Niemytzki平面
同義語：Mooreの半平面
概要
Niemytzki平面とは、位相空間の例の一つであり、上半平面上に新たに位相を定めたものである。Mooreの半平面ともいう。
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用語と記法
この記事でだけ用いる用語・記法を準備する。
- 上半平面$P = \mathbb{R} \times [0, \infty)$について、$\mathbb{R} \times \{0\}$に属する点のことを境界上にあるといい、$\mathbb{R} \times (0,\infty)$に属する点のことを内部にあるということにする。
- 境界上にある点$x = (r, 0)$と自然数$i \geq 1$について、$x_i = (r, \dfrac{1}{i})$から距離$\dfrac{1}{i}$未満の点もしくは$x$であるもの全体の集合を$U(x, i)$とおく。
- 内部にある点$x$と自然数$i \geq 1$について、$x$から距離$\frac{1}{i}$未満にある点全体の集合を$U(x, i)$とおく。
定義と性質
Niemytzki平面, Mooreの半平面
$P$上には、部分集合族$\{U(x, i)\}_{x \in P, i \geq 1}$を開基とするような位相が唯一つ存在する。
$P$ にこの位相を入れたものをNiemytzki平面（またはMooreの半平面）という。
Niemytzki平面について、以下が成り立つ：
- 可分であるが、遺伝的可分ではない。
- 完全正則である。
可分であること：座標が有理数の点全体が、$P$において稠密となることから分かる。
遺伝的可分でないこと：境界にある点全体のなす部分空間が離散的であることから分かる。
