関手(豊穣圏)
概要
関手(豊穣圏)（enriched functor）とは、豊穣圏の対象とHom対象を、合成と単位を保って運ぶ対応である。通常の関手への帰着、加法的関手、単体的関手と∞関手の比較を説明する。
定義
基礎圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ を局所小なモノイダル圏とする。$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal A$ は対象、Hom対象 $\mathcal A(x,y)$、合成 $\mathcal A(y,z)\otimes\mathcal A(x,y)\to\mathcal A(x,z)$、単位 $I\to\mathcal A(x,x)$ を持ち、結合律・単位律を満たす。以下では同じ基礎圏上の豊穣圏だけを比較する。
豊穣関手（enriched functor）$F:\mathcal A\to\mathcal B$ は、対象の対応 $x\mapsto Fx$ と $\mathcal V$ の射
$$F_{x,y}:\mathcal A(x,y)\to\mathcal B(Fx,Fy)$$
からなり、すべての $x,y,z$ について
$$
F_{x,z}m_{\mathcal A}
=m_{\mathcal B}(F_{y,z}\otimes F_{x,y}),
\qquad
F_{x,x}j_x=j_{Fx}
$$
を満たす。Hom対象全体について合成と単位を保つことを要求している。
定義は Kel82 §1.2。例えば単体的集合が基礎なら、$F_{x,y}$ は全次元で面・退化と可換する単体的写像でなければならない。Homの頂点だけへの対応では足りない。
直感
通常の関手は対象と射を運ぶ。豊穣関手は、射に付随する加法やパラメータの構造も運ぶ。豊穣化の基礎圏を変える操作はこれとは別であり、基礎圏を結ぶモノイダル関手などのデータが必要である。
各 $\mathcal A$ の台圏は $\operatorname{Hom}_{\mathcal A_0}(x,y)=\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(I,\mathcal A(x,y))$ で定まる。豊穣関手から台圏の関手を得られるが、逆に台圏の関手がいつでも豊穣化するわけではない。
例
$\mathcal V=\mathrm{sSet}$ では単体的関手を得る。合成を保つだけでなく、$\mathcal A(x,y)$ の高次単体も $\mathcal B(Fx,Fy)$ へ運ぶ。Homが写像空間を表示する状況では、射の族や射の間のホモトピーを扱うためにこのデータが必要である。
環 $\mathbb Z$ を、一対象で合成を整数の乗法とする $\mathbf{Ab}$-豊穣圏とみなす。対象を固定し、射を $n\mapsto n^2$ に送る対応は $1$ と乗法を保つので台圏の関手である。しかし $(1+1)^2=4\neq2=1^2+1^2$ なので、Homの加法を保たず、豊穣関手ではない。
性質
豊穣関手 $F$ は通常の関手 $F_0:\mathcal A_0\to\mathcal B_0$ を定める。Kel82 §1.3。
射 $f:I\to\mathcal A(x,y)$ を $F_{x,y}f$ に送る。豊穣関手の合成の等式に $g\otimes f$ を前合成すれば $F_0(gf)=F_0(g)F_0(f)$ を得る。単位の等式は $F_0(1_x)=1_{Fx}$ を与える。
$F:\mathcal A\to\mathcal B$ と $G:\mathcal B\to\mathcal C$ の合成は、対象に $GF$、Homに $G_{Fx,Fy}F_{x,y}$ を用いて豊穣関手となる。Kel82 §1.2。
$F$ の合成保存式に $G$ を施し、続いて $G$ の合成保存式を使うと、$(GF)m_{\mathcal A}=m_{\mathcal C}(GF\otimes GF)$ となる。単位も $GFj_x=Gj_{Fx}=j_{GFx}$ と保たれる。恒等豊穣関手は各Homに恒等射を用いる。
充満忠実性と表現可能関手
各 $F_{x,y}$ が $\mathcal V$ 内の同型であるとき、$F$ は豊穣充満忠実という（充満忠実関手(豊穣圏)）。これはHom対象のすべての構造を回復できるという条件であり、台圏のHom集合での全単射だけでは一般に足りない。
$\mathcal V$ が対称モノイダル閉なら、自身を内部Hom $[U,V]$ によって豊穣圏とみなせる。合成に基づく $\mathcal A(a,-):\mathcal A\to\mathcal V$ と $\mathcal A(-,a):\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ は重要な豊穣関手であり、表現可能性（表現可能関手(豊穣圏)）と米田の補題（米田の補題(豊穣圏)）の基礎になる。Kel82 §§1.4–1.6。
∞圏の関手との接続
局所Kanな単体的圏の間の単体的関手は、ホモトピー整合的脈体を通じて準圏の間の関手を与える。しかし任意の∞関手を、指定した未置換の単体的圏の間の厳密な関手として表せるとは限らない。
例えば源を適切にcofibrant置換し、標的を局所Kanな表示にして比較する必要がある。さらに関手だけでなく自然変換を含む関手∞圏を計算するには、単なる厳密関手の集合以上の導来構成が必要である。HTT09 Remark 1.2.7.1、§2.2.5。
単体的モデル圏のbifibrant表示と、弱同値から作る単体的局所化表示は異なる入口である。同じ∞圏を表すモデルの間では、関手もその比較を通じて扱う。関手(∞圏)で準圏による独立した定義を与える。
関連項目
- 前提：圏、豊穣圏、モノイダル圏。
- 発展：自然変換(豊穣圏)、充満忠実関手(豊穣圏)、表現可能関手(豊穣圏)、米田の補題(豊穣圏)。
- 比較：関手、関手(∞圏)、単体的モデル圏。
参考文献
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