割線法

$f(x^*)=0$ と差分商の定義から $f(b)=f(b)-f(x^*)=f[x^*,b]\,(b-x^*)$ である（$b=x^*$ でも両辺 $0$）。したがって
$$ c-x^*=(b-x^*)-\frac{f[x^*,b](b-x^*)}{f[a,b]}=(b-x^*)\,\frac{f[a,b]-f[x^*,b]}{f[a,b]}. $$
lem-sec-integral で $f[a,b]=\int_0^1f'(b+s(a-b))\,ds$、$f[x^*,b]=\int_0^1f'(b+s(x^*-b))\,ds$ と書く。$P_s:=b+s(x^*-b)$ とおくと $b+s(a-b)=P_s+s(a-x^*)$ なので、微積分学の基本定理により
$$ f'\bigl(P_s+s(a-x^*)\bigr)-f'(P_s)=s(a-x^*)\int_0^1f''\bigl(P_s+us(a-x^*)\bigr)\,du $$
である。$s$ について積分すると $f[a,b]-f[x^*,b]=(a-x^*)G(a,b)$ となり、等式を得る。点 $P_s+us(a-x^*)=(1-s)b+s\bigl((1-u)x^*+ua\bigr)$ は $J$ の点の凸結合なので $J$ に入る。$\lvert G\rvert\le M\int_0^1s\,ds=M/2$ である。$a,b\to x^*$ のとき被積分関数の $f''$ の引数は $(s,u)$ について一様に $x^*$ に近づくので、$f''$ の連続性から $G(a,b)\to f''(x^*)\int_0^1s\,ds=f''(x^*)/2$ である。$\square$

$J_0$ 上で $f'$ は符号を変えない（$\lvert f'\rvert\ge m$ と中間値の定理）ので $f$ は $J_0$ 上で狭義単調であり、$J$ の中の零点は $x^*$ だけである。
$x_{n-1},x_n\in J$ が相異なるとする。平均値の定理 により、$x_{n-1}$ と $x_n$ の間の $\eta$ で $f[x_{n-1},x_n]=f'(\eta)$ となり、$\lvert f[x_{n-1},x_n]\rvert\ge m>0$ である。よって $x_{n+1}$ が定まる。lem-sec-error を $J$ 上で使うと $\lvert G_n\rvert\le M/2$ だから
$$ \lvert e_{n+1}\rvert\le\frac{M}{2m}\lvert e_n\rvert\lvert e_{n-1}\rvert=C\lvert e_n\rvert\lvert e_{n-1}\rvert\le C\delta\,\lvert e_n\rvert<\lvert e_n\rvert\le\delta $$
（$e_n=0$ のときは $e_{n+1}=0$）であり、$x_{n+1}\in J$ となる。また $x_{n+1}=x_n$ となるのは $f(x_n)=0$、すなわち $x_n=x^*$ のときに限る。したがって、$f(x_n)\ne0$ なら $x_{n+1}\ne x_n$ で、次の段もこの議論が使える。$x_0\ne x_1$ から帰納法で 1 と 2 が従う。
3：$\varepsilon_n:=C\lvert e_n\rvert$ とおくと 2 は $\varepsilon_{n+1}\le\varepsilon_n\varepsilon_{n-1}$ である。$\varepsilon_0,\varepsilon_1\le C\delta=q=q^{F_1}=q^{F_2}$ であり、$\varepsilon_{n-1}\le q^{F_n}$、$\varepsilon_n\le q^{F_{n+1}}$ なら $\varepsilon_{n+1}\le q^{F_{n+1}+F_n}=q^{F_{n+2}}$ である。$F_n\to\infty$ と $q<1$ から $\varepsilon_n\to0$ である（$C=0$ なら $f$ は $J_0$ で 1 次式で、$x_2=x^*$ である）。4 は 2 を $\lvert e_n\rvert$ で割ればよい。$\square$

$c_n:=\lvert G_n\rvert/\lvert f[x_{n-1},x_n]\rvert$ とおくと、lem-sec-error から $\lvert e_{n+1}\rvert=c_n\lvert e_n\rvert\lvert e_{n-1}\rvert$ である。$x_{n-1},x_n\to x^*$ だから、lem-sec-error と lem-sec-integral により $G_n\to f''(x^*)/2$、$f[x_{n-1},x_n]\to f'(x^*)$ であり、$c_n\to A>0$ である。$n_0$ を $n\ge n_0$ で $c_n>0$ となるようにとる。
$a_n:=\lvert e_{n+1}\rvert/\lvert e_n\rvert^{\varphi}$ とおく。$\varphi^2=\varphi+1$ から $1-\varphi=-1/\varphi$ なので、$n>n_0$ で
$$ a_n=c_n\lvert e_n\rvert^{1-\varphi}\lvert e_{n-1}\rvert=c_n\bigl(\lvert e_n\rvert\,\lvert e_{n-1}\rvert^{-\varphi}\bigr)^{-1/\varphi}=c_n\,a_{n-1}^{-1/\varphi} $$
である。$b_n:=\log a_n$、$\ell_n:=\log c_n$、$\ell:=\log A$ とおくと $b_n=\ell_n-b_{n-1}/\varphi$ である。$\beta:=\ell/\varphi$ とおくと $\beta(1+1/\varphi)=\ell(\varphi+1)/\varphi^2=\ell$ なので、$d_n:=b_n-\beta$ は
$$ d_n=(\ell_n-\ell)-\frac{d_{n-1}}{\varphi} $$
を満たす。$\rho:=1/\varphi<1$ とおき、$\varepsilon>0$ に対して $N$ を $n\ge N$ で $\lvert\ell_n-\ell\rvert\le\varepsilon$ となるようにとると、$n>N$ で $\lvert d_n\rvert\le\varepsilon+\rho\lvert d_{n-1}\rvert$ であり、帰納的に
$$ \lvert d_n\rvert\le\varepsilon(1+\rho+\dots+\rho^{n-N-1})+\rho^{n-N}\lvert d_N\rvert\le\frac{\varepsilon}{1-\rho}+\rho^{n-N}\lvert d_N\rvert $$
となる。よって $\limsup\lvert d_n\rvert\le\varepsilon/(1-\rho)$ で、$\varepsilon$ は任意だから $d_n\to0$ である。すなわち $a_n=e^{b_n}\to e^{\beta}=A^{1/\varphi}$ である。収束の次数の一意性から、次数は $\varphi$ である。$\square$