定幅図形

1 辺 $1$ の正方形 $O(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$ を、直線 $x\cos\theta+y\sin\theta=k$ の形の 2 本の平行線で挟む（$0\le\theta\le\dfrac\pi2$）。4 つの頂点で $x\cos\theta+y\sin\theta$ の値は
$$ 0,\qquad\cos\theta,\qquad\cos\theta+\sin\theta,\qquad\sin\theta $$
で、最大は $\cos\theta+\sin\theta$、最小は $0$ である。正方形は 4 頂点を結んだ図形なので、挟む 2 本は $k=0$ と $k=\cos\theta+\sin\theta$ で、間隔は
$$ \cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right) $$
である。$\theta=0$ で $1$、$\theta=\dfrac\pi4$ で $\sqrt2\approx1.414$ で、向きによって $1$ から $\sqrt2$ まで変わる。

中心 $(0,0)$、半径 $\dfrac12$ の円で、同じく $x\cos\theta+y\sin\theta$ の値を考える。円の上の点 $\left(\dfrac12\cos t,\dfrac12\sin t\right)$ では値は $\dfrac12\cos(t-\theta)$ で、最大 $\dfrac12$、最小 $-\dfrac12$ である。間隔は $\theta$ によらず $1$（直径）である。

1 辺 $1$ の正三角形 $A(0,0)$、$B(1,0)$、$C\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ で幅を求める。
(1) $u=(0,1)$（$\theta=\dfrac\pi2$）：$u\cdot P$ は頂点で $0,0,\dfrac{\sqrt3}2$ なので、幅は $\dfrac{\sqrt3}2\approx0.866$（高さ）である。
(2) $u=(1,0)$（$\theta=0$）：$u\cdot P$ は $0,1,\dfrac12$ なので、幅は $1$（辺の長さ）である。
向きによって幅が変わるので、正三角形は定幅図形でない。円は ex-cw-circle により定幅図形で、幅は直径である。

$w=1$ とする。
(1) $\theta=\dfrac\pi6$、$u=\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12\right)$ は段 1 の範囲にある。支持線は $X=A+u=\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12\right)$ で弧 $BC$ に接し、$u\cdot X=\dfrac34+\dfrac14=1$ である。反対側は $A$ で $u\cdot A=0$ なので、幅は $1-0=1$ である。
(2) $\theta=\dfrac\pi2$、$u=(0,1)$ は段 5 の $\dfrac\pi3\le\theta\le\dfrac{2\pi}3$ の範囲で、$-u=(0,-1)$ は頂点 $C$ の範囲 $\dfrac{4\pi}3\le\theta\le\dfrac{5\pi}3$ にある。上の支持線は頂点 $C$ を通り $u\cdot C=\dfrac{\sqrt3}2$、下の支持線は $C-(0,1)\cdot1=\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2-1\right)$ で弧 $AB$ に接し、$u\cdot P=\dfrac{\sqrt3}2-1$ である。幅は $\dfrac{\sqrt3}2-\left(\dfrac{\sqrt3}2-1\right)=1$ である。正三角形の高さ $\dfrac{\sqrt3}2$ に、弧のふくらみ $1-\dfrac{\sqrt3}2\approx0.134$ が加わって $1$ になる。

1. Reuleaux の三角形（$n=3$）：弧は中心角 $\dfrac\pi3=60^\circ$ が 3 本で、$w=1$ なら周は $3\cdot\dfrac\pi3=\pi\approx3.1416$ である。同じ幅の正三角形の周 $3$ より長い。
2. Reuleaux の五角形（$n=5$）：弧は中心角 $\dfrac\pi5=36^\circ$ が 5 本で、周は $5\cdot\dfrac\pi5=\pi$ である。$w=1$ のとき正五角形の 1 辺は $\dfrac{\sqrt5-1}2\approx0.618$ で、正五角形の周は約 $3.090$ である。
3. 直径 $1$ の円の周も $\pi$ である。

幅 $w$ の Reuleaux の三角形の面積を求める。3 つの扇形（中心 $A$、$B$、$C$、半径 $w$、中心角 $\dfrac\pi3$）を重ねると、真ん中の正三角形が 3 回、残りの 3 つの弓形が 1 回ずつ覆われる。扇形 1 つの面積は $\dfrac12w^2\cdot\dfrac\pi3=\dfrac{\pi w^2}6$、正三角形の面積は $\dfrac{\sqrt3}4w^2$ なので、
$$ \text{面積}=3\cdot\frac{\pi w^2}6-2\cdot\frac{\sqrt3}4w^2=\boxed{\frac{\pi-\sqrt3}2w^2}\approx0.7048\,w^2 $$
である（正三角形の重なりの 3 回を 1 回にするため、2 回分を引く）。直径 $w$ の円の面積は $\dfrac\pi4w^2\approx0.7854\,w^2$ なので、Reuleaux の三角形の面積は円より約 $10\%$ 小さい。

thm-cw-reuleaux の Reuleaux の三角形は定幅だが、円ではない。円なら周の上のどの点でも曲がり方が同じだが、Reuleaux の三角形は 3 つの頂点でとがっていて（弧どうしが $120^\circ$ で交わる）、円の一部ではない。「どの向きの幅も同じ」は、円を特徴づける性質ではない。

偶数角の正多角形では、各頂点から最も遠い頂点は 1 つだけで、def-cw-polygon の作り方ができない。たとえば 1 辺 $1$ の正方形 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$ の各辺を、向かいの辺の中点を中心とし、その辺の両端を通る円の弧（外にふくらむ方）に替えてみる。弧の半径は $\sqrt{1^2+\left(\dfrac12\right)^2}=\dfrac{\sqrt5}2\approx1.118$ である。
(1) 向き $(0,1)$：上の弧は中心 $\left(\dfrac12,0\right)$ で、いちばん高い点の $y$ 座標は $\dfrac{\sqrt5}2$ である。下の弧のいちばん低い点は $y=1-\dfrac{\sqrt5}2$ である。幅は $\sqrt5-1\approx1.236$ である。
(2) 向き $\dfrac1{\sqrt2}(1,1)$：最大・最小は頂点 $(1,1)$、$(0,0)$ でとり、幅は $\sqrt2\approx1.414$ である（上の弧の点は、中心 $\left(\dfrac12,0\right)$ からの向きの角 $\varphi$ が $\arctan2\le\varphi\le\pi-\arctan2$（約 $63.4^\circ$ から $116.6^\circ$）の範囲にあり、$x+y=\dfrac12+\dfrac{\sqrt5}2(\cos\varphi+\sin\varphi)=\dfrac12+\dfrac{\sqrt{10}}2\sin\left(\varphi+\dfrac\pi4\right)$ である。$\varphi+\dfrac\pi4$ は $108.4^\circ$ から $161.6^\circ$ の間で、そこで $\sin$ は減少するので、最大は端の $\varphi=\arctan2$、つまり頂点 $(1,1)$ でとる。ほかの 3 本の弧も同じで、$x+y$ の最大は $(1,1)$、最小は $(0,0)$ でとる）。
向きによって幅が違うので、定幅図形でない。

1 辺 $1$ の正方形の周は $4$ である。幅は $1$ から $\sqrt2$ まで変わる（ex-cw-start）ので、「$\pi\times$ 幅」は $\pi\approx3.14$ から $\sqrt2\pi\approx4.44$ までの値をとり、どれか 1 つに決まらない。thm-cw-perimeter は、幅が 1 つの数に決まる定幅図形だから意味をもつ。

1 辺 $1$ の正方形では、ex-cw-start から $0\le\theta\le\dfrac\pi2$ で $w(\theta)=\cos\theta+\sin\theta$ である。$\dfrac\pi2\le\theta\le\pi$ でも、正方形を $90^\circ$ 回すと同じ図形なので $w(\theta)=w\left(\theta-\dfrac\pi2\right)$ である。よって
$$ \int_0^\pi w(\theta)\,d\theta=2\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta=2\Bigl[\sin\theta-\cos\theta\Bigr]_0^{\pi/2}=2\cdot2=4 $$
で、周の長さ $4$ に一致する。