Ehrhart多項式

$\Delta$ は $d$ 次元なので $w_0,\dots,w_d$ は $\mathbb{R}^{d+1}$ の基底であり、点 $y\in\mathbb{R}^d$ と実数 $t>0$ について、$(y,t)=\sum_ic_iw_i$ と一意に書け、$y\in t\Delta$ は $c_i\ge0$（すべての $i$）と同値で、このとき $c_i=t\lambda_i(y/t)$、$\sum_ic_i=t$ である。したがって $y\in t\Delta_I$ は、$c_i\ge0$（すべての $i$）かつ $c_i>0$（$i\in I$）と同値である。
正の整数 $t$ と $y\in t\Delta_I\cap\mathbb{Z}^d$ をとる。$i\notin I$ では $k_i:=\lfloor c_i\rfloor$、$\mu_i:=c_i-k_i\in[0,1)$、$i\in I$ では $k_i:=\lceil c_i\rceil-1$、$\mu_i:=c_i-k_i\in(0,1]$ とおく。$c_i>0$（$i\in I$）なので $k_i\ge0$ である。$w_i$ は格子点なので $p:=(y,t)-\sum_ik_iw_i=\sum_i\mu_iw_i$ は $\Pi_I\cap\mathbb{Z}^{d+1}$ の点で、$\operatorname{ht}(p)=t-\sum_ik_i$ である。逆に $p\in\Pi_I\cap\mathbb{Z}^{d+1}$ と $\sum_ik_i=t-\operatorname{ht}(p)$ をみたす $k\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{d+1}$ から、$(y,t):=p+\sum_ik_iw_i$ は $y\in t\Delta_I\cap\mathbb{Z}^d$ を与える（係数 $c_i=\mu_i+k_i$ が上の条件をみたす）。$c_i$ から $(k_i,\mu_i)$ は一意に決まるので、この 2 つの対応は互いに逆である。よって
$$ L_{\Delta_I}(t)=\sum_{p\in\Pi_I\cap\mathbb{Z}^{d+1}}\#\Bigl\{k\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{d+1}\Bigm|\sum_ik_i=t-\operatorname{ht}(p)\Bigr\} $$
である。$\Pi_I$ は有界なので和は有限和である。
高さを調べる。$p=\sum_i\mu_iw_i$ の高さは $\sum_i\mu_i$ で、$I\neq\{0,\dots,d\}$ なので $\mu_i<1$ となる $i$ があり、$0\le\operatorname{ht}(p)< d+1$ である。高さは整数なので $0\le\operatorname{ht}(p)\le d$ である。高さ $0$ の点はすべての $\mu_i$ が $0$ の点、すなわち原点だけで、原点が $\Pi_I$ に属するのは $I=\emptyset$ のときに限る。
最後に、高さ $j$（$0\le j\le d$）の点 $p$ について、内側の個数は $t\ge j$ なら $\binom{t-j+d}{d}$、$t< j$ なら $0$ である。$0\le t< j\le d$ では $t-j\in\{-d,\dots,-1\}$ なので、多項式 $\binom{t-j+d}{d}$ の値も $0$ である。したがって主張の式がすべての正の整数 $t$（と $t=0$）で成り立ち、$t=0$ での値は高さ $0$ の点の個数 $h_{I,0}$ である。$\square$

まず、どの $A_l$ にも属さない $P$ の点 $z$ は、ちょうど 1 つの $\Delta^{(k)}$ の内部に属する。実際、$z$ はある $\Delta^{(k)}$ に属し、$\Delta^{(k)}$ の境界はファセットの和なので $z$ はその内部にある。$z$ が $\Delta^{(k)}$ と $\Delta^{(l)}$ の内部に属すれば、共通の面 $\Delta^{(k)}\cap\Delta^{(l)}$ が $\Delta^{(k)}$ の内部の点を含むので、この面は $\Delta^{(k)}$ 自身であり、同様に $\Delta^{(l)}$ 自身でもあるから $k=l$ である。
1．$\sum_i\lambda^{(k)}_i(q)=1$ なので、すべての $\lambda^{(k)}_i(q)$ が負になることはない。
3．$q$ はどの $A_l$ にも属さないので $\lambda^{(k)}_i(q)\neq0$ である。よって $I_k=\emptyset$ はすべての $\lambda^{(k)}_i(q)$ が正であること、すなわち $q$ が $\Delta^{(k)}$ の内部にあることと同値で、そのような $k$ は上の注意からちょうど 1 つである。
2．$x\in P$ と $0< \varepsilon\le1$ について $x_\varepsilon:=x+\varepsilon(q-x)$ とおくと、$P$ は凸なので $x_\varepsilon\in P$ である。$x=q$ なら $x_\varepsilon=q$ はどの $A_l$ にも属さないので、以下 $x\neq q$ とする。$\varepsilon\mapsto x_\varepsilon$ は直線のパラメータ表示で、$x_\varepsilon$ が $A_l$ に属する $\varepsilon$ は、直線が $A_l$ に含まれないかぎり高々 1 つである。直線が $A_l$ に含まれれば $q=x_1\in A_l$ となり $q$ のとり方に反する。よって $\varepsilon_0>0$ があって、$0< \varepsilon< \varepsilon_0$ の $x_\varepsilon$ はどの $A_l$ にも属さず、ちょうど 1 つの $\Delta^{(k)}$ の内部にある。内部どうしは交わらない開集合で、区間 $(0,\varepsilon_0)$ は連結なので、この $k$ は $\varepsilon$ によらない。これを $k(x)$ と書く。
一方、各 $k$ と $x\in\mathbb{R}^d$ について $\lambda^{(k)}_i(x_\varepsilon)=(1-\varepsilon)\lambda^{(k)}_i(x)+\varepsilon\lambda^{(k)}_i(q)$ である。したがって「十分小さいすべての $\varepsilon>0$ で $x_\varepsilon$ が $\Delta^{(k)}$ の内部にある」ことは、「各 $i$ について $\lambda^{(k)}_i(x)>0$、または $\lambda^{(k)}_i(x)=0$ かつ $\lambda^{(k)}_i(q)>0$」と同値であり、これは $x\in\Delta^{(k)}$ かつ「$i\in I_k$ なら $\lambda^{(k)}_i(x)>0$」、すなわち $x\in\Delta^{(k)}_{I_k}$ と同値である（$\lambda^{(k)}_i(q)\ne0$ を使った）。よって $x\in\Delta^{(k)}_{I_k}$ と $k=k(x)$ は同値で、$P$ の各点はちょうど 1 つの $\Delta^{(k)}_{I_k}$ に属する。$\square$

lem-ehr-decomposition の 2 から、正の整数 $t$ について $tP$ は $t\Delta^{(k)}_{I_k}$ の非交和で、
$$ L_P(t)=\sum_{k=1}^mL_{\Delta^{(k)}_{I_k}}(t)=\sum_{j=0}^d h_j^*\binom{t+d-j}{d},\qquad h_j^*:=\sum_{k=1}^mh_{I_k,j} $$
である（2 つめの等号は lem-ehr-half-open。lem-ehr-decomposition の 1 によりこの補題を使える）。$h_j^*$ は非負整数である。
2：lem-ehr-half-open により $h_{I_k,0}$ は $I_k=\emptyset$ のとき $1$、そうでないとき $0$ なので、lem-ehr-decomposition の 3 から $h_0^*=1$ である。$\binom{d-j}{d}$ は $j=0$ で $1$、$1\le j\le d$ で $0$ なので $E_P(0)=h_0^*=1$ である。
1：$\binom{x+d-j}{d}$ は $x^d$ の係数が $\frac{1}{d!}$ の $d$ 次多項式なので、$E_P$ の $x^d$ の係数は $c_d:=\frac{1}{d!}\sum_jh_j^*$ で、$E_P$ の次数は $d$ 以下である。凸多面体は Jordan 可測なので、格子点 の定理「格子点の個数と体積」により $L_P(t)/t^d\to\operatorname{vol}(P)$（$t\to\infty$）であり、左辺は $c_d$ に収束するので $c_d=\operatorname{vol}(P)$ である。$P$ は全次元なので $\operatorname{vol}(P)>0$ で、$E_P$ はちょうど $d$ 次である。
3：前半は 1 の計算そのものである。$d!\binom{x+d-j}{d}=\prod_{i=1}^d(x-j+i)$ は整数係数なので後半も従う。$\square$

要点：内部 $\Delta^\circ$ は全部の対面を除いた半開の単体で、その基本平行体の格子点は $p\mapsto\sum_iw_i-p$ で $\Pi_\emptyset$ の格子点と 1 対 1 に対応し、高さ $j$ が $d+1-j$ に替わる。

thm-ehr-main により $E_P(x)=Ax^2+cx+1$ と書ける。$t=1$ と thm-ehr-reciprocity（$t=1$）から $I+B=L_P(1)=A+c+1$、$I=L_{P^\circ}(1)=E_P(-1)=A-c+1$ である。差をとると $c=\frac B2$、これを戻すと $A=I+\frac B2-1$ である。$\square$

要点：$T_r$ の格子点が頂点だけであることを確かめ、$L_{T_r}(1)=4$、prop-ehr-reciprocity-simplex による $L_{T_r^\circ}(1)=0$、$\sum_jh_j=3!\operatorname{vol}(T_r)=r$ から $h^*$ ベクトルを決める。