計算尺と対数

下の物差しの目盛 $2$ に、上の物差しの目盛 $0$ を合わせる。上の物差しの目盛 $3$ は、上の物差しの $0$ から長さ $3$ の位置にあるので、下の物差しの $0$ からは長さ $2+3=5$ の位置にある。真下の目盛は $5$ で、$2+3=5$ が読める。

長さ $L=25$ cm の物差しに、$1$ から $10$ までの数 $x$ を、左端から $L\log_{10}x$ の位置に書く（1 桁分の対数目盛）。$2$ は $25\times0.30103=7.526$ cm、$3$ は $25\times0.47712=11.928$ cm の位置にある。
同じ物差しを 2 本用意し、下の物差しの $2$ に上の物差しの左端 $1$ を合わせる。上の物差しの $3$ は、上の物差しの左端から $11.928$ cm の位置にあるので、下の物差しの左端からは
$$ 7.526+11.928=19.454\ \text{cm} $$
の位置にある。$25\log_{10}6=25\times0.77815=19.454$ なので、真下には $6$ が書かれている。$2\times3=6$ が読める（図 1）。

$L=25$ cm とする。$\log_{10}1.2=0.07918$、$\log_{10}4=0.60206$、$\log_{10}6=0.77815$ なので、$1.2$、$4$、$6$ はそれぞれ左端から $1.980$ cm、$15.051$ cm、$19.454$ cm の位置にある。$1$ と $2$ の間は $7.526$ cm あるが、$9$ と $10$ の間は $25\times(1-0.95424)=1.144$ cm しかない。右へ行くほど目盛は詰まる。

$L=25$ cm とする。
(1) $3\times4$：左の基線を D 尺の $3$ に合わせると、C 尺の $4$ は位置 $L\log_{10}12=26.98$ cm で、D 尺の右端 $25$ cm を超える。右の基線を D 尺の $3$ に合わせると、C 尺の $4$ は位置 $L(\log_{10}3+\log_{10}4-1)=L\log_{10}1.2=1.980$ cm に来て、D 尺の $1.2$ が読める。答えは $12$ である（図 2）。
(2) $2.5\times6$：$2.5\times6=15>10$ なので右の基線を D 尺の $2.5$ に合わせる。C 尺の $6$ の真下は位置 $L\log_{10}1.5=4.402$ cm で、D 尺の $1.5$ が読める。答えは $15$ である。
(3) $7\mathbin{÷}4$：C 尺の $4$ を D 尺の $7$ に合わせる。$7\ge4$ なので、左の基線の真下を読む。位置は $L\log_{10}\dfrac74=6.076$ cm で、D 尺の $1.75$ が読める。
(4) $2\mathbin{÷}4$：C 尺の $4$ を D 尺の $2$ に合わせる。$2<4$ なので、右の基線の真下を読む。D 尺の $\dfrac{10\times2}4=5$ が読め、答えは $0.5$ である。

$320\times0.045$ を計算する。$320=3.2\times10^2$、$0.045=4.5\times10^{-2}$ なので、計算尺では $3.2\times4.5$ を読む。$3.2\times4.5=14.4>10$ なので右の基線を使い、D 尺の $1.44$ を読む。$10$ の冪は $10^{2+(-2)}=1$ で、右の基線を使った分の $10$ を戻すと、答えは $1.44\times10\times1=14.4$ である。
大まかな見積もり $300\times0.05=15$ でも、答えが $10$ と $100$ の間にあることが分かる。実際の計算尺の使い手は、このような見積もりで小数点の位置を決めることが多い。

$L=25$ cm、$\Delta=0.1$ mm $=0.01$ cm とすると $\delta=\dfrac{0.01}{25}=0.0004$ である。
(1) 相対誤差は $r=10^{0.0004}-1=0.000921\ldots$ で、prop-slr-error の近似 $\delta\log10=0.0004\times2.3026=0.000921\ldots$ とほとんど同じである。およそ $0.09\%$ である。
(2) 本当の値が $6$ なら $0.0055$ ほど、本当の値が $1.2$ なら $0.0011$ ほどずれる。差で見ると右の方が大きくずれるが、比で見ると同じである（図 3）。目盛が右ほど詰まっていること（ex-slr-positions）と、ちょうど釣り合っている。
(3) 掛け算では、D 尺の $a$ に合わせるとき、C 尺の $b$ を探すとき、D 尺を読むときの 3 回、位置がずれうる。ずれた位置は長さとして足されるので、それぞれ $0.1$ mm ずれて同じ向きに重なると $\delta=0.0012$ で、相対誤差は $10^{0.0012}-1=0.28\%$ ほどになる。
(4) $0.1\%$ から $0.3\%$ の相対誤差は、$6.00$ の場合で $\pm0.006$ から $\pm0.02$ にあたる。$6.00$ の 3 桁目はほぼ信頼でき、4 桁目は信頼できない。計算尺の答えが「有効数字 3 桁くらい」と言われるのは、このためである。

1. $\sqrt2$：A 尺の左半分の $2$（位置 $\frac{25}2\log_{10}2=3.763$ cm）の真下を読むと、D 尺の $1.414$ である（図 4）。$25\log_{10}1.4142=3.763$ で一致する。
2. $\sqrt{20}$：A 尺の右半分の $20$ の真下を読むと、D 尺の $4.47$ である（$\sqrt{20}=4.472\ldots$）。$\sqrt2$ を読むときに左半分、$\sqrt{20}$ を読むときに右半分を使うのは、$20$ と $2$ が $10$ 倍違うからである。$\sqrt{200}=10\sqrt2$ なら、$200=2\times10^2$ と書き直して左半分の $2$ を読み、$1.414\times10=14.14$ とする。$10$ の偶数乗をくくり出すのは、平方根の筆算で 2 桁ずつ区切るのと同じ理由である（開平法：平方根の筆算）。

対数目盛で長さをつなぐと、読めるのは積である。$\log_{10}(a+b)$ と $\log_{10}a+\log_{10}b$ は一般に等しくない。
(1) $a=b=1$：$\log_{10}(1+1)=\log_{10}2=0.3010$ だが、$\log_{10}1+\log_{10}1=0$ である。C 尺の左の基線を D 尺の $1$ に合わせて C 尺の $1$ の真下を読むと $1$ で、これは $1\times1$ であって $1+1$ ではない。
(2) $a=2$、$b=3$：長さをつなぐと $6$ が読め（ex-slr-mul）、$5$ は読めない。$\log_{10}5=0.6990$ と $\log_{10}2+\log_{10}3=0.7782$ は違う。
足し算と引き算は、計算尺では別に筆算で行う必要がある。

$\log_{10}0$ は定義されず、$x\to+0$ で $\log_{10}x\to-\infty$ なので、$0$ は目盛のどこにも書けない。負の数も $\log_{10}$ が定義されないので書けない。$(-2)\times3$ のような計算は、符号を別に決め（負と正の積は負）、$2\times3=6$ を計算尺で読んで $-6$ とする。

$3\times4$ で左の基線を D 尺の $3$ に合わせると、C 尺の $4$ は D 尺の右端より $L\log_{10}1.2=1.98$ cm 先にはみ出し、真下に D 尺の目盛がない。thm-slr-main の 1 の仮定 $ab\le10$ が成り立っていないからである。右の基線に替える（ex-slr-examples の (1)）か、D 尺をもう 1 桁分つないだ尺を想像して、はみ出た位置を 1 桁分左へ戻して読む。どちらも $10$ で割ることにあたる。