軌道・安定化群定理
概要
軌道・安定化群定理（orbit-stabilizer theorem）とは、群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき、点 $x$ の軌道 $G\cdot x$ が安定化群 $G_x$ の左剰余類の集合 $G/G_x$ と $gG_x\mapsto g\cdot x$ によって一対一に対応するという定理である。とくに軌道の元の個数は指数 $[G:G_x]$ に等しく、$G$ が有限群なら $|G|=|G\cdot x|\cdot|G_x|$ となり、軌道の元の個数は $|G|$ の約数である。立方体の回転群の位数や二項係数の計算、類等式、Cauchy の定理、Burnside の補題などの基礎になる。
前提知識: 群の作用, 剰余類, 部分群の指数, Lagrangeの定理
軌道・安定化群定理（orbit-stabilizer theorem）とは、群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき、各点 $x\in X$ の軌道 $G\cdot x$ が、安定化群 $G_x$ による左剰余類の集合 $G/G_x$ と、$gG_x\mapsto g\cdot x$ によって一対一に対応するという定理である。とくに軌道の元の個数は安定化群の指数 $[G:G_x]$ に等しく、$G$ が有限群なら
$$
|G|=|G\cdot x|\cdot|G_x|
$$
が成り立つ。
この等式は「群の大きさ ＝ 動かした先の個数 × 動かさないものの個数」と読める。群の位数を幾何学的な対称性から数える、組合せ論の公式を群の言葉で導く、有限群の構造を作用から調べる、といった場面で、もっとも基本的な道具になる。共役による作用に当てはめると共役類の大きさの公式と類等式が得られ（中心化群と正規化群）、素数位数の巡回群の作用に当てはめると Cauchy の定理が得られる（Cauchyの定理(群論)）。
| 結果 | 内容 | 仮定 |
|---|---|---|
| thm-os-main | $G/G_x\to G\cdot x$ は $G$ 集合の同型 | 任意の群と作用 |
| cor-os-transitive | 推移的な $G$ 集合は $G/H$ の形 | 作用が推移的 |
| prop-os-conjugate | 同じ軌道の点の安定化群は共役 | 任意の群と作用 |
| prop-os-orbit-sum | 1 つの軌道の上で安定化群の位数の和は $\lvert G\rvert$ | $G$ が有限 |
定義と主張
以下、群の単位元を $e$ と書き、作用はすべて左作用とする。群 $G$ の集合 $X$ への作用とは、写像 $G\times X\to X$、$(g,x)\mapsto g\cdot x$ であって、すべての $x\in X$ について $e\cdot x=x$、すべての $g,h\in G$、$x\in X$ について $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$ を満たすものである（群の作用）。
群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし、$x\in X$ とする。
- $G\cdot x:=\{g\cdot x\mid g\in G\}$ を $x$ の軌道（orbit）という。
- $G_x:=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ を $x$ の安定化群（stabilizer）という。固定部分群・等方部分群とも呼ばれ、$\operatorname{Stab}_G(x)$ とも書く。
- $G$ の部分群 $H$ について、左剰余類 $aH$ の全体を $G/H$ と書く。$G$ は $G/H$ に $g\cdot aH:=gaH$ で作用する（代表元によらないことは、$aH=a'H$ なら $a'=ah$（$h\in H$）で $ga'H=gaH$ であることによる）。
- $G$ 集合 $X,Y$ の間の写像 $f\colon X\to Y$ が、すべての $g\in G$、$x\in X$ について $f(g\cdot x)=g\cdot f(x)$ を満たすとき、$f$ を $G$ 写像（同変写像）という。全単射な $G$ 写像を $G$ 集合の同型という。
$G_x$ は $G$ の部分群である。実際 $e\cdot x=x$ なので $e\in G_x$、$g,h\in G_x$ なら $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)=x$、$h\in G_x$ なら $h^{-1}\cdot x=h^{-1}\cdot(h\cdot x)=(h^{-1}h)\cdot x=x$ である。また、$X$ は相異なる軌道の互いに交わらない和集合である（群の作用 の命題「軌道による分割と安定化群」）。
群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし、$x\in X$ とする。写像
$$
\varphi_x\colon G/G_x\longrightarrow G\cdot x,\qquad gG_x\longmapsto g\cdot x
$$
は代表元の取り方によらずに定まり、全単射な $G$ 写像である。したがって
- 軌道 $G\cdot x$ の濃度は、安定化群の指数 $[G:G_x]$ に等しい。
- $G$ が有限群なら $|G|=|G\cdot x|\cdot|G_x|$ であり、軌道の元の個数 $|G\cdot x|$ は $|G|$ の約数である。
$g,h\in G$ について、次の同値が成り立つ。
$$
gG_x=hG_x\iff h^{-1}g\in G_x\iff (h^{-1}g)\cdot x=x\iff g\cdot x=h\cdot x .
$$
最初の同値は左剰余類が等しい条件（剰余類 の命題「剰余類による分割」）、2 つ目は安定化群の定義である。3 つ目は、$(h^{-1}g)\cdot x=h^{-1}\cdot(g\cdot x)$ なので、$(h^{-1}g)\cdot x=x$ の両辺に $h$ を施すと $g\cdot x=h\cdot x$ が得られ、逆に $g\cdot x=h\cdot x$ の両辺に $h^{-1}$ を施すと $(h^{-1}g)\cdot x=(h^{-1}h)\cdot x=x$ が得られることによる。
左から右への向き「$gG_x=hG_x\Rightarrow g\cdot x=h\cdot x$」は、$\varphi_x$ の値が代表元によらないことを示す。右から左への向きは、$\varphi_x$ が単射であることを示す。軌道の元はどれも $g\cdot x$ の形なので $\varphi_x$ は全射である。$g'\in G$ について
$$
\varphi_x(g'\cdot gG_x)=\varphi_x(g'gG_x)=(g'g)\cdot x=g'\cdot(g\cdot x)=g'\cdot\varphi_x(gG_x)
$$
なので、$\varphi_x$ は $G$ 写像である。
1：全単射があるので $G\cdot x$ と $G/G_x$ の濃度は等しく、後者は指数 $[G:G_x]$ の定義である（部分群の指数）。
2：$G$ が有限なら、Lagrangeの定理 により $|G|=[G:G_x]\cdot|G_x|$ である。1 により $[G:G_x]=|G\cdot x|$ なので $|G|=|G\cdot x|\cdot|G_x|$ を得る。とくに $|G\cdot x|$ は $|G|$ を割る。$\square$
証明の中心は、写像 $G\to G\cdot x$、$g\mapsto g\cdot x$ の各ファイバーが $G_x$ の左剰余類であることである。$g\cdot x=y$ となる $g$ の全体は、そのような $g_0$ を 1 つ固定すると $g_0G_x$ に等しい。群 $G$ は、軌道の点ごとに同じ大きさ $|G_x|$ のかたまりに分かれている。
群 $G$ が集合 $X$ に推移的に作用している（$X\neq\emptyset$ で、軌道がただ 1 つである）とし、$x\in X$ とする。このとき $\varphi_x\colon G/G_x\to X$ は $G$ 集合の同型である。したがって、推移的な $G$ 集合はどれも、ある部分群 $H$ についての $G/H$ と同型である。
推移性から $G\cdot x=X$ であり、thm-os-main の $\varphi_x$ が $G/G_x$ から $X$ への全単射な $G$ 写像になる。$H=G_x$ とすればよい。$\square$
$X$ は軌道に分かれ、各軌道の上で $G$ は推移的に作用するので、cor-os-transitive により、どの $G$ 集合も剰余類の集合 $G/H$ の形のものの非交和と同型である。$H$ の取り方の自由度は、次の命題が示すとおり共役の範囲にとどまる。
群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし、$x\in X$、$g\in G$ とする。このとき $G_{g\cdot x}=gG_xg^{-1}$ である。とくに、同じ軌道に属する 2 点の安定化群は互いに共役であり、$G$ が有限なら位数が等しい。
$h\in G_x$ なら $(ghg^{-1})\cdot(g\cdot x)=(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)=g\cdot x$ なので、$gG_xg^{-1}\subset G_{g\cdot x}$ である。同じ包含を点 $g\cdot x$ と元 $g^{-1}$ に当てはめると $g^{-1}G_{g\cdot x}g\subset G_{g^{-1}\cdot(g\cdot x)}=G_x$、すなわち $G_{g\cdot x}\subset gG_xg^{-1}$ である。共役写像 $h\mapsto ghg^{-1}$ は全単射なので、$G_x$ と $gG_xg^{-1}$ の位数は等しい。$\square$
例
原点を中心とする立方体 $Q=[-1,1]^3$ を自分自身に写す、原点のまわりの回転（行列式 $1$ の直交行列）の全体を $G$ とする。$G$ は写像の合成で群をなし、$Q$ の 6 つの面の集合に作用する。
- 軌道：座標軸のまわりの $90^\circ$ 回転を組み合わせると、どの面もほかのどの面にも移せるので、面の集合への作用は推移的であり、上面 $F=\{z=1\}\cap Q$ の軌道は 6 面全体である。
- 安定化群：$g\in G_F$ は線形写像なので、$F$ の重心 $(0,0,1)$ を $g(F)=F$ の重心、すなわち $(0,0,1)$ 自身に写す。$0$ でないベクトルを動かさない回転は、そのベクトルを軸とする回転である。したがって $g$ は $z$ 軸のまわりの回転で、正方形 $F$ を自分自身に写すものであり、回転角は $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$ の 4 通りである。
thm-os-main により $|G|=6\cdot4=24$ である。同じ数え方を頂点の集合（8 頂点、頂点 $(1,1,1)$ の安定化群は対角線 $\{t(1,1,1)\}$ のまわりの $0^\circ,120^\circ,240^\circ$ 回転の 3 元）に当てはめても $8\cdot3=24$、辺の集合（12 辺、安定化群は辺の中点を通る軸のまわりの $0^\circ,180^\circ$ 回転の 2 元）に当てはめても $12\cdot2=24$ となり、結果は一致する。
$n\ge1$、$0\le k\le n$ とする。対称群 $S_n$ は、$\{1,\dots,n\}$ の $k$ 元部分集合の全体 $X_k$ に $\sigma\cdot A:=\sigma(A)$ で作用する。どの $k$ 元部分集合も、適当な置換で $A_0:=\{1,\dots,k\}$ に写るので、作用は推移的である。$A_0$ の安定化群は $\sigma(A_0)=A_0$ を満たす置換、すなわち $\{1,\dots,k\}$ と $\{k+1,\dots,n\}$ をそれぞれ自分自身に写す置換の全体であり、その位数は $k!\,(n-k)!$ である（各部分の置換を独立に選べる）。$|S_n|=n!$（群の作用 の例「対称群の自然な作用」）と thm-os-main から
$$
|X_k|=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}
$$
であり、$k$ 元部分集合の個数を表す二項係数の公式が得られる。
$H,K$ を有限群 $G$ の部分群とし、$KH:=\{kh\mid k\in K,\ h\in H\}$ とおく。$K$ は左剰余類の集合 $G/H$ に左からの積で作用する。$H$（剰余類 $eH$）の軌道は $\{kH\mid k\in K\}$ であり、その安定化群は $\{k\in K\mid kH=H\}=K\cap H$ である。thm-os-main により、相異なる剰余類 $kH$（$k\in K$）はちょうど $[K:K\cap H]$ 個ある。$KH$ はこれらの剰余類の非交和で、各剰余類は $|H|$ 個の元からなるので
$$
|KH|=|H|\cdot[K:K\cap H]=\frac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}
$$
である。$HK=\{hk\}$ は逆元をとる写像 $x\mapsto x^{-1}$ で $K^{-1}H^{-1}=KH$ と一対一に対応するので、$|HK|$ も同じ値である（同じ公式の別の証明は 群の位数 の命題「直積と部分群の積の位数」）。
位数 $15$ の群 $G$ が 7 元集合 $X$ に作用しているとする。thm-os-main により各軌道の元の個数は $15$ の約数 $1,3,5,15$ のどれかで、$X$ は軌道の非交和なので、軌道の大きさの和は $7$ である。$15$ は大きすぎ、$3a+5b=7$ を満たす非負整数 $a,b$ はない（$b=0,1$ のとき $7-5b=7,2$ はどちらも $3$ の倍数でない）。したがって大きさ $1$ の軌道、すなわち固定点が少なくとも 1 つある。
$G$ や $X$ が無限でも、thm-os-main の全単射は成り立つ。
- 整数の加法群 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（$n\ge1$）に $m\cdot\bar a:=\overline{a+m}$ で作用する。$\bar0$ の軌道は $n$ 元全体、安定化群は $n\mathbb{Z}$ であり、$[\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}]=n$ と一致する。
- 3 次の回転群 $\mathrm{SO}(3)$ は単位球面 $S^2$ に作用する。どの単位ベクトルも適当な回転で北極 $N=(0,0,1)$ に写るので作用は推移的であり、$N$ の安定化群は $z$ 軸のまわりの回転の群 $\mathrm{SO}(2)$ と同一視できる。cor-os-transitive により、集合として $S^2$ は剰余類の集合 $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$ と $\mathrm{SO}(3)$ 集合として同型である。これは 等質空間 の典型例であり、この対応が位相空間としての同相でもあることはこの記事では証明しない。
応用
軌道分解の式
$G$ が有限群、$X$ が有限集合で、相異なる軌道の代表元を $x_1,\dots,x_r$ とすると、$X$ は軌道の非交和なので、thm-os-main から
$$
|X|=\sum_{i=1}^{r}|G\cdot x_i|=\sum_{i=1}^{r}[G:G_{x_i}]
$$
である。右辺の各項は $|G|$ の約数であり、項が $1$ になるのは $x_i$ が固定点のときに限る。この形の式の代表的な使い方は次の 2 つである。
- 共役による作用 $g\cdot x:=gxg^{-1}$ に当てはめると、$x$ の軌道は共役類、安定化群は中心化群 $C_G(x)$ であり、類等式 $|G|=|Z(G)|+\sum[G:C_G(x_i)]$ が得られる（中心化群と正規化群 の定理「共役の個数」）。
- $G$ が素数 $p$ の冪を位数にもつ群なら、2 元以上の軌道の大きさはすべて $p$ の倍数なので、$|X|$ と固定点の個数 $|X^G|$ は $p$ を法として合同である（p群 の補題「固定点の個数の合同式」）。Cauchy の定理（Cauchyの定理(群論)）と Sylowの定理 の証明は、この合同式を使う。
安定化群の位数の和と軌道の個数
有限群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし、$O\subset X$ を 1 つの軌道とする。このとき
$$
\sum_{y\in O}|G_y|=|G|
$$
である。とくに $X$ が有限なら、軌道の個数を $|X/G|$ と書くと $\sum_{y\in X}|G_y|=|G|\cdot|X/G|$ である。
$x\in O$ を 1 つとると $O=G\cdot x$ であり、$G$ は有限なので $O$ も有限で $|O|=[G:G_x]$ である（thm-os-main）。prop-os-conjugate により、$O$ のどの点 $y$ についても $|G_y|=|G_x|$ である。よって
$$
\sum_{y\in O}|G_y|=|O|\cdot|G_x|=[G:G_x]\cdot|G_x|=|G|
$$
である（最後は Lagrangeの定理）。$X$ が有限なら、$X$ を軌道に分けて各軌道で和をとれば、後半の等式を得る。$\square$
集合 $\{(g,y)\in G\times X\mid g\cdot y=y\}$ の元の個数を、$y$ ごとに数えると $\sum_y|G_y|$、$g$ ごとに数えると $\sum_g|X^g|$（$X^g$ は $g$ が動かさない点の集合）になる。これと prop-os-orbit-sum を合わせたものが、軌道の個数を固定点の個数の平均として表す Burnsideの補題 である。首飾りや立方体の塗り分けの数え上げへの応用はその記事で扱う。
反例
| 外す条件・変える仮定 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 2 点が同じ軌道にあること | $S_3$ が $\{1,2,3,4\}$ に $4$ を動かさずに作用する | 2 点の安定化群は互いに共役である |
| $G$ が可換群であること | $S_3$ が $\{1,2,3\}$ に作用する | 同じ軌道の 2 点の安定化群は等しい |
| 割る相手を $\lvert G\rvert$ から $\lvert X\rvert$ に変える | $S_3$ が $\{1,2,3,4\}$ に $4$ を動かさずに作用する | 軌道の元の個数は $\lvert X\rvert$ を割る |
| $G$ が群であること（逆元の存在） | 2 元のモノイド $\{1,z\}$（$z^2=z$）の 2 元集合への作用 | 軌道は $X$ を互いに交わらない部分集合に分ける |
| $G$ が有限であること | $\mathbb{Z}$ の 1 点集合への自明な作用 | 軌道が有限なら安定化群も有限 |
1 行目：$1$ の安定化群 $\{e,(2\,3)\}$ は位数 $2$、$4$ の安定化群 $S_3$ は位数 $6$ なので、2 つは共役でない。逆向き「安定化群が等しい 2 点は同じ軌道にある」も成り立たない。$X=\{1,2,3\}\sqcup\{1',2',3'\}$ に $S_3$ を $\sigma\cdot i=\sigma(i)$、$\sigma\cdot i'=\sigma(i)'$ で作用させる。$1$ と $1'$ の安定化群はどちらも $1$ を動かさない置換の全体 $\{e,(2\,3)\}$ で等しいが、軌道は $\{1,2,3\}$ と $\{1',2',3'\}$ で異なる。
2 行目：$\{1,2,3\}$ への自然な作用は推移的なので $1$ と $2$ は同じ軌道にあるが、$G_1=\{e,(2\,3)\}$、$G_2=\{e,(1\,3)\}$ は異なる（prop-os-conjugate により共役ではある）。$G$ が可換なら共役な部分群は等しいので、同じ軌道の点の安定化群は等しい。
3 行目：軌道は $\{1,2,3\}$ と $\{4\}$ で、$3$ は $|X|=4$ を割らない。thm-os-main が保証するのは $3\mid|S_3|=6$ である。
4 行目：$M=\{1,z\}$（$z^2=z$。たとえば整数の乗法に関する $\{1,0\}$）を $X=\{a,b\}$ に、$1$ は恒等写像、$z$ はどちらの点も $a$ に写すものとして作用させる。$z\cdot(z\cdot y)=a=(zz)\cdot y$ なので作用の 2 条件は満たされる。$b$ の軌道 $M\cdot b=\{a,b\}$ と $a$ の軌道 $M\cdot a=\{a\}$ は交わるが一致しない。群では $y=g\cdot x$ から $x=g^{-1}\cdot y$ が出るので「同じ軌道にある」が対称な関係になるが、ここでは $z$ に逆元がないのでそれが崩れている。
5 行目：1 点集合 $\{x\}$ では軌道は $\{x\}$ の 1 元で、安定化群は $\mathbb{Z}$ 全体である。thm-os-main の 1 は $[\mathbb{Z}:\mathbb{Z}]=1$ として正しいが、2 の等式 $|G|=|G\cdot x|\cdot|G_x|$ から $|G_x|$ を割り算で求めることは、$G$ が有限でないとできない。
補足
$G$ が位相群で $X$ が位相空間、作用が連続なとき、$\varphi_x\colon G/G_x\to G\cdot x$ は連続な全単射になる（$G/G_x$ に商位相を入れる）。$G$ がコンパクトで $X$ が Hausdorff 空間なら、これは同相写像である（コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像なので）。ex-os-infinite の $S^2\cong\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$ はこの場合にあたる。一般の Lie群 の作用では同相になるとは限らず、軌道の位相を調べるには別の議論が要る（等質空間）。
この定理は有限群論では「軌道の大きさは群の位数を割る」という形で、組合せ論では「全体を対称性で割る」数え上げの形で現れる。どちらの形でも、要点は thm-os-main の写像 $\varphi_x$ が全単射であることに尽きる。主張は DF04 §4.1 Proposition 2（p. 114）にある。
関連項目
- 前提: 群の作用, 剰余類, 部分群の指数, Lagrangeの定理
- 応用: 中心化群と正規化群, Cauchyの定理(群論), Burnsideの補題, Sylowの定理
- 比較: p群, 等質空間
参考文献
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