3×3補題
概要
3×3補題（nine lemma）とは、9個の対象を3行3列に並べた可換図式において、すべての列が短完全列であり上の2行が短完全列であれば、残る下段の行も自動的に短完全列になるという補題である。蛇の補題を2つの行の間の射に適用し、列の短完全性から現れる自明な核・余核を消去することで直ちに得られる、蛇の補題の典型的な応用例である。
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ において、次の可換図式
$$
\begin{array}{ccccccccc}
&&0&&0&&0&&\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
0&\to&A_1&\xrightarrow{f_1}&A_2&\xrightarrow{f_2}&A_3&\to&0\\
&&{\scriptstyle\alpha_1}\downarrow&&{\scriptstyle\alpha_2}\downarrow&&{\scriptstyle\alpha_3}\downarrow&&\\
0&\to&B_1&\xrightarrow{g_1}&B_2&\xrightarrow{g_2}&B_3&\to&0\\
&&{\scriptstyle\beta_1}\downarrow&&{\scriptstyle\beta_2}\downarrow&&{\scriptstyle\beta_3}\downarrow&&\\
0&\to&C_1&\xrightarrow{h_1}&C_2&\xrightarrow{h_2}&C_3&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
&&0&&0&&0&&
\end{array}
$$
を考え、各正方形が可換であり、3本の列（$0\to A_k\to B_k\to C_k\to0$、$k=1,2,3$）がいずれも短完全列であるとする。
def-nine-lemma-setupの設定のもとで、上段と中段の行（$0\to A_1\to A_2\to A_3\to0$ と $0\to B_1\to B_2\to B_3\to0$）がともに短完全列であれば、下段の行 $0\to C_1\xrightarrow{h_1}C_2\xrightarrow{h_2}C_3\to0$ も短完全列である。
加群の圏で元を使って示す。一般のアーベル圏では、図式を含む小さい充満アーベル部分圏をとりMitchellの埋め込み定理で加群の圏に埋め込めば同じ議論が通る。
縦射の組 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ を、上段の短完全列から中段の短完全列への射とみなし、蛇の補題を適用する。各列 $0\to A_k\to B_k\to C_k\to0$ が短完全列であることから、$\alpha_k$ はモノ射であり $\ker\alpha_k=0$（$k=1,2,3$）。またrem-nine-lemma-cokernel-identificationにより、各列の2番目の射 $\beta_k\colon B_k\to C_k$ は同型射 $\varphi_k\colon\operatorname{coker}\alpha_k\xrightarrow{\cong}C_k$ を誘導する。
蛇の補題の6項完全列
$$
0\to\ker\alpha_1\to\ker\alpha_2\to\ker\alpha_3\to\operatorname{coker}\alpha_1\xrightarrow{\bar g_1}\operatorname{coker}\alpha_2\xrightarrow{\bar g_2}\operatorname{coker}\alpha_3\to0
$$
において、$\ker\alpha_1=\ker\alpha_2=\ker\alpha_3=0$ であるから、これは
$$
0\to\operatorname{coker}\alpha_1\xrightarrow{\bar g_1}\operatorname{coker}\alpha_2\xrightarrow{\bar g_2}\operatorname{coker}\alpha_3\to0
$$
という3項の完全列（すなわち短完全列）に帰着する。ここで $\bar g_1$（蛇の補題の記法での $\bar j$）は、商射 $q_1\colon B_1\to\operatorname{coker}\alpha_1$、$q_2\colon B_2\to\operatorname{coker}\alpha_2$ を用いて $\bar g_1(q_1(y))=q_2(g_1(y))$（$y\in B_1$）で定まる誘導射である。同一視 $\varphi_1,\varphi_2$ のもとでこれと $h_1$ が対応することを見る：中段・下段の間の可換性 $h_1\circ\beta_1=\beta_2\circ g_1$ より、
$$
\varphi_2(\bar g_1(q_1(y)))=\varphi_2(q_2(g_1(y)))=\beta_2(g_1(y))=h_1(\beta_1(y))=h_1(\varphi_1(q_1(y)))
$$
がすべての $y\in B_1$ について成り立つ（$q_1$ がエピ射であることから、この等式は $\varphi_2\circ\bar g_1=h_1\circ\varphi_1$ を意味する）。同様に $\varphi_3\circ\bar g_2=h_2\circ\varphi_2$ が成り立つ。ゆえに、同型 $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$ を通じて上の短完全列を書き換えると、
$$
0\to C_1\xrightarrow{h_1}C_2\xrightarrow{h_2}C_3\to0
$$
が短完全列であることが従う。$\blacksquare$
3×3補題の標準形は「3列が完全で、3行のうち2行が完全なら残りの行も完全」である。上の主張は上段と中段から下段を導く形であり、中段と下段から上段を導く場合はその双対である。上段と下段から中段を導く場合には、中段が複体である（$g_2\circ g_1=0$）ことを追加で仮定する必要がある（Wei94参照）。
直感
3×3補題は蛇の補題の直接の帰結である。上段と中段の行を、縦射 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ による「短完全列どうしの射」とみなして蛇の補題を適用すると、核 $\ker\alpha_k$・余核 $\operatorname{coker}\alpha_k$ を結ぶ6項の完全列が得られる。ところが各列がそれ自体短完全列であることから、$\alpha_k$ はすべてモノ射（ゆえに $\ker\alpha_k=0$）であり、$\operatorname{coker}\alpha_k$ は列の2番目の射 $\beta_k$ を通じてちょうど $C_k$ と同一視できる。この同一視のもとで蛇の補題の6項列は自明な部分（$\ker$側の3項）を落として $0\to C_1\to C_2\to C_3\to0$ そのものに一致する——これが下段の短完全性の正体である（標準的な教科書としてWei94参照）。
例
加群 $M$ とその部分加群 $N\subseteq L\subseteq M$ をとり、3行を
$$
0\to N\to L\to L/N\to0,\qquad 0\to N\to M\to M/N\to0,\qquad 0\to0\to M/L\to(M/N)/(L/N)\to0
$$
とし、3列を
$$
0\to N\xrightarrow{\mathrm{id}}N\to0\to0,\qquad 0\to L\to M\to M/L\to0,\qquad 0\to L/N\to M/N\to(M/N)/(L/N)\to0
$$
とする（横の射は包含・恒等・自然な射影、縦の射も包含・自然な射影であり、各正方形は可換である）。上段と中段の行は部分加群による商の定義から短完全列である。列について、第1列は $\mathrm{id}_N$ が同型であることから、第2列は $M/L$ が商であることから短完全であり、第3列は $L/N\to M/N$ が単射（$l\in L$ が $N$ に落ちれば $L/N$ でも $0$）で、その余核が $(M/N)/(L/N)$ であることから短完全である。したがって def-nine-lemma-setup の仮定をすべて満たし、3×3補題の結論は下段の行 $0\to M/L\to(M/N)/(L/N)\to0$ の短完全性、すなわち第3同型定理 $M/L\cong(M/N)/(L/N)$ である。体上のベクトル空間の場合には、各行・各列の次元の加法性でこの結論を数値的に検算できる。一般には、次数付き加群の複体を3段の短完全列で挟む場面（フィルター付き複体の随伴次数の計算など）でこの補題が自然に現れる。
性質
短完全列 $0\to X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z\to0$ において、$g$ は $f$ の余核である（短完全列の記事を参照）。すなわち、$q\colon Y\to\operatorname{coker}f$ を商射とすると、余核の普遍性により $g=\varphi\circ q$ を満たす射 $\varphi\colon\operatorname{coker}f\to Z$ が一意に定まり、この $\varphi$ は同型である。本記事の証明で用いる同型 $\varphi_k\colon\operatorname{coker}\alpha_k\xrightarrow{\cong}C_k$ は、各列 $0\to A_k\xrightarrow{\alpha_k}B_k\xrightarrow{\beta_k}C_k\to0$ にこれを適用して得られるものである。
関連項目
参考文献
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