上にあることを示す。

段 1（円をとる）。$D_1$ は直線 $BC$ の上にあって $B$ と異なるので、直線 $AB$ の上にない（2 直線 $AB$、$BC$ の共有点は $B$ だけ）。よって 3 点 $F_1,F_2,D_1$ は一直線の上になく、この 3 点を通る円 $\Gamma$ がただ 1 つある。その方程式を $f(x,y)=x^2+y^2+lx+my+n=0$ とする。

段 2（直線の上に制限する）。点 $X$ と長さ $1$ のベクトル $\vec u$ をとり、直線 $X+s\vec u$ の上で $g(s)=f(X+s\vec u)$ を考える。$\lvert X+s\vec u\rvert^2=\lvert X\rvert^2+2s\,X\cdot\vec u+s^2$（点と位置ベクトルを同じ文字で書く）で、残りの項は $s$ の 1 次式なので

$$g(s)=s^2+\beta s+f(X)\qquad(\beta\text{ は定数})$$

の形になる。$s$ は $X$ からの符号つきの長さである。この直線が $\Gamma$ と 2 点 $Y_1$、$Y_2$ で交われば、$g$ は $\overline{XY_1}$、$\overline{XY_2}$ を解にもつ 2 次式で、$s^2$ の係数が $1$ なので $g(s)=(s-\overline{XY_1})(s-\overline{XY_2})$ である。特に $f(X)=g(0)=\overline{XY_1}\cdot\overline{XY_2}$ となる（これが方べきの定理である）。

段 3（$D_2$ も円の上）。直線 $AB$ は $\Gamma$ と $F_1$、$F_2$ で交わるので、段 2 により $f(B)=\overline{BF_1}\cdot\overline{BF_2}$、$f(A)=\overline{AF_1}\cdot\overline{AF_2}$ である。直線 $BC$ の上で $X=B$ として段 2 の $g(s)=s^2+\beta s+f(B)$ を考えると、$s_1=\overline{BD_1}$ が解の 1 つである。2 つの解の積は $f(B)$ なので、もう 1 つの解は

$$\frac{f(B)}{s_1}=\frac{\overline{BF_1}\cdot\overline{BF_2}}{\overline{BD_1}}=\frac{\overline{BD_1}\cdot\overline{BD_2}}{\overline{BD_1}}=\overline{BD_2}$$

である（条件 (ii) を使った。$s_1\ne0$ は $D_1\ne B$ による）。よって $D_2$ も $\Gamma$ の上にあり、直線 $BC$ の上で $g(s)=(s-\overline{BD_1})(s-\overline{BD_2})$ だから、$C$ を代入して $f(C)=\overline{D_1C}\cdot\overline{D_2C}=\overline{CD_1}\cdot\overline{CD_2}$ である。

段 4（$E_1$、$E_2$ も円の上）。直線 $CA$ の上で、$X=A$、$\vec u$ を $\overrightarrow{AC}$ の向きの長さ $1$ のベクトルとして $h(s)=f(A+s\vec u)=s^2+\beta' s+f(A)$ を考える。$e_1=\overline{AE_1}$、$e_2=\overline{AE_2}$ とおくと、条件 (i) と段 3 から定数項は $f(A)=e_1e_2$ である。$C$ は $s=b$ の点で、段 3 と条件 (iii) から

$$h(b)=f(C)=\overline{CD_1}\cdot\overline{CD_2}=\overline{CE_1}\cdot\overline{CE_2}=(e_1-b)(e_2-b)=b^2-(e_1+e_2)b+e_1e_2$$

である。一方 $h(b)=b^2+\beta'b+e_1e_2$ なので、$\beta'b=-(e_1+e_2)b$、$b\ne0$ で割って $\beta'=-(e_1+e_2)$ である。よって

$$h(s)=s^2-(e_1+e_2)s+e_1e_2=(s-e_1)(s-e_2)$$

で、$h(e_1)=h(e_2)=0$、つまり $E_1$、$E_2$ も $\Gamma$ の上にある。$\square$

段 1（$K$ は中点）。$K$ を通る $BC$ の反平行線が直線 $AB$、$AC$ と交わる点を $P_1$、$Q_1$ とする。この直線は $A$ を通らない（$A$ を通る反平行線の向きの直線は $A$ での外接円の接線で（ex-lmc-anti (2)）、円の内部の点 $K$ を通らない）ので、$P_1$、$Q_1$ は $A$ と異なる。lem-lmc-mid により、線分 $P_1Q_1$ の中点 $M$ は直線 $AK$ の上にある。$M$ も $K$ も、直線 $P_1Q_1$ と直線 $AK$ の両方の上にある。この 2 直線は異なる（$A$ を通るのは一方だけ）ので共有点はただ 1 つで、$M=K$ である。よって $KP_1=KQ_1$ である。

段 2（隣の反平行線と長さが等しい）。$K$ を通る $CA$ の反平行線（頂点 $B$ に関するもの）が直線 $AB$ と交わる点を $P_2$ とする。$K$ を通り $AB$ に垂直な直線 $m$ に関する折り返しを $\tau$ とする。$AB$ の垂直二等分線は $A$ と $B$ を入れかえ $O$ を動かさないので、直線 $AO$ と直線 $BO$ はこの垂直二等分線に関して対称である。$m$ はこの垂直二等分線に平行なので、$\tau$ は $AO$ に垂直な向きを $BO$ に垂直な向きに移す。lem-lmc-perp により $P_1Q_1\perp AO$、$K$ を通る $CA$ の反平行線は $BO$ に垂直なので、$\tau$ は（$K$ を動かさないので）直線 $P_1Q_1$ を $K$ を通る $CA$ の反平行線に移す。また $\tau$ は直線 $AB$ を自分自身に移す（$m\perp AB$）。よって $\tau(P_1)=P_2$ で、$KP_1=KP_2$ である。

段 3（まとめ）。段 1 を 3 本の反平行線に、段 2 を 3 本の辺に使うと、6 点から $K$ までの距離はすべて等しい。$\square$

$\sigma=a^2+b^2+c^2$ とおく。点 $X=\alpha A+\beta B+\gamma C$（$\alpha+\beta+\gamma=1$）のうち $\alpha$ が同じ 2 点 $X$、$X'$ では、$X-X'=(\beta-\beta')B+(\gamma-\gamma')C$ で $\beta-\beta'=-(\gamma-\gamma')$ なので、$X-X'$ は $C-B$ の実数倍である。よって $\alpha$ が一定の点の集まりは $BC$ に平行な直線である。$K=\dfrac{a^2A+b^2B+c^2C}\sigma$ を通り $BC$ に平行な直線は $\alpha=\dfrac{a^2}\sigma$ の直線で、辺 $AB$（$\gamma=0$）とは $F'=\dfrac{a^2}\sigma A+\dfrac{b^2+c^2}\sigma B$ で交わる。したがって $AF'=\dfrac{b^2+c^2}\sigma c$ である。同じく $CA$ に平行な直線は $\beta=\dfrac{b^2}\sigma$ の直線で、$F=\dfrac{a^2+c^2}\sigma A+\dfrac{b^2}\sigma B$、$AF=\dfrac{b^2}\sigma c$ である。よって

$$AF=\frac{b^2c}\sigma,\qquad FF'=AF'-AF=\frac{c^2\cdot c}\sigma,\qquad F'B=c-AF'=\frac{a^2c}\sigma$$

で、比は $b^2:c^2:a^2$ である。ほかの辺も同じである。$\square$