中心拡大

中心拡大は、核 $A$ が可換で、定まる作用が自明な拡大である。拡大の同値は $G$ 上の準同型で $A$ の上で恒等写像になるものによって定義され、それは自動的に同型である（群の拡大 の命題「拡大の射は同型」）。よってこの主張は、群の拡大 の定理「拡大の分類」を自明な作用の $G$ 加群 $A$ に当てはめたものである。$\square$

1：別の持ち上げは $x\iota(a)$、$y\iota(b)$ と書ける。$\iota(a),\iota(b)$ は中心にあるので
$$ [x\iota(a),y\iota(b)]=x\iota(a)\,y\iota(b)\,\iota(a)^{-1}x^{-1}\,\iota(b)^{-1}y^{-1}=xyx^{-1}y^{-1} $$
である。
2：$G$ が可換なら $\pi([x,y])=[g,h]=1$ なので $[x,y]\in\iota(A)$ である。$x,x'$ を $g,g'$ の持ち上げとすると $xx'$ は $gg'$ の持ち上げで、
$$ [xx',y]=x\,(x'yx'^{-1}y^{-1})\,y\,x^{-1}y^{-1}=x\,[x',y]\,x^{-1}\,[x,y]=[x',y]\,[x,y] $$
となる（最後は $[x',y]$ が中心にあることによる）。よって $c(gg',h)=c(g,h)+c(g',h)$ である。$[y,x]=[x,y]^{-1}$ から $c(h,g)=-c(g,h)$、$[x,x]=1$ から $c(g,g)=0$ で、第 2 変数についての準同型性も第 1 変数から従う。
3：$c(g,h)\ne0$ なら持ち上げ $x,y$ は可換でない。分裂する中心拡大は直積 $A\times G$ と同型で、$G$ が可換なら可換群なので、分裂しない。$\square$

$f_1,f_2$ を $G$ 上の準同型とする。$\pi'(f_1(x))=\pi(x)=\pi'(f_2(x))$ なので、$\varphi(x):=f_2(x)^{-1}f_1(x)$ は $\ker\pi'$ に属し、中心にある。$f_1(x)=f_2(x)\varphi(x)$ と書けて、
$$ f_2(xy)\varphi(xy)=f_1(xy)=f_1(x)f_1(y)=f_2(x)\varphi(x)f_2(y)\varphi(y)=f_2(xy)\varphi(x)\varphi(y) $$
（$\varphi(x)$ が中心にあることを使った）なので、$\varphi\colon E\to\ker\pi'$ は可換群への準同型である。可換群への準同型は交換子を $1$ に写すので、$E=[E,E]$ から $\varphi$ は自明であり、$f_1=f_2$ である。$\square$

$\pi([E,E])=[G,G]=G$ なので、$e\in E$ に対し $\pi(c)=\pi(e)$ となる $c\in[E,E]$ があり、$e=c\,(c^{-1}e)$、$c^{-1}e\in A$ である。よって $E=[E,E]A$ である。$x,y\in[E,E]$、$a,b\in A$ について、$a,b$ は中心にあるので $[xa,yb]=[x,y]$ であり、$[E,E]$ は $\bigl[\,[E,E],[E,E]\,\bigr]$ の元の積で書ける。すなわち $[E,E]$ は完全群である。$\pi|_{[E,E]}$ は全射で、その核 $[E,E]\cap A$ は $[E,E]$ の中心に含まれる。$\square$

必要性．$u\colon U\to G$ を普遍中心拡大とし、$B:=U/[U,U]$ とおく。$B$ は可換群なので、第 2 成分への射影 $B\times G\to G$ は中心拡大である。$x\mapsto(1,u(x))$ と $x\mapsto(x[U,U],u(x))$ はどちらも $G$ 上の準同型 $U\to B\times G$ なので、一意性からこれらは等しく、$B$ は自明群、すなわち $U$ は完全群である。$u$ は全射なので $G=u([U,U])=[G,G]$ であり、$G$ も完全群である。
十分性．$G$ を完全群とする。$\bar F:=F/[F,R]$ とおく。$r\in R$、$f\in F$ について $[f,r]\in[F,R]$ なので、$R/[F,R]$ は $\bar F$ の中心に含まれ、$p$ が誘導する $\bar p\colon\bar F\to G$ は核 $R/[F,R]$ の中心拡大である。$[F,R]\subseteq[F,F]$ なので $[\bar F,\bar F]=[F,F]/[F,R]=U$ であり、lem-ce-commutator-subgroup により $U$ は完全群で、$u=\bar p|_U$ は $G$ の中心拡大である。
$\pi\colon E\to G$ を中心拡大とし、核を $A$ とする。$F$ の自由生成元 $x$ ごとに $\pi(e_x)=p(x)$ となる $e_x\in E$ を選ぶと、自由群の普遍性（自由群 の定義「自由群」）により、$h(x)=e_x$ となる準同型 $h\colon F\to E$ があり、$\pi\circ h=p$ である。$h(R)\subseteq\ker\pi=A$ は中心にあるので $h([f,r])=[h(f),h(r)]=1$ であり、$h$ は $\bar h\colon\bar F\to E$ を誘導する。$\bar h|_U$ は $G$ 上の準同型である。$U$ は完全群なので、lem-ce-perfect-unique によりそれは一意である。$\square$

1：交代性は明らかである。Jacobi 恒等式の巡回和の第 1 成分は $\mathfrak{g}$ の Jacobi 恒等式により $0$、第 2 成分は $\beta([x,y],z)$ の巡回和なので $0$ である。$(0,a)$ との括弧積は $0$ なので、$M$ は中心に入る。
2：$\pi(\beta_s(x,y))=[x,y]-[x,y]=0$ なので $\beta_s$ は $M:=\ker\pi$ に値をもち、交代的である。$M$ は中心にあるので、$\mathfrak{e}$ の Jacobi 恒等式を $s(x),s(y),s(z)$ に当て、$[s(x),s(y)]=s([x,y])+\beta_s(x,y)$ を代入すると
$$ 0=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl[\,[s(x),s(y)],s(z)\bigr]=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(s([\,[x,y],z])+\beta_s([x,y],z)\bigr) $$
となる。第 1 項の和は $\mathfrak{g}$ の Jacobi 恒等式により $s(0)=0$ なので、$\beta_s$ は 2-コサイクルである。$\Phi(y,a):=s(y)+a$ は線形な全単射で（$e=s(\pi(e))+(e-s(\pi(e)))$）、$M$ が中心にあることから
$$ [\Phi(y,a),\Phi(y',a')]=[s(y),s(y')]=s([y,y'])+\beta_s(y,y')=\Phi\bigl([(y,a),(y',a')]\bigr) $$
である。最後に $s'=s+\mu$（$\mu$ は $M$ に値をもつ）なら $[s'(x),s'(y)]=[s(x),s(y)]$ なので $\beta_{s'}(x,y)=\beta_s(x,y)-\mu([x,y])$ である。$\square$