Niemytzki平面

$z\in H$ は $B(z,y(z))$ に、$x\in L$ は $D(x,1)$ に属するので $\mathcal{B}$ は $P$ を覆う。
まず、$x=(r,0)\in L$ と $0<\varepsilon'\le\varepsilon$ に対し $D(x,\varepsilon')\subset D(x,\varepsilon)$ であることを見る。$(u,v)\in D(x,\varepsilon')\setminus\{x\}$ とすると $v>0$ であり、
$$(u-r)^2+(v-\varepsilon')^2<\varepsilon'^2\iff (u-r)^2+v^2<2\varepsilon' v$$
である。$2\varepsilon'v\le2\varepsilon v$ なので $(u-r)^2+v^2<2\varepsilon v$、すなわち $(u-r)^2+(v-\varepsilon)^2<\varepsilon^2$ となり、$(u,v)\in D(x,\varepsilon)$ である。
次に、$\mathcal{B}$ の各成員から $L$ を除いた集合は $H$ の Euclid 位相（Euclid位相）に関する開集合である。実際 $B(z,\varepsilon)$ は開円板であり、$D(x,\varepsilon)\setminus\{x\}=B((r,\varepsilon),\varepsilon)$ も開円板である。
$B_1,B_2\in\mathcal{B}$、$p\in B_1\cap B_2$ とする。$p\in H$ のとき、$B_1\setminus L$ と $B_2\setminus L$ は $p$ を含む Euclid 開集合なので、$B_{\mathrm{E}}(p,\delta)\subset (B_1\setminus L)\cap(B_2\setminus L)$ となる Euclid 開円板がある。$\delta\le y(p)$ ととり直せば $B(p,\delta)\in\mathcal{B}$ であり、$p\in B(p,\delta)\subset B_1\cap B_2$ である。$p\in L$ のとき、$B(z,\varepsilon)\subset H$ かつ $D(x,\varepsilon)\cap L=\{x\}$ なので、$B_1=D(p,\varepsilon_1)$、$B_2=D(p,\varepsilon_2)$ の形である。$\varepsilon_3:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ とおくと、上で示したことから $p\in D(p,\varepsilon_3)\subset B_1\cap B_2$ である。
以上により $\mathcal{B}$ は開基の条件を満たすので、$\mathcal{B}$ の成員の合併全体を開集合系とする位相がただ一つ存在する。$\square$

1. $W$ を $P$ の Euclid 開集合、$p\in W$ とし、$B_{\mathrm{E}}(p,\delta)\cap P\subset W$ となる $\delta>0$ をとる。$p\in H$ なら $B(p,\min\{\delta,y(p)\})\subset W$ である。$p=(r,0)\in L$ なら、$w\in B((r,\delta/2),\delta/2)$ に対し $d(w,p)\le d(w,(r,\delta/2))+\delta/2<\delta$ なので $D(p,\delta/2)\subset B_{\mathrm{E}}(p,\delta)\cap P\subset W$ である。よって $W$ は各点で $\mathcal{B}$ の成員を含み、$\tau_N$-開集合である。
2. $H=\bigcup_{z\in H}B(z,y(z))$ は $\tau_N$-開集合である。$\mathcal{B}$ の各成員と $H$ の共通部分は Euclid 開集合（prf-niemytzki-base）なので、$\tau_N$-開集合と $H$ の共通部分は Euclid 開集合である。逆に $H$ の Euclid 開集合は (1) により $\tau_N$-開集合である。
3. $L=P\setminus H$ は閉集合である。$D(x,\varepsilon)\cap L=\{x\}$ なので $L$ の各点は $L$ の相対位相で開集合であり、$L$ は離散である。$A\subset L$ は離散空間 $L$ の閉集合であり、$L$ が $P$ の閉集合なので $A$ は $P$ の閉集合である。$\square$

Hausdorff 性。$p\ne q$ とする。$p,q\in H$ なら、$H$ の相対位相が Euclid 位相であること（prop-niemytzki-euclidean）から、$H$ の中で互いに交わらない Euclid 円板がとれ、それらは $\tau_N$-開集合である。$p=(r,0)\in L$、$q\in H$、$v:=y(q)>0$ のとき、$D(p,v/4)\setminus\{p\}\subset\{w\mid y(w)< v/2\}$ であり、$B(q,v/2)\subset\{w\mid y(w)>v/2\}$ なので、$D(p,v/4)$ と $B(q,v/2)$ は交わらない。$p=(r,0)$、$q=(s,0)\in L$、$r\ne s$ のとき、$\varepsilon:=|r-s|/2$ とおくと、$D(p,\varepsilon)\setminus\{p\}$ の点の第1座標は $|u-r|<\varepsilon$ を満たし、$D(q,\varepsilon)\setminus\{q\}$ の点の第1座標は $|u-s|<\varepsilon$ を満たすので、両者は交わらない。
完全正則性。$F$ を閉集合、$p\in P\setminus F$ とし、連続写像（連続写像）$f\colon P\to[0,1]$ で $f(p)=0$、$f|_F\equiv1$ となるものを作る。$P\setminus F$ は $p$ の開近傍（開近傍）なので、$\mathcal{B}$ の成員 $B\ni p$ で $B\cap F=\emptyset$ となるものがある。
$p\in H$ のとき、$B=B(p,\varepsilon)$ ととれる。$f(w):=\min\{d(w,p)/\varepsilon,1\}$ とおくと $f$ は Euclid 位相に関して連続であり、$\tau_N$ は Euclid 位相より細かい（prop-niemytzki-euclidean）ので $\tau_N$ に関しても連続である。$f(p)=0$ であり、$F\subset P\setminus B(p,\varepsilon)$ 上で $f=1$ である。
$p=(r,0)\in L$ のとき、$B=D(p,\varepsilon)$ ととれる。$H$ 上の関数
$$g(u,v):=\frac{(u-r)^2+v^2}{2\varepsilon v}\qquad((u,v)\in H)$$
を考える。$(u,v)\in H$ について
$$(u,v)\in D(p,c\varepsilon)\iff (u-r)^2+(v-c\varepsilon)^2< c^2\varepsilon^2\iff (u-r)^2+v^2<2c\varepsilon v\iff g(u,v)< c$$
が任意の $c>0$ について成り立つ。$f$ を、$f(p):=0$、$z\in H$ に対し $f(z):=\min\{g(z),1\}$、$x\in L\setminus\{p\}$ に対し $f(x):=1$ と定める。$c=1$ の場合から、$H\setminus D(p,\varepsilon)$ 上で $g\ge1$、すなわち $f=1$ であり、$L\setminus\{p\}$ 上でも $f=1$ なので、$F\subset P\setminus D(p,\varepsilon)$ 上で $f\equiv1$ である。
$f$ の連続性を各点で確かめる。$z\in H$ では、$H$ が開集合で相対位相が Euclid 位相であり、$\min\{g,1\}$ が $H$ 上 Euclid 連続なので、$f$ は $z$ で連続である。点 $p$ では、$0< c\le1$ に対し $f^{-1}([0,c))\supset D(p,c\varepsilon)$ が上の同値から従い、$D(p,c\varepsilon)$ は $p$ の近傍なので $f$ は $p$ で連続である。点 $q=(s,0)\in L\setminus\{p\}$ では、$\delta:=\min\{|s-r|/2,\ (s-r)^2/(16\varepsilon)\}$ とおくと $D(q,\delta)$ 上で $f\equiv1$ である。実際 $(u,v)\in D(q,\delta)\setminus\{q\}$ なら $|u-s|<\delta\le|s-r|/2$ かつ $0< v<2\delta$ であり、$|u-r|\ge|s-r|-|u-s|>|s-r|/2$ なので
$$g(u,v)\ge\frac{(u-r)^2}{2\varepsilon v}>\frac{(s-r)^2/4}{4\varepsilon\delta}=\frac{(s-r)^2}{16\varepsilon\delta}\ge1$$
となる。よって $f$ は $q$ の近傍 $D(q,\delta)$ 上で定数 $1$ であり、$q$ で連続である。以上で $f$ は連続であり、$P$ は完全正則である。Hausdorff なので点は閉集合（$T_1$、T1空間）であり、$P$ は Tychonoff 空間である。完全正則空間は正則である。$\square$

1. $Q$ は可算である。空でない $\tau_N$-開集合 $U$ は $\mathcal{B}$ のある成員 $B$ を含み、$B\setminus L$ は空でない Euclid 開円板である。有理点は $\mathbb{R}^2$ で稠密なので $B\setminus L\subset H$ は $Q$ の点を含む。よって $Q$ は稠密である。
2. $z\in H$ に対し $\{B(z,1/n)\mid n\ge1,\ 1/n\le y(z)\}$ が、$x\in L$ に対し $\{D(x,1/n)\mid n\ge1\}$ が可算な基本近傍系（基本近傍系）である。実際、$z$ を含む開集合 $U$ は $\mathcal{B}$ のある成員 $B\ni z$ を含み、$z\in H$ なら $B\setminus L$ は Euclid 開集合なので十分大きい $n$ について $B(z,1/n)\subset B$ であり、$z=x\in L$ なら $B=D(x,\varepsilon)$ の形で、$1/n\le\varepsilon$ なる $n$ について $D(x,1/n)\subset D(x,\varepsilon)$（prf-niemytzki-base）である。
3. $\mathcal{C}$ を $P$ の任意の開基とする。各 $x\in L$ について $D(x,1)$ は $x$ の開近傍なので、$x\in C_x\subset D(x,1)$ となる $C_x\in\mathcal{C}$ がある。$C_x\cap L\subset D(x,1)\cap L=\{x\}$ であり、$x\in C_x$ なので $C_x\cap L=\{x\}$ である。よって $x\mapsto C_x$ は $L$ から $\mathcal{C}$ への単射（単射）であり、$|\mathcal{C}|\ge|L|=2^{\aleph_0}$ である。ゆえに可算な開基は存在しない。
4. prop-niemytzki-euclidean により $L$ は閉かつ離散であり、$|L|=|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$ である。非可算な離散空間では稠密集合は全体しかないので、$L$ は可分でない。
5. 開被覆 $\mathcal{U}:=\{H\}\cup\{D(x,1)\mid x\in L\}$ を考える。$x\in L$ を含む $\mathcal{U}$ の成員は $D(x,1)$ だけなので、$\mathcal{U}$ の部分被覆はすべての $D(x,1)$（$x\in L$）を含み、非可算である。よって $P$ は Lindelöf でない。コンパクト空間は Lindelöf なので、コンパクトでもない。$\square$

$D$ の任意の部分集合 $A$ は離散空間 $D$ の閉集合であり、$D$ が $X$ の閉集合なので $A$ は $X$ の閉集合である。$D\setminus A$ も同様に閉集合で、$A$ と交わらない。$X$ は正規なので、開集合 $U_A\supset A$、$V_A\supset D\setminus A$ で $U_A\cap V_A=\emptyset$ となるものを（各 $A$ に対し一つずつ、選択公理により）とる。
写像 $\Phi\colon\mathcal{P}(D)\to\mathcal{P}(S)$ を $\Phi(A):=U_A\cap S$ で定める。$\Phi$ が単射であることを示す。$A\ne B$ とし、$a\in A\setminus B$ とする（$a\in B\setminus A$ の場合は $A$ と $B$ を入れ替える）。$a\in A\subset U_A$ かつ $a\in D\setminus B\subset V_B$ なので $U_A\cap V_B$ は $a$ を含む空でない開集合であり、$S$ が稠密なので点 $s\in S\cap U_A\cap V_B$ がある。$s\in V_B$ と $U_B\cap V_B=\emptyset$ から $s\notin U_B$ である。よって $s\in\Phi(A)\setminus\Phi(B)$ であり、$\Phi(A)\ne\Phi(B)$ である。
したがって $2^{|D|}=|\mathcal{P}(D)|\le|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}$ である。$\square$

$P$ が正規であると仮定する。prop-niemytzki-countability により $P$ は可算な稠密集合 $Q$ をもち、$L$ は濃度 $2^{\aleph_0}$ の閉離散集合である。lem-niemytzki-jones を $S=Q$、$D=L$ に適用すると
$$2^{2^{\aleph_0}}=2^{|L|}\le2^{|Q|}=2^{\aleph_0}$$
となる。しかし Cantor の定理（Cantorの定理、Jec03 Theorem 3.1）により任意の基数（基数）$\kappa$ について $2^\kappa>\kappa$ であり、$\kappa=2^{\aleph_0}$ とすると矛盾する。よって $P$ は正規でない。$\square$

$P$ は正則な $T_1$ 空間である（prop-niemytzki-separation）。$n\ge1$ に対し
$$\mathcal{G}_n:=\{B(z,\varepsilon)\mid z\in H,\ 0<\varepsilon\le\min\{1/n,\,y(z)\}\}\cup\{D(x,1/n)\mid x\in L\}$$
とおく。各 $\mathcal{G}_n$ は $\mathcal{B}$ の部分族なので開集合の族であり、$z\in H$ は $B(z,\min\{1/n,y(z)\})$ に、$x\in L$ は $D(x,1/n)$ に属するので $P$ の開被覆である。
$x\in L$ とその開近傍 $U$ をとる。$\mathcal{G}_n$ の成員のうち $x$ を含むものは $D(x,1/n)$ だけである（$B(z,\varepsilon)\subset H$、$D(x',1/n)\cap L=\{x'\}$）。よって $\operatorname{st}(x,\mathcal{G}_n)=D(x,1/n)$ であり、prf-niemytzki-countability (2) により十分大きい $n$ について $D(x,1/n)\subset U$ である。
$z\in H$ とその開近傍 $U$ をとる。prf-niemytzki-countability (2) により $B(z,\delta)\subset U$ となる $0<\delta\le y(z)$ がある。$n$ を $2/n<\delta$ となるようにとる。$\mathcal{G}_n$ の成員 $G$ で $z\in G$ となるものは、$B(w,\varepsilon)$（$\varepsilon\le1/n$）の形か $D(x,1/n)$ の形である。後者なら $z\in D(x,1/n)\setminus\{x\}$ より $y(z)<2/n<\delta\le y(z)$ となり矛盾するので、$G=B(w,\varepsilon)$ の形である。このとき $G$ の任意の点 $w'$ について $d(w',z)\le d(w',w)+d(w,z)<2\varepsilon\le2/n<\delta$ なので $G\subset B(z,\delta)\subset U$ である。よって $\operatorname{st}(z,\mathcal{G}_n)\subset U$ である。
以上により $(\mathcal{G}_n)_{n\ge1}$ は展開であり、$P$ は Moore 空間である。$\square$

距離空間は正規であり（Mun00 Theorem 32.2）、パラコンパクトな Hausdorff 空間は正規である（Mun00 Theorem 41.1）。$P$ は Hausdorff で正規でない（thm-niemytzki-not-normal）ので、距離化可能でもパラコンパクトでもない。$\square$