Lebesgue測度

$D:=\{d\in[a,b]\mid [a,d]\text{ は }\mathcal{C}\text{ の有限個の元で覆える}\}$ とおく。$a$ はある $G\in\mathcal{C}$ に属するので $a\in D$ であり、$D$ は上に有界なので上限 $s:=\sup D\in[a,b]$ がある（上限と下限）。$s$ を含む $G\in\mathcal{C}$ と、$(s-\delta,s+\delta)\subset G$ となる $\delta>0$ をとる。$s$ は上限なので $d>s-\delta$ となる $d\in D$ があり、$[a,d]\subset G_1\cup\cdots\cup G_n$ と覆える。すると $d'\in[a,b]$ が $d'< s+\delta$ を満たせば、$[a,d']\subset[a,d]\cup(s-\delta,s+\delta)\subset G\cup G_1\cup\cdots\cup G_n$ なので $d'\in D$ である。もし $s< b$ なら $d':=\min\{b,s+\delta/2\}>s$ が $D$ に属して $s$ が上限であることに反する。よって $s=b$ であり、$d'=b$ とすれば $[a,b]$ が有限個で覆える。$\square$

$n=1$ なら、$(c,d)\supset[a,b]$ より $d-c>b-a$ である。$n\ge2$ とし、$n-1$ 個で主張が（すべての $a< b$ について）成り立つとする。$b$ を含む開区間を $(c,d)$ とする。$c< a$ なら $d-c>b-a$ で終わる。そうでなければ $a\le c< b< d$ である。$[a,c]$ の点は $(c,d)$ に属さないので、$[a,c]$ は残りの $n-1$ 個の和に含まれる。$a< c$ なら帰納法の仮定から残りの長さの和は $c-a$ 以上であり、$a=c$ でもこの評価は成り立つ。よって全体の長さの和は $(c-a)+(d-c)=d-a>b-a$ 以上である。

$A,B\in\mathcal{L}$、$E\subset\mathbb{R}$ とする。$A$、次に $B$ の可測性を使うと $$\lambda^*(E)=\lambda^*(E\cap A)+\lambda^*(E\setminus A)=\lambda^*(E\cap A)+\lambda^*\bigl((E\setminus A)\cap B\bigr)+\lambda^*\bigl(E\setminus(A\cup B)\bigr)$$ である。$E\cap(A\cup B)=(E\cap A)\cup\bigl((E\setminus A)\cap B\bigr)$ なので、劣加法性から右辺の最初の 2 項の和は $\lambda^*(E\cap(A\cup B))$ 以上であり、$A\cup B\in\mathcal{L}$ を得る。等式は $n$ についての帰納法で示す。$A_n$ の可測性を集合 $E\cap B_n$ に使うと、$(E\cap B_n)\cap A_n=E\cap A_n$、$(E\cap B_n)\setminus A_n=E\cap B_{n-1}$ なので $\lambda^*(E\cap B_n)=\lambda^*(E\cap A_n)+\lambda^*(E\cap B_{n-1})$ となる。

1. $B=A\cup(B\setminus A)$ は互いに交わらない和なので（残りを空集合として可算加法性を使う）$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)$ である。

2. $D_0:=A_0$、$D_k:=A_k\setminus A_{k-1}$（$k\ge1$）は互いに交わらず、$A_n=D_0\cup\cdots\cup D_n$、$\bigcup_kA_k=\bigcup_kD_k$ である。可算加法性から $\mu\bigl(\bigcup_kA_k\bigr)=\sum_k\mu(D_k)=\lim_n\sum_{k\le n}\mu(D_k)=\lim_n\mu(A_n)$。

3. $A_0\setminus A_k$ は増加列で、和は $A_0\setminus\bigcap_kA_k$ である。2 と 1 により $\mu(A_0)-\mu\bigl(\bigcap_kA_k\bigr)=\lim_k\bigl(\mu(A_0)-\mu(A_k)\bigr)$ であり、$\mu(A_0)<\infty$ なので両辺から $\mu(A_0)$ を引けばよい。$\square$

1. $H:=(a,\infty)$ とする。$\lambda^*(E)<\infty$ とし、$\varepsilon>0$ に対して長さの和が $\lambda^*(E)+\varepsilon$ 以下の $E$ の被覆 $(I_k)$ をとる。$I_k\cap H$ と $I_k\setminus H$ はそれぞれ区間（空でもよい）で、長さの和は $\ell(I_k)$ に等しい。$E\cap H\subset\bigcup_k(I_k\cap H)$、$E\setminus H\subset\bigcup_k(I_k\setminus H)$ なので、劣加法性と thm-lebesgue-measure-interval から $$\lambda^*(E\cap H)+\lambda^*(E\setminus H)\le\sum_k\lambda^*(I_k\cap H)+\sum_k\lambda^*(I_k\setminus H)=\sum_k\ell(I_k)\le\lambda^*(E)+\varepsilon$$ であり、$H\in\mathcal{L}$ である。ここで選んだ被覆は 1 つだけである（劣加法性は区間の集合に使っており、区間の被覆は式で書けるので、この段で可算個の選択は要らない）。

$\mathcal{L}$ は σ-代数なので、$[b,\infty)=\bigcap_n(b-2^{-n},\infty)$、$(a,b)=(a,\infty)\setminus[b,\infty)$ なども $\mathcal{L}$ に属し、同様にすべての区間が $\mathcal{L}$ に属する。区間の測度が長さであることは thm-lebesgue-measure-interval である。開集合 $G$ は、$G$ に含まれる有理数端点の開区間 $(p,q)$ 全体の和であり（$x\in G$ なら $x$ のまわりの開区間が $G$ に含まれ、その中に $p< x< q$ となる有理数がとれる）、そのような $(p,q)$ は可算個しかないので $G\in\mathcal{L}$ である。$\mathcal{B}$ は開集合を含む最小の σ-代数なので $\mathcal{B}\subset\mathcal{L}$ である。

2. $E\subset\mathbb{R}$ に対し $E\cap(A+t)=\bigl((E-t)\cap A\bigr)+t$、$E\setminus(A+t)=\bigl((E-t)\setminus A\bigr)+t$ である。prop-lebesgue-measure-invariance の 2 と、集合 $E-t$ に対する $A$ の可測性から $$\lambda^*(E\cap(A+t))+\lambda^*(E\setminus(A+t))=\lambda^*((E-t)\cap A)+\lambda^*((E-t)\setminus A)=\lambda^*(E-t)=\lambda^*(E)$$ となり $A+t\in\mathcal{L}$ である。$cA$ も $E$ を $c^{-1}E$ に替えて同様であり、測度の等式は prop-lebesgue-measure-invariance の 2・3 である。$\square$

(1 ⇒ 4) $A_m:=A\cap(-m,m)$（$m\ge1$）は可測で $\lambda(A_m)\le2m<\infty$ である。$\varepsilon>0$ に対し、$A_m$ の被覆で長さの和が $\lambda(A_m)+\varepsilon2^{-m}$ 以下のものを $m$ ごとに選び（可算選択公理）、その和を $G_m$ とする。$G_m$ は開集合で $A_m\subset G_m$、$\lambda(G_m)\le\lambda(A_m)+\varepsilon2^{-m}$ なので、prop-lebesgue-measure-continuity の 1 から $\lambda(G_m\setminus A_m)\le\varepsilon2^{-m}$ である。$U:=\bigcup_mG_m$ は $A$ を含む開集合で、$U\setminus A\subset\bigcup_m(G_m\setminus A_m)$ だから $\lambda^*(U\setminus A)\le\varepsilon$ である。

(4 ⇒ 2) $k$ ごとに $\lambda^*(U_k\setminus A)\le2^{-k}$ となる開集合 $U_k\supset A$ を選び（可算選択公理）、$B:=\bigcap_kU_k$ とおく。$B$ は Borel 集合で、すべての $k$ について $\lambda^*(B\setminus A)\le\lambda^*(U_k\setminus A)\le2^{-k}$ である。

(2 ⇒ 1) $A=B\setminus(B\setminus A)$ であり、$B\in\mathcal{L}$（prop-lebesgue-measure-borel）、$B\setminus A\in\mathcal{L}$（零集合。thm-lebesgue-measure-caratheodory）なので $A\in\mathcal{L}$ である。

(1 ⇒ 3) $A$ が可測なら $\mathbb{R}\setminus A$ も可測なので、すでに示した 1 ⇒ 2 により Borel 集合 $C\supset\mathbb{R}\setminus A$ で $\lambda^*(C\setminus(\mathbb{R}\setminus A))=0$ となるものがある。$B':=\mathbb{R}\setminus C$ は Borel 集合で $B'\subset A$、$A\setminus B'=A\cap C=C\setminus(\mathbb{R}\setminus A)$ である。

(3 ⇒ 1) $A=B'\cup(A\setminus B')$ は可測集合の和である。$\square$

Cantor集合 $C$ は外測度 $0$ である（Cantor集合 の記事の命題「測度0のコンパクトな疎集合」）。したがって $C$ の部分集合はすべて零集合であり、thm-lebesgue-measure-caratheodory により Lebesgue 可測である。$C$ は $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ と全単射で対応し（Cantor集合 の記事の命題「直積空間との同相」）、$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ は $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と対応するので、基数 の記事の例「連続体の濃度」により $\lvert C\rvert=\lvert\mathbb{R}\rvert=2^{\aleph_0}$ である。よって $\lvert\mathcal{L}\rvert\ge\lvert\mathcal{P}(C)\rvert=2^{2^{\aleph_0}}$ であり、これは 基数 の記事の定理「Cantor の定理：冪集合は真に大きい」により $2^{\aleph_0}$ より真に大きい。一方、Borel 集合全体の濃度は $2^{\aleph_0}$ 以下である（Tao11 Exercise 1.4.16。開集合全体の濃度が $2^{\aleph_0}$ であることから、超限帰納法で σ-代数を生成する過程を数えて示す。この部分は証明を割愛する）。したがって $\mathcal{L}\neq\mathcal{B}$ である。$\square$