3×3補題
概要
3×3補題（nine lemma）とは、9個の対象を3行3列に並べた可換図式において、すべての列が短完全列であり上二段の行が短完全列であれば、残る一段（下段）の行も自動的に短完全列になるという補題である。蛇の補題を二つの行の間の射に適用し、列の短完全性から現れる自明な核・余核を消去することで直ちに得られる、蛇の補題の典型的な応用例である。
定義
アーベル圏 $\mathcal A$ において、次の可換図式
$$
\begin{array}{ccccccccc}
&&0&&0&&0&&\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
0&\to&A_1&\xrightarrow{f_1}&A_2&\xrightarrow{f_2}&A_3&\to&0\\
&&{\scriptstyle\alpha_1}\downarrow&&{\scriptstyle\alpha_2}\downarrow&&{\scriptstyle\alpha_3}\downarrow&&\\
0&\to&B_1&\xrightarrow{g_1}&B_2&\xrightarrow{g_2}&B_3&\to&0\\
&&{\scriptstyle\beta_1}\downarrow&&{\scriptstyle\beta_2}\downarrow&&{\scriptstyle\beta_3}\downarrow&&\\
0&\to&C_1&\xrightarrow{h_1}&C_2&\xrightarrow{h_2}&C_3&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\
&&0&&0&&0&&
\end{array}
$$
を考え、各正方形が可換であり、3本の列（$0\to A_k\to B_k\to C_k\to0$、$k=1,2,3$）がいずれも短完全列であるとする。
def-nine-lemma-setupの設定のもとで、上段と中段の行（$0\to A_1\to A_2\to A_3\to0$ と $0\to B_1\to B_2\to B_3\to0$）がともに短完全列であれば、下段の行 $0\to C_1\xrightarrow{h_1}C_2\xrightarrow{h_2}C_3\to0$ も短完全列である。
直感
3×3補題は蛇の補題の直接の帰結である。上段と中段の行を、縦射 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ による「短完全列どうしの射」とみなして蛇の補題を適用すると、$\ker\alpha_k$・$\operatorname{coker}\alpha_k$ を結ぶ6項の完全列が得られる。ところが各列がそれ自体短完全列であることから、$\alpha_k$ はすべてモノ射（ゆえに $\ker\alpha_k=0$）であり、$\operatorname{coker}\alpha_k$ は列の第二射 $\beta_k$ を通じてちょうど $C_k$ と同一視できる。この同一視のもとで蛇の補題の6項列は自明な部分（$\ker$側の3項）を落として $0\to C_1\to C_2\to C_3\to0$ そのものに一致する——これが下段の短完全性の正体である（標準的な教科書としてWei94参照）。
例
体上のベクトル空間の圏において、$A_2=B_2=C_2=k^3$（3次元空間）とし、$A_1,B_1$ をそれぞれ第1・第2成分軸、$A_1\oplus B_1$ に相当する平面を $B_1$ 自身に取り直すなど、部分空間の階層を三段に組んだ具体例を考えると、次元の等式（各行・各列がすべて短完全列であることの数値的な帰結、次元の加法性）によって3×3補題の主張を数値的に検算できる。一般には、次数付き加群の複体を三段の短完全列で挟む場面（フィルター付き複体の随伴次数計算など）でこの補題が自然に現れる。
性質
$g\circ f=0$（完全性より $\operatorname{im}f=\ker g$）であるから、余核の普遍性により $g$ は一意な射 $\varphi\colon\operatorname{coker}f\to Z$ を通じて $g=\varphi\circ q$ と分解する。$g$ がエピ射であり $g=\varphi\circ q$ であることから $\varphi$ もエピ射である（合成がエピならば右因子はエピ、の標準的な帰結）。$\varphi$ がモノ射であることを示す：$\varphi(q(y))=0$ とすると $g(y)=0$、すなわち $y\in\ker g=\operatorname{im}f$。ゆえに $y=f(x)$ を満たす $x\in X$ が存在し、$q(y)=q(f(x))=0$（$f(x)\in\operatorname{im}f=\ker q$）。したがって $\varphi$ の核は零対象であり、$\varphi$ はモノ射である。エピ射かつモノ射であるから $\varphi$ は同型射である。$\blacksquare$
thm-nine-lemmaの証明：縦射の組 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ を、上段の短完全列から中段の短完全列への射とみなし、蛇の補題を適用する。各列 $0\to A_k\to B_k\to C_k\to0$ が短完全列であることから、$\alpha_k$ はモノ射であり $\ker\alpha_k=0$（$k=1,2,3$）。またprop-nine-lemma-cokernel-identificationにより、各列の第二射 $\beta_k\colon B_k\to C_k$ は同型 $\varphi_k\colon\operatorname{coker}\alpha_k\xrightarrow{\cong}C_k$ を誘導する。
蛇の補題の6項完全列
$$
0\to\ker\alpha_1\to\ker\alpha_2\to\ker\alpha_3\to\operatorname{coker}\alpha_1\xrightarrow{\bar g_1}\operatorname{coker}\alpha_2\xrightarrow{\bar g_2}\operatorname{coker}\alpha_3\to0
$$
において、$\ker\alpha_1=\ker\alpha_2=\ker\alpha_3=0$ であるから、これは
$$
0\to\operatorname{coker}\alpha_1\xrightarrow{\bar g_1}\operatorname{coker}\alpha_2\xrightarrow{\bar g_2}\operatorname{coker}\alpha_3\to0
$$
という3項の完全列（すなわち短完全列）に帰着する。ここで $\bar g_1$（蛇の補題の記法での $\bar j$）は、商射 $q_1\colon B_1\to\operatorname{coker}\alpha_1$、$q_2\colon B_2\to\operatorname{coker}\alpha_2$ を用いて $\bar g_1(q_1(y))=q_2(g_1(y))$（$y\in B_1$）で定まる誘導射である。同一視 $\varphi_1,\varphi_2$ のもとでこれと $h_1$ が対応することを見る：中段・下段の間の可換性 $h_1\circ\beta_1=\beta_2\circ g_1$ より、
$$
\varphi_2(\bar g_1(q_1(y)))=\varphi_2(q_2(g_1(y)))=\beta_2(g_1(y))=h_1(\beta_1(y))=h_1(\varphi_1(q_1(y)))
$$
がすべての $y\in B_1$ について成り立つ（$q_1$ がエピ射であることから、この等式は $\varphi_2\circ\bar g_1=h_1\circ\varphi_1$ を意味する）。同様に $\varphi_3\circ\bar g_2=h_2\circ\varphi_2$ が成り立つ。ゆえに、同型 $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$ を通じて上の短完全列を書き換えると、
$$
0\to C_1\xrightarrow{h_1}C_2\xrightarrow{h_2}C_3\to0
$$
が短完全列であることが従う。$\blacksquare$
