上方集合と下方集合

同義語：上方集合下方集合上集合下集合upper setlower setup-setdown-set

概要

上方集合と下方集合（upper set and lower set）とは、半順序集合（より一般に前順序集合）$P$ の部分集合のうち、$x\in U$ かつ $x\le y$ なら $y\in U$ を満たすもの（上方集合）と、順序を逆にした条件を満たすもの（下方集合）である。上方集合の補集合は下方集合であり、どちらも任意個の合併と共通部分で閉じ、部分集合 $S$ を含む最小の上方集合 ${\uparrow}S$ がある。半順序集合は $x\mapsto{\downarrow}x$ によって下方集合の完備な分配束へ下限を保って埋め込まれ、上方集合の全体を開集合系とする位相が Alexandrov 位相である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 半順序集合, 前順序

半順序集合 $P$ の部分集合 $U$ が上方集合（upper set、up-set）であるとは、$U$ の元より大きい元がすべて $U$ に入ること、すなわち $x\in U$ かつ $x\le y$ なら $y\in U$ となることをいう。順序を逆にして、$D$ の元より小さい元がすべて $D$ に入る部分集合を下方集合（lower set、down-set）という。実数の区間 $[a,\infty)$、ある元 $x_0$ を含む部分集合の全体、正の整数 $n$ の約数の全体は、それぞれ実数・冪集合・整除の順序についての上方集合・上方集合・下方集合である。
上方集合は「性質 $\Phi$ をもつ元より大きい元もまた $\Phi$ をもつ」という単調な性質の、集合としての姿である。グラフに辺を足しても連結性は失われない、集合を大きくしても元 $x_0$ を含むことは変わらない、といった性質を満たす対象の全体は上方集合になる。上方集合の補集合は下方集合であり、その逆も成り立つ。上方集合の全体も下方集合の全体も、任意個の合併と共通部分で閉じている。部分集合 $S$ を含む最小の上方集合 ${\uparrow}S$ をとる操作は閉包作用素の基本的な例であり、$x\mapsto{\downarrow}x$ によって半順序集合は下方集合の束の中に埋め込まれる。上方集合を開集合とする位相（Alexandrov 位相）を通じて、前順序と位相空間も結びつく。

結果内容
prop-ul-basic補集合・合併・共通部分、生成される上方集合、単項上方集合と順序
prop-ul-two-valued上方集合は 2 元の鎖への単調写像と同じもの
thm-ul-lattice下方集合の全体は完備な分配束で、半順序集合 $P$ はその中に下限を保って埋め込まれる
prop-ul-convex-and-components凸集合と、上方かつ下方な集合の特徴づけ

定義

以下、$(P,\le)$ を前順序集合とする。すなわち $\le$ は反射律と推移律を満たす $P$ 上の関係であり、反対称律は仮定しない。主に念頭に置くのは半順序集合の場合である。

上方集合と下方集合
  1. 部分集合 $U\subseteq P$ が上方集合であるとは、任意の $x,y\in P$ について、$x\in U$ かつ $x\le y$ ならば $y\in U$ となることをいう。
  2. 部分集合 $D\subseteq P$ が下方集合であるとは、任意の $x,y\in P$ について、$y\in D$ かつ $x\le y$ ならば $x\in D$ となることをいう。
  3. $S\subseteq P$ について
    $$ {\uparrow}S:=\{y\in P\mid x\le y\text{ となる }x\in S\text{ がある}\},\qquad {\downarrow}S:=\{x\in P\mid x\le y\text{ となる }y\in S\text{ がある}\} $$
    とおき、$S$ が生成する上方集合・下方集合という。$x\in P$ について ${\uparrow}x:={\uparrow}\{x\}=\{y\mid x\le y\}$、${\downarrow}x:={\downarrow}\{x\}$ と書き、これらの形の集合を単項上方集合・単項下方集合という。有限集合 $S$ について ${\uparrow}S$ の形の上方集合を有限生成という。
  4. 上方集合の全体を $\mathcal{U}(P)$、下方集合の全体を $\mathcal{D}(P)$ と書き、包含 $\subseteq$ で順序づける。

この定義は GvG23 §1.3（p. 24）の up-set・down-set と同じである。上方集合は上集合・上に閉じた集合とも呼ばれ、下方集合は下集合とも呼ばれる（単調写像 の節「下集合による特徴づけ」の用語）。下方集合の全体を $\mathcal{O}(P)$ と書く文献もある（有限半順序集合）。下方集合を order ideal と呼ぶ文献もあるが、順序集合上のフィルターとイデアル のイデアルは下方集合であることに加えて有向性を課すので、ここでは「下方集合」の語を使う。$\emptyset$ と $P$ はつねに上方集合であり、下方集合でもある。
順序を逆にした前順序集合 $P^{\mathrm{op}}$（$x\le^{\mathrm{op}}y\iff y\le x$）を考えると、$P$ の下方集合は $P^{\mathrm{op}}$ の上方集合にほかならない。したがって上方集合についての主張は、順序を逆にすることで下方集合についての主張に読み替えられる。以下では主に上方集合について述べる。

基本性質

上方集合の基本性質

$(P,\le)$ を前順序集合とする。

  1. $U\subseteq P$ が上方集合であることと、補集合 $P\setminus U$ が下方集合であることは同値である。
  2. 上方集合の任意個の合併と任意個の共通部分は上方集合である（空な族の合併は $\emptyset$、共通部分は $P$ とする）。
  3. $S\subseteq P$ について、${\uparrow}S$ は $S$ を含む最小の上方集合であり、${\uparrow}S=\bigcup_{s\in S}{\uparrow}s$ である。とくに $U$ が上方集合であることと ${\uparrow}U=U$ は同値であり、$S\mapsto{\uparrow}S$ は集合 $P$ 上の閉包作用素で、その閉集合はちょうど上方集合である。
  4. $x,y\in P$ について、$x\le y$、${\uparrow}y\subseteq{\uparrow}x$、${\downarrow}x\subseteq{\downarrow}y$ は互いに同値である。

1. $U$ を上方集合とし、$y\in P\setminus U$、$x\le y$ とする。$x\in U$ なら上方集合であることから $y\in U$ となり矛盾するので、$x\in P\setminus U$ である。よって $P\setminus U$ は下方集合である。逆も同じ議論を順序を逆にして行えばよい。
2. $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を上方集合の族とし、$x\le y$ とする。$x\in\bigcup_\lambda U_\lambda$ なら $x\in U_\mu$ となる $\mu$ があり、$y\in U_\mu\subseteq\bigcup_\lambda U_\lambda$ である。$x\in\bigcap_\lambda U_\lambda$ なら、すべての $\lambda$ について $x\in U_\lambda$ なので $y\in U_\lambda$ であり、$y\in\bigcap_\lambda U_\lambda$ である。$\Lambda=\emptyset$ の場合の $\emptyset$ と $P$ は定義から上方集合である。
3. $y\in{\uparrow}S$、$y\le z$ とすると、$x\le y$ となる $x\in S$ があり、推移律から $x\le z$ なので $z\in{\uparrow}S$ である。よって ${\uparrow}S$ は上方集合である。反射律から $s\le s$ なので $S\subseteq{\uparrow}S$ である。$U$ が $S$ を含む上方集合なら、$y\in{\uparrow}S$ について $x\le y$ となる $x\in S\subseteq U$ があるので $y\in U$、すなわち ${\uparrow}S\subseteq U$ である。等式 ${\uparrow}S=\bigcup_{s\in S}{\uparrow}s$ は定義を書き直したものである。$U$ が上方集合なら、$U$ を含む最小の上方集合は $U$ 自身なので ${\uparrow}U=U$ であり、逆に ${\uparrow}U=U$ なら $U$ は上方集合である。$S\mapsto{\uparrow}S$ は、$\mathcal{U}(P)$ が 2 により共通部分で閉じていることから 閉包作用素 の定理「閉包作用素と閉元の全体の対応」の閉包作用素 $C_{\mathcal{U}(P)}$ に一致する。
4. $x\le y$ とする。$y\le z$ なら推移律から $x\le z$ なので ${\uparrow}y\subseteq{\uparrow}x$ である。逆に ${\uparrow}y\subseteq{\uparrow}x$ なら、反射律から $y\in{\uparrow}y\subseteq{\uparrow}x$ なので $x\le y$ である。${\downarrow}x\subseteq{\downarrow}y$ との同値も同様である。$\square$

2 と 3 から、$S\mapsto{\uparrow}S$ は任意個の合併を保つ：${\uparrow}\bigl(\bigcup_\lambda S_\lambda\bigr)=\bigcup_\lambda{\uparrow}S_\lambda$。この点で、一般の閉包作用素（たとえば部分群の生成）とは振る舞いが違う。4 から、前順序集合で ${\uparrow}x={\uparrow}y$ となるのは $x\le y$ かつ $y\le x$ のときであり、半順序集合ではそれは $x=y$ のときに限る。
上方集合は、値が 2 つしかない単調写像と同じものである。$\mathbf{2}=\{0,1\}$ に $0< 1$ の順序を入れた鎖を考え、写像の全体には点ごとの順序（$f\le g\iff$ すべての $x$ で $f(x)\le g(x)$）を入れる。

2 元の鎖への単調写像

前順序集合 $P$ の部分集合 $U$ に、その特性関数 $\chi_U\colon P\to\mathbf{2}$（$x\in U$ なら $1$、そうでなければ $0$）を対応させると、$U$ が上方集合であることと $\chi_U$ が単調であることは同値である。これにより、$(\mathcal{U}(P),\subseteq)$ と、$P$ から $\mathbf{2}$ への単調写像の全体（点ごとの順序）は順序同型である。

$\chi_U$ が単調でないことは、$x\le y$ かつ $\chi_U(x)>\chi_U(y)$、すなわち $x\in U$、$y\notin U$、$x\le y$ となる $x,y$ があることである。これは $U$ が上方集合でないことと同じである。部分集合と特性関数の対応 $U\mapsto\chi_U$ は全単射で、$U\subseteq V$ と $\chi_U\le\chi_V$（点ごと）は同値なので、上方集合に制限して順序同型が得られる。$\square$

単調写像 $f\colon P\to Q$ による上方集合 $V\subseteq Q$ の逆像 $f^{-1}[V]$ は上方集合である。これは $\chi_{f^{-1}[V]}=\chi_V\circ f$ が単調写像の合成として単調であることからも分かる。逆に、半順序集合の間の写像で、すべての上方集合（あるいはすべての単項上方集合）の逆像が上方集合となるものは単調である（単調写像 の定理「下集合の逆像による特徴づけ」）。

下方集合の束

上方集合と下方集合の束

$(P,\le)$ を前順序集合とする。

  1. $(\mathcal{U}(P),\subseteq)$ と $(\mathcal{D}(P),\subseteq)$ は完備束であり、上限は合併、下限は共通部分で与えられる。さらに分配律 $U\cap(V\cup W)=(U\cap V)\cup(U\cap W)$、$U\cup(V\cap W)=(U\cup V)\cap(U\cup W)$ が成り立つ。
  2. 補集合をとる写像 $U\mapsto P\setminus U$ は $\mathcal{U}(P)$ から $\mathcal{D}(P)$ への全単射で、包含の向きを逆にする。
  3. $P$ が半順序集合なら、$x\mapsto{\downarrow}x$ は $P$ から $\mathcal{D}(P)$ への順序埋め込み（$x\le y\iff{\downarrow}x\subseteq{\downarrow}y$ を満たす写像）である。さらに $S\subseteq P$ が $P$ で下限 $\bigwedge S$ をもてば ${\downarrow}\bigl(\bigwedge S\bigr)=\bigcap_{s\in S}{\downarrow}s$ であり、この埋め込みは $P$ に存在する下限を保つ。

1. $\mathcal{P}(P)$ では合併が上限、共通部分が下限である。prop-ul-basic の 2 により上方集合の族の合併と共通部分は上方集合なので、それらは $\mathcal{U}(P)$ の中でも上限と下限である。よって $\mathcal{U}(P)$ は完備束である。分配律は集合の等式としてつねに成り立つ。$\mathcal{D}(P)$ についても順序を逆にして同じである。
2. prop-ul-basic の 1 により補集合は $\mathcal{U}(P)$ と $\mathcal{D}(P)$ の間を行き来し、補集合を 2 回とるともとに戻るので全単射である。$U\subseteq V$ と $P\setminus V\subseteq P\setminus U$ は同値である。
3. prop-ul-basic の 4 により $x\le y\iff{\downarrow}x\subseteq{\downarrow}y$ である。下限については、$z\in{\downarrow}\bigl(\bigwedge S\bigr)$ は $z\le\bigwedge S$ のことであり、下限の定義からこれは「すべての $s\in S$ で $z\le s$」、すなわち $z\in\bigcap_{s\in S}{\downarrow}s$ と同値である（$S=\emptyset$ のときは $\bigwedge\emptyset$ が $P$ の最大元で、両辺とも $P$ である）。$\square$

3 の埋め込みは上限を保つとは限らない（ex-ul-counterexamples の 3）。上限も保つように半順序集合を完備束へ埋め込む構成が Dedekind–MacNeille完備化 であり、そこでは下方集合のうち特別なもの（切断）だけを使う。有限の場合には逆向きの結果があり、空でない有限な分配束はある有限半順序集合 $P$ の $\mathcal{D}(P)$ と同型になる（分配束 の定理「有限分配束の表現定理（Birkhoff）」）。

上方集合の生成元

有限半順序集合 $P$ では、上方集合 $U$ はその極小元の全体 $\min U$ から ${\uparrow}(\min U)=U$ として復元され、$U\mapsto\min U$ は上方集合の全体から反鎖の全体への全単射である。これは 有限半順序集合 の命題「下方集合と反鎖の一対一対応」を順序を逆にして読んだものである。とくに有限半順序集合の上方集合はすべて有限生成である。
無限の場合には、上方集合が有限生成になるとは限らない。$\mathbb{R}$ の上方集合 $(0,\infty)$ は極小元をもたず、有限生成でない（ex-ul-examples の 1）。一方、成分ごとの順序（$\alpha\le\beta\iff$ すべての $i$ で $\alpha_i\le\beta_i$）を入れた $\mathbb{Z}_{\ge0}^n$ では、すべての上方集合が有限生成である。これは 単項式順序 の定理「Dickson の補題」の言い換えである。上方集合 $U$ に補題を当てはめて得られる有限集合 $S_0\subseteq U$ について、$U\subseteq{\uparrow}S_0$ と ${\uparrow}S_0\subseteq U$ がともに成り立つからである。

Alexandrov 位相

prop-ul-basic の 2 により、前順序集合 $P$ の上方集合の全体 $\mathcal{U}(P)$ は $P$ 上の位相であり、さらに任意個の共通部分でも閉じている。この位相を Alexandrov 位相という（GvG23 §2.2、p. 41）。その特殊化の前順序はもとの $\le$ に一致し、$P$ が有限なら $P$ 上のすべての位相はこの形で得られる（前順序 の定理「有限集合上の前順序と位相の対応」）。逆に、どの位相空間でも開集合は特殊化の前順序（前順序 の例「位相空間の特殊化の前順序」）についての上方集合である。

例

上方集合と下方集合の例
  1. 実数：$(\mathbb{R},\le)$ の上方集合は、$\emptyset$、$\mathbb{R}$、$a\in\mathbb{R}$ についての $[a,\infty)$ と $(a,\infty)$ に限る。このうち単項上方集合は $[a,\infty)={\uparrow}a$ であり、$(a,\infty)$ は有限生成でない。
  2. 有理数：$(\mathbb{Q},\le)$ の部分集合 $U:=\{q\in\mathbb{Q}\mid q> 0,\ q^2> 2\}$ は上方集合だが、有理数 $a$ について $\{q\in\mathbb{Q}\mid q\ge a\}$ とも $\{q\in\mathbb{Q}\mid q> a\}$ とも書けない。
  3. 冪集合：集合 $X$ と $x_0\in X$ について、$x_0$ を含む部分集合の全体は $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ の単項上方集合 ${\uparrow}\{x_0\}$ である。$\mathbb{N}$ の無限部分集合の全体は $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ の上方集合であり、有限生成でない。集合族のフィルター（フィルター）は上方集合である。
  4. グラフ：頂点集合 $V=\{1,\dots,n\}$ を固定し、辺の集合 $E\subseteq\binom{V}{2}$ を包含で順序づける。グラフ $(V,E)$ が連結グラフとなる $E$ の全体は上方集合であり、$(V,E)$ が閉路をもたない（森である）$E$ の全体は下方集合である。
  5. 整除：正の整数全体に整除の順序 $m\mid n$ を入れる。${\downarrow}n$ は $n$ の正の約数の全体、${\uparrow}n$ は $n$ の倍数の全体である。平方因子をもたない数の全体 $D$ は下方集合であり、その補集合 $U$（$1$ より大きい平方数で割り切れる数の全体）は上方集合で、$U={\uparrow}\{p^2\mid p\text{ は素数}\}$ である。$U$ は有限生成でない。

1 を確かめる。挙げた集合が上方集合であることは明らかである。$U$ を $\emptyset$ でも $\mathbb{R}$ でもない上方集合とする。$U$ が下に有界でなければ、任意の $y\in\mathbb{R}$ について $u\le y$ となる $u\in U$ があり $y\in U$ となるので、$U=\mathbb{R}$ となって矛盾する。よって $U$ は空でなく下に有界であり、実数の完備性から下限 $a:=\inf U$ がある。$y> a$ なら $u< y$ となる $u\in U$ があるので $y\in U$ であり、$(a,\infty)\subseteq U\subseteq[a,\infty)$ となる。$a\in U$ かどうかで $U=[a,\infty)$ か $U=(a,\infty)$ である。$(a,\infty)$ が有限生成でないことは、有限集合 $F\subseteq(a,\infty)$ について $F$ が空なら ${\uparrow}F=\emptyset$、空でなければ $m:=\min F$ に対して $(a+m)/2\in(a,\infty)\setminus{\uparrow}F$ となることから分かる。
2 では、$q\in U$、$q\le r$ なら $r> 0$ かつ $r^2\ge q^2> 2$ なので $U$ は上方集合である。$U=\mathbb{Q}\cap(\sqrt2,\infty)$ なので、$U$ の実数としての下限は $\sqrt2$ である。一方、有理数の稠密性から $\{q\in\mathbb{Q}\mid q\ge a\}$ と $\{q\in\mathbb{Q}\mid q> a\}$ の実数としての下限はどちらも $a$ なので、$U$ がどちらかの形なら $a=\sqrt2$ となり、$a$ が有理数であることに反する。$\mathbb{Q}$ のこのような上方集合は、実数を有理数の切断として作るときの材料になる。
3 では、$A\subseteq B$ で $A$ が無限なら $B$ も無限なので上方集合である。有限個の無限集合 $B_1,\dots,B_k$ について、$b_i\in B_i$ を選んで $C:=\mathbb{N}\setminus\{b_1,\dots,b_k\}$ とおくと、$C$ は無限集合だがどの $B_i$ も含まないので $C\notin{\uparrow}\{B_1,\dots,B_k\}$ である。
4 では、辺を増やしても既存の道はそのまま残るので連結性は保たれ、辺を減らしても閉路は新たに生じないので森であることは保たれる。
5 では、$n$ が平方因子をもたなければその約数も平方因子をもたないので $D$ は下方集合であり、prop-ul-basic の 1 から $U$ は上方集合である。$n\in U$ なら、ある素数 $p$ について $p^2\mid n$ なので $U={\uparrow}\{p^2\}_p$ である。有限集合 $F\subseteq U$ について、$F$ の元のどれも割り切らない素数 $p$ をとると（$F$ の元の素因数は有限個）、$p^2\in U$ だが $p^2$ の約数で $U$ に属するのは $p^2$ だけなので $p^2\notin{\uparrow}F$ である。

凸集合と、上方かつ下方な集合

部分集合 $S\subseteq P$ が（順序についての）凸集合であるとは、$x,z\in S$ かつ $x\le y\le z$ ならば $y\in S$ となることをいう。実数の区間はその典型である。また $P$ の比較可能グラフとは、$P$ を頂点集合とし、$x\neq y$ で $x\le y$ または $y\le x$ となる 2 点を辺で結んだグラフである。

凸集合と比較可能グラフの成分

$(P,\le)$ を前順序集合、$S\subseteq P$ とする。

  1. $S$ が凸集合であることと、$S={\uparrow}S\cap{\downarrow}S$ は同値である。また凸集合はちょうど、上方集合と下方集合の共通部分として書ける集合である。
  2. $S$ が上方集合かつ下方集合であることと、$S$ が比較可能グラフのいくつかの連結成分の合併であることは同値である。とくに比較可能グラフが連結なら（たとえば $P$ が最大元か最小元をもつとき、あるいは全順序のとき）、上方集合かつ下方集合であるのは $\emptyset$ と $P$ だけである。

1. つねに $S\subseteq{\uparrow}S\cap{\downarrow}S$ である。$S$ が凸集合で $y\in{\uparrow}S\cap{\downarrow}S$ なら、$x\le y\le z$ となる $x,z\in S$ があり $y\in S$ である。逆に $S={\uparrow}S\cap{\downarrow}S$ なら、$S$ は上方集合と下方集合の共通部分である。最後に、上方集合 $U$ と下方集合 $D$ について $S=U\cap D$ とし、$x,z\in S$、$x\le y\le z$ とすると、$x\in U$ から $y\in U$、$z\in D$ から $y\in D$ なので $y\in S$ であり、$S$ は凸集合である。
2. $S$ が上方集合かつ下方集合なら、$x\in S$ と辺で結ばれた $y$ は $x\le y$ か $y\le x$ を満たすので $y\in S$ である。辺をたどる回数についての帰納法で、$x\in S$ を含む連結成分は $S$ に含まれる。よって $S$ は、$S$ の元を含む連結成分の合併である。逆に連結成分 $K$ について、$x\in K$、$x\le y$ なら $y=x$ か $y$ が $x$ と辺で結ばれるので $y\in K$ であり、$K$ は上方集合である。同様に下方集合でもある。prop-ul-basic の 2 により、その合併も上方集合かつ下方集合である。最大元 $m$ があれば、すべての $x$ が $x\le m$ なので比較可能グラフは連結であり、最小元や全順序の場合も同様である。$\square$

反例

反例：上方集合・下方集合をめぐる誤り
  1. 上方集合と下方集合の合併：$\mathbb{R}$ の下方集合 $(-\infty,0]$ と上方集合 $[1,\infty)$ の合併 $S$ は、上方集合でも下方集合でもない。$0\in S$、$0\le 1/2$、$1/2\notin S$ なので上方集合でなく、$1\in S$、$1/2\le1$ なので下方集合でもない。凸集合でもない。上方集合の全体と下方集合の全体はそれぞれ合併で閉じるが、混ぜると閉じない。
  2. 極小元からの復元：$\mathbb{R}$ の上方集合 $(0,\infty)$ は極小元をもたないので、$\min U$ が $U$ を生成するという有限半順序集合での性質は、有限性を外すと成り立たない。
  3. 上限を保たない埋め込み：$X=\{1,2\}$、$P=(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ とすると、$\{1\}$ と $\{2\}$ の上限は $X$ だが、$\mathcal{D}(P)$ の中では ${\downarrow}\{1\}\cup{\downarrow}\{2\}=\{\emptyset,\{1\},\{2\}\}$ であり ${\downarrow}X=\mathcal{P}(X)$ と異なる。$x\mapsto{\downarrow}x$ は下限を保つが上限は保たない。
  4. 前順序では単項上方集合が元を区別しない：$P=\{a,b\}$ に $a\le b$ と $b\le a$ の両方を入れた前順序（反対称律を満たさない）では ${\uparrow}a={\uparrow}b=P$ だが $a\neq b$ である。thm-ul-lattice の 3 の埋め込みに反対称律が要るのはこのためである。
  5. 上方集合であるだけではフィルターでない：空でない上方集合でも、任意の 2 元の共通下界を含むとは限らない（順序集合上のフィルターとイデアル の注意「反例：上方閉だけではフィルターでない」）。
主張反例破れる仮定・含意
上方集合と下方集合の合併はどちらかである$(-\infty,0]\cup[1,\infty)\subseteq\mathbb{R}$合併で閉じるのは同じ種類どうし
上方集合は極小元で生成される$(0,\infty)\subseteq\mathbb{R}$有限性
上方集合は有限生成である$\mathbb{N}$ の無限部分集合の全体有限性（$\mathbb{Z}_{\ge0}^n$ なら成り立つ）
$x\mapsto{\downarrow}x$ は上限を保つ$\mathcal{P}(\{1,2\})$ の $\{1\},\{2\}$上限の保存
${\uparrow}x={\uparrow}y$ なら $x=y$2 元の自明でない前順序反対称律
空でない上方集合はフィルターである順序集合上のフィルターとイデアル の反例下向き有向性

関連項目

参考文献

[1]
Mai Gehrke, Sam van Gool, Topological Duality for Distributive Lattices: Theory and Applications, arXiv:2203.03286, 2023, arXiv:2203.03286v5（2023）。§1.3（up-set・down-set・生成される上方集合・単項上方集合、p. 24）、§2.2（Alexandrov 位相、p. 41）

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上方集合と下方集合