畳み込み

非負可測関数 $(x,y)\mapsto |f(y)|\,|g(x-y)|$ にTonelliの定理を用いる。Lebesgue測度の平行移動不変性により
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d}|f(y)|\,|g(x-y)|\,dy\,dx &=\int_{\mathbb R^d}|f(y)| \left(\int_{\mathbb R^d}|g(x-y)|\,dx\right)dy\\ &=\|f\|_1\|g\|_1<\infty. \end{aligned} $$
従って内側の積分はほとんどすべての $x$ で有限であり、$f*g$ はほとんど至る所で定義される。さらに三角不等式とTonelliの定理から
$$ \begin{aligned} \|f*g\|_1 &\leq(2\pi)^{-d/2} \int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d}|f(y)|\,|g(x-y)|\,dy\,dx\\ &=(2\pi)^{-d/2}\|f\|_1\|g\|_1. \end{aligned} $$
よって $f*g\in L^1$ である。$f$ または $g$ を零集合上で変更しても上の二重積分の被積分関数が変わるのは二次元の零集合上だけなので、得られる $L^1$ の同値類は代表元によらない。$\blacksquare$

可換性は、積分が絶対収束する $x$ に対して $z=x-y$ と変数変換すれば
$$ (f*g)(x)=(2\pi)^{-d/2}\int f(x-z)g(z)\,dz=(g*f)(x) $$
となることから従う。
結合性では、まずTonelliの定理と二回の平行移動によって
$$ \int_{\mathbb R^{3d}}|f(z)|\,|g(y-z)|\,|h(x-y)|\,dx\,dy\,dz =\|f\|_1\|g\|_1\|h\|_1<\infty $$
を得る。従って、ほとんどすべての $x$ について以下の二重積分は絶対収束し、Fubiniの定理と $w=y-z$ という変数変換を適用できる。そのような $x$ に対して
$$ \begin{aligned} ((f*g)*h)(x) &=(2\pi)^{-d}\int\!\int f(z)g(y-z)h(x-y)\,dz\,dy\\ &=(2\pi)^{-d}\int\!\int f(z)g(w)h(x-z-w)\,dw\,dz\\ &=(f*(g*h))(x). \end{aligned} $$
両辺は prop-convolution-l1-young により $L^1$ の元なので、ほとんど至る所の一致は $L^1$ における一致を意味する。$\blacksquare$

prop-convolution-l1-young により $f*g\in L^1$ なので、左辺のFourier積分は全ての $\xi$ で定義される。また
$$ \int_{\mathbb R^{2d}}|f(y)|\,|g(x-y)|\,dx\,dy =\|f\|_1\|g\|_1<\infty $$
であり、指数因子の絶対値は $1$ なのでFubiniの定理を適用できる。$z=x-y$ と変数変換すると
$$ \begin{aligned} \widehat{f*g}(\xi) &=(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d} e^{-ix\cdot\xi}f(y)g(x-y)\,dy\,dx\\ &=(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d} e^{-i(y+z)\cdot\xi}f(y)g(z)\,dz\,dy\\ &=\left((2\pi)^{-d/2}\int e^{-iy\cdot\xi}f(y)\,dy\right) \left((2\pi)^{-d/2}\int e^{-iz\cdot\xi}g(z)\,dz\right)\\ &=\widehat f(\xi)\widehat g(\xi). \end{aligned} $$
積分交換を支えるのは $f,g\in L^1$ という仮定であり、形式的な指数計算だけではない。$\blacksquare$

$g$ は有界なので、各 $x$ について
$$ \int|f(y)g(x-y)|\,dy\leq\|g\|_\infty\|f\|_1 $$
であり、絶対収束とノルム評価を得る。$C_0(\mathbb R^d)$ の関数は一様連続だから、$h\to0$ のとき
$$ \begin{aligned} |(f*g)(x+h)-(f*g)(x)| &\leq(2\pi)^{-d/2}\int|f(y)|\,|g(x+h-y)-g(x-y)|\,dy\\ &\leq(2\pi)^{-d/2}\|f\|_1 \sup_z|g(z+h)-g(z)| \end{aligned} $$
の右辺は $x$ に一様に $0$ へ収束する。従って $f*g$ は連続である。
最後に $f=0$ なら明らかなので $\|f\|_1>0$ とする。任意の $\varepsilon>0$ に対し、コンパクト集合 $A,K$ を、
$$ \int_{\mathbb R^d\setminus A}|f(y)|\,dy <\frac{\varepsilon(2\pi)^{d/2}}{2(\|g\|_\infty+1)}, \qquad |g(z)|<\frac{\varepsilon(2\pi)^{d/2}}{2\|f\|_1}\qquad(z\notin K) $$
となるように取る。$x\notin A+K$ なら $y\in A$ に対して $x-y\notin K$ であるから、積分を $A$ とその補集合へ分けて
$$ |(f*g)(x)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $$
を得る。$A+K$ はコンパクトなので、$f*g$ は無限遠で $0$ へ収束する。$\blacksquare$