平方数

同義語：完全平方square number

概要

前提知識: 整数, 素数, 素因数分解, 合同式

平方数は、整数 $n$ を用いて $n^2$ と書ける整数であり、$0,1,4,9,16,\dots$ と続く。正の平方数は、一辺 $n$ の正方形に並べた点の個数として現れる。素因数分解、合同式、平方根が有理数になる条件、いくつかの平方数の和としての表示など、整数論の基本的な問いに現れる。たとえば $36=6^2$ は平方数であるが、$2$ や $12$ は平方数でない。

定義

平方数

整数 $x$ が平方数（square number）であるとは、ある整数 $n$ が存在して $x=n^2$ となることをいう。完全平方（perfect square）ともいう。$x=n^2=(-n)^2$ なので、$n$ は非負整数にとれる。
平方数は $0$ 以上である。$0=0^2$ は平方数であるが、文脈によっては $0$ を除いて正の平方数だけを平方数と呼ぶことがある。

直感

平方数は「一辺 $n$ の正方形に並ぶ点の個数」であり、$0,1,4,9,16,\dots$ と続く。隣り合う平方数の差 $(n+1)^2-n^2=2n+1$ は奇数の列 $1,3,5,\dots$ をなすので、平方数は間隔を広げながらまばらに分布する。整数の素因数分解から見れば、平方数とはすべての素因数の指数が偶数である数のことであり、この見方から「$\sqrt{n}$ が有理数になるのは $n$ が平方数のときに限る」という基本的な事実が従う。合同式から見れば、平方数を $4$ や $8$ で割った余りは限られた値しかとらず、これが「ある整数が平方数でない」「平方数の和で書けない」ことを示す最も簡単な道具になる。整数を法とする平方数の余りを調べることは平方剰余の理論の出発点である。

例と反例

小さい平方数

平方数を小さい順に並べると $0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,\dots$ である（OEIS290）。$10000=100^2$ は平方数であり、$9802$ 以上 $10200$ 以下の整数のうち平方数は $10000$ だけである（prop-square-number-gap）。

反例：平方数でない整数

$2$、$8=2^3$、$12=2^2\cdot3$ は平方数でない。いずれも素因数分解に指数が奇数の素因数をもつからである（prop-square-number-exponents）。したがって $\sqrt2$、$\sqrt8$、$\sqrt{12}$ は無理数である（prop-square-number-rational-root）。
$-4$ は $(-2)^2=4$ の符号を変えたものであるが、平方数でない。平方数は $0$ 以上だからである。
$7$、$15$、$23$ は平方数でない。$4$ で割った余りが $3$ だからである（prop-square-number-mod-4-8）。
$x^2$ が整数であっても $x$ が整数とは限らない（$x=\sqrt2$）。平方数の定義では $x=n^2$ の $n$ が整数であることが要求されている。

性質

平方数の分布

隣り合う平方数の間隔

非負整数 $n$ に対し $(n+1)^2-n^2=2n+1$ である。したがって、正の平方数 $x=n^2$ に対し、$x-2\sqrt{x}+2\le y\le x+2\sqrt{x}$ を満たす整数 $y\ne x$ は平方数でない。

第 1 の等式は展開すればよい。$x=n^2$（$n\ge1$）とすると $\sqrt{x}=n$ であり、$x$ の直前の平方数は $(n-1)^2=x-2n+1< x-2n+2$、直後の平方数は $(n+1)^2=x+2n+1>x+2n$ である。よって区間 $[x-2n+2,\ x+2n]$ に含まれる平方数は $x$ だけである。$\square$

素因数分解による特徴づけ

素因数の指数による特徴づけ

正の整数 $n$ について、$n$ が平方数であることと、$n$ の素因数分解 $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$（$p_i$ は相異なる素数）に現れる指数 $e_1,\dots,e_r$ がすべて偶数であることとは同値である。

指数がすべて偶数なら $m:=p_1^{e_1/2}\cdots p_r^{e_r/2}$ は整数で $n=m^2$ である。逆に $n=m^2$（$m\ge1$）とし、$m=p_1^{f_1}\cdots p_r^{f_r}$（$f_i\ge0$）と書くと $n=p_1^{2f_1}\cdots p_r^{2f_r}$ である。素因数分解の一意性により $e_i=2f_i$ であり、すべて偶数である。$\square$

平方根の有理性

非負整数 $n$ について、$n$ の平方根 $\sqrt{n}$ が有理数であることと $n$ が平方数であることとは同値である。特に $n$ が平方数でなければ $\sqrt{n}$ は無理数である。

$n$ が平方数なら $\sqrt{n}$ は非負整数であり有理数である。逆に $\sqrt{n}=a/b$（$a\ge0$、$b\ge1$ は整数）とすると $nb^2=a^2$ である。$n=0$ なら平方数である。$n\ge1$ のとき $a\ge1$ であり、素数 $p$ に対して正の整数 $k$ の素因数分解における $p$ の指数を $v_p(k)$（p進付値）と書くと、素因数分解の一意性により $v_p(n)+2v_p(b)=2v_p(a)$ となる。よって $v_p(n)=2(v_p(a)-v_p(b))$ はすべての $p$ について偶数であり、prop-square-number-exponents により $n$ は平方数である。$\square$

法 4・法 8 での剰余

平方数の法 4・法 8 での剰余

整数 $n$ について次が成り立つ。

$n^2\equiv0$ または $1\pmod 4$ であり、$n$ が偶数なら $n^2\equiv0$、奇数なら $n^2\equiv1\pmod 4$ である。
$n^2\equiv0,1,4$ のいずれか $\pmod 8$ であり、$n$ が奇数なら $n^2\equiv1\pmod 8$ である。
したがって、$4$ で割った余りが $2$ または $3$ の整数、および $8$ で割った余りが $2,3,5,6,7$ の整数は平方数でない。

$n=2k$ なら $n^2=4k^2\equiv0\pmod 4$ であり、$n=2k+1$ なら $n^2=4k(k+1)+1$ である。$k(k+1)$ は連続する 2 整数の積なので偶数であり、$n^2\equiv1\pmod 8$、特に $n^2\equiv1\pmod 4$ である。偶数 $n=2k$ については $n^2=4k^2$ であり、$k$ が偶数なら $8\mid n^2$、奇数なら $k^2\equiv1\pmod 8$ より $n^2\equiv4\pmod 8$ である。$\square$

法 4・法 8 の剰余の応用

二つの平方数の和は $4$ で割った余りが $3$ にならない。特に $p\equiv3\pmod 4$ の素数 $p$ は二つの平方数の和として書けない。
三つの平方数の和は $8$ で割った余りが $7$ にならない。特に $8$ で割った余りが $7$ の整数（$7,15,23,\dots$）は三つの平方数の和として書けない。

prop-square-number-mod-4-8 により平方数の法 $4$ での剰余は $0,1$ に限るので、二つの和の剰余は $0,1,2$ に限る。平方数の法 $8$ での剰余は $0,1,4$ に限るので、三つの和の剰余は $\{a+b+c\mid a,b,c\in\{0,1,4\}\}$ を $8$ で割った余り、すなわち $0,1,2,3,4,5,6$ に限り、$7$ は現れない。$\square$

奇素数を法とする平方数の値

奇素数を法とする平方数の剰余の個数

$p$ を奇素数とする。平方数を $p$ で割った余りとして現れる値はちょうど $(p+1)/2$ 個である。すなわち、$0$ と、$1,2,\dots,p-1$ のうち $p$ を法として平方数に合同なもの $(p-1)/2$ 個である。

$n^2$ の $p$ での余りは $n$ の $p$ での余りだけで決まるので、$n=0,1,\dots,p-1$ について $n^2\bmod p$ を調べればよい。$n=0$ は余り $0$ を与え、$1\le n\le p-1$ のとき $p\nmid n^2$ なので余りは $0$ でない。$1\le x,y\le p-1$ について $x^2\equiv y^2\pmod p$ は $p\mid(x-y)(x+y)$ と同値であり、$p$ が素数なので $x\equiv y$ または $x\equiv-y\pmod p$ と同値である。$p$ が奇数なので $y\not\equiv-y\pmod p$ であり、$y$ と $p-y$ は $\{1,\dots,p-1\}$ の相異なる元である。よって $x\mapsto x^2\bmod p$ は $\{1,\dots,p-1\}$ から $\{1,\dots,p-1\}$ への 2 対 1 の写像であり、その像はちょうど $(p-1)/2$ 個からなる。$0$ を合わせて $(p+1)/2$ 個である。$\square$

法 7 での平方数の値

$n=0,1,\dots,6$ に対し $n^2\bmod 7$ は $0,1,4,2,2,4,1$ である。よって平方数を $7$ で割った余りは $0,1,2,4$ の $4=(7+1)/2$ 種類であり、$3,5,6$ は現れない。

平方剰余と Legendre 記号

$p$ を奇素数、$q$ を $p$ で割り切れない整数とする。$q$ がある平方数と $p$ を法として合同であるとき $q$ を $p$ を法とする平方剰余といい、そうでないとき平方非剰余という。prop-square-number-mod-p は、奇素数 $p$ に対し平方剰余と平方非剰余が $1,\dots,p-1$ の中にそれぞれ $(p-1)/2$ 個ずつあることを示している。$q$ が平方剰余なら $1$、平方非剰余なら $-1$、$p\mid q$ なら $0$ を値とする記号 $\left(\frac{q}{p}\right)$ を Legendre記号といい、二つの奇素数 $p,\ell$ に対する $\left(\frac{\ell}{p}\right)$ と $\left(\frac{p}{\ell}\right)$ の関係を与えるのが平方剰余の相互法則である（HW60 Chapter VI）。

平方数の和

二つの平方数の和

素数 $p$ が二つの平方数の和として書けることと、$p=2$ または $p\equiv1\pmod 4$ であることとは同値である。
正の整数 $n$ が二つの平方数の和として書けることと、$n$ の素因数分解において指数が奇数であるすべての素因数 $p$ が $p=2$ または $p\equiv1\pmod 4$ を満たすこととは同値である。

二平方定理の出典

存在を与える向きはこの記事では証明しない。1 は Fermat による（Fermatの二平方定理）。証明は HW60 §20.2–20.4（Theorem 366）に譲る。2 の証明は HW60 §20.2（Theorem 366）および恒等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ による。1 の「$p\equiv3\pmod 4$ なら書けない」の向きは cor-square-number-mod-applications で示した。

二つの平方数の和の例と反例

$360=2^3\cdot3^2\cdot5$ は、指数が奇数の素因数が $2$ と $5$（$5\equiv1\pmod 4$）だけなので二つの平方数の和として書け、実際 $360=6^2+18^2$ である。一方 $120=2^3\cdot3\cdot5$ は素因数 $3\equiv3\pmod 4$ の指数が $1$ で奇数なので二つの平方数の和として書けない。実際、$120$ 以下の平方数 $0,1,4,\dots,100$ のどれを $120$ から引いても平方数にならないことが直接確かめられる。

四平方定理

すべての非負整数は四つの平方数の和として書ける。

四平方定理の出典

四平方定理全体はこの記事では証明しない。証明は HW60 §20.5（Theorem 369）に譲る（Lagrangeの四平方定理）。cor-square-number-mod-applications により $7$ は三つの平方数の和では書けないので、「四つ」を「三つ」に減らすことはできない。三つの平方数の和として書ける整数の特徴づけ（Legendreの三平方定理）は Legendre による（HW60 §20.10）。

平方であることと平方に合同であること

合同式は平方数の判定に役立つが、有限個の法による判定だけでは整数としての平方性を決定しない。例えば $17\equiv1\pmod8$ であるが、$4^2<17<5^2$ なので平方数でない。法8で平方になり得る剰余をもつことは必要条件であり、十分条件ではない。一方、ある法で平方になり得ない剰余を見つければ、その一つの障害だけで平方数でないと結論できる。

有限個の合同条件だけでは平方性は決まらない

正整数 $m_1,\ldots,m_r$ を固定する。このすべてを法として平方数に合同でありながら、整数としては平方数でない正整数が存在する。

$M=m_1\cdots m_r$ とおく。$n> M$ を満たす整数を選び、$a=n^2+M$ とおく。各 $m_i$ は $M$ を割るから $a\equiv n^2\pmod{m_i}$ である。しかし $0< M<2n+1$ なので $n^2< a<(n+1)^2$ であり、$a$ は平方数でない。$n$ を増やせばこのような反例を無限に作れる。$\square$

この命題は、あらゆる法を同時に調べることについて何も述べていない。固定された有限個の合同条件と、整数の素因数分解をすべて把握する条件は区別しなければならない。実際、素因数の指数がすべて偶数という特徴づけは必要十分条件である。

二平方表示に対する指数の障害

二つの平方数の和で表示できるかどうかも、単に法4での剰余だけでは決まらない。例えば $6\equiv2\pmod4$ は法4による排除にかからないが、二平方定理によると表示できない。ここでは、$3\pmod4$ の素因数の指数に対する必要条件を直接証明する。

二平方の和を割る素数

$p\equiv3\pmod4$ を満たす素数 $p$ に対し、$p\mid a^2+b^2$ ならば $p\mid a$ かつ $p\mid b$ である。

$p\nmid b$ と仮定すると、法 $p$ で $b$ は可逆であり $c=ab^{-1}$ に対して $c^2=-1$ となる。$p=4k+3$ と書き、Fermatの小定理から $c^{p-1}=1$ を得る。一方 $c^{p-1}=(c^2)^{(p-1)/2}=(-1)^{2k+1}=-1$ である。奇素数を法として $1\ne-1$ なので矛盾する。よって $p\mid b$ であり、$p\mid a^2$ から $p\mid a$ も従う。$\square$

二平方表示での指数の偶奇

$n=a^2+b^2>0$ なら、$p\equiv3\pmod4$ を満たす素数 $p$ の $n$ における指数は偶数である。

$p\nmid n$ なら指数は0である。$p\mid n$ なら補題により $a=pa_1,b=pb_1$ と書けるので、$n=p^2(a_1^2+b_1^2)$ であり、指数を2減らした正整数も二平方の和である。この操作を指数がなくなるまで繰り返す。もし奇数指数が残って1になれば、同じ補題からなお $p^2$ が割ることになって矛盾する。したがって元の指数は偶数である。$\square$

この証明は二平方定理の必要条件を示している。逆向きの存在証明は、$1\pmod4$ の素数を二平方の和で表示することと、表示の積を作る恒等式を必要とする。必要性の証明だけをもって二平方定理全体の証明とみなすことはできない。HW60 §20.2のTheorem 366は両向きを含む。

三平方と四平方の境界

$7$ が三平方の和にならないことは法8で見えるが、$28=4\cdot7$ は法8では4であり、同じ一段の検査では排除できない。それでも三平方の和にならない。仮に $28=a^2+b^2+c^2$ なら、法4で平方数の剰余は0または1なので、和が0になるには三つすべて0でなければならない。よって $a,b,c$ はすべて偶数であり、4で割ると $7=(a/2)^2+(b/2)^2+(c/2)^2$ となって矛盾する。
同じ議論を繰り返すと、$4^u(8v+7)$（$u,v\ge0$）の形の整数は三平方の和でない。Legendreの三平方定理は、この形でない非負整数は三平方の和であるという逆も述べる。逆向きには存在の証明が必要であり、ここで行った法4・法8による排除とは別の内容である。四平方定理ではこの障害はなくなり、例えば $28=5^2+1^2+1^2+1^2$ と表示できる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
すべての素因数の指数を確認する	$17\equiv1\pmod8$	法8で平方剰余なら整数の平方数であること
二平方定理で指数を確認する	$6\equiv2\pmod4$	法4の障害がなければ二平方表示をもつこと
4の因子を取り除く	$28\equiv4\pmod8$	法8で7でなければ三平方表示をもつこと
根の整数性を要求する	$(\sqrt2)^2=2$	実数の平方なら整数の平方数であること