Shilovの冪等元定理
概要
Shilovの冪等元定理（Shilov idempotent theorem）とは、可換な複素単位的 Banach 代数の文字空間が互いに交わらない二つの閉集合に分かれるとき、一方の上で $1$、他方の上で $0$ となる Gelfand 変換をもつ冪等元がただ一つ存在するという定理である。とくに文字空間が連結であることと、冪等元が $0$ と $1$ だけであることは同値になる。証明では、多変数の正則汎関数計算で Gelfand 変換が $0$ と $1$ だけをとる元を作り、根基の元への冪級数の代入で冪等元に直す。同じ方法で、Gelfand 変換の方程式の連続な単根は代数の中の解に持ち上がり、可逆元は Gelfand 変換が連続な $n$ 乗根をもつときに限り $n$ 乗根をもつ。
前提知識: Banach代数, 多変数の正則汎関数計算, 冪等元
零でない可換環 $R$ では、冪等元（$e^2=e$ となる元）と素スペクトル $\operatorname{Spec}R$ の開かつ閉な部分集合が 1 対 1 に対応し、$\operatorname{Spec}R$ が連結でないことと $R$ が二つの零でない環の直積に分かれることが同値になる（冪等元 の定理「冪等元と素スペクトルの開かつ閉部分集合」と系「連結性の判定」）。可換な Banach 代数 $A$ では、素スペクトルの代わりに文字空間 $M(A)$ を見るのが自然である。Shilov の冪等元定理（Shilov idempotent theorem）は、$M(A)$ を開かつ閉な二つの部分に分けると、その一方の上で $1$、他方の上で $0$ になる Gelfand 変換をもつ冪等元が $A$ の中に実際にあることを述べる。
この定理は代数だけでは証明できない。Gelfand 変換は単射とは限らず、$M(A)$ 上の連続関数が Gelfand 変換として現れるとも限らないからである。証明は二段からなる。まず 多変数の正則汎関数計算 で Gelfand 変換が $0$ と $1$ だけをとる元 $u$ を作る。$u$ 自身は冪等とは限らず、$u^2-u$ は Gelfand 変換が $0$ の元にすぎない。そこで冪級数による補正で $u$ を本当の冪等元に直す。同じ二段の方法で、Gelfand 変換の方程式が連続な単根をもてば、係数が $A$ の元の多項式の方程式が $A$ の中に解をもつこと（Arens–Calderón の定理）、可逆元が $n$ 乗根をもつための条件も得られる。
設定と根基
記号と規約は 同時スペクトル にそろえる。$A$ は零でない可換な複素単位的 Banach 代数で、$\|1_A\|=1$ とする（Banach代数 の定義「単位的 Banach 代数」）。$M(A)$ は文字空間で、空でないコンパクト Hausdorff 空間である。$a\in A$ の Gelfand 変換を $\hat a(\chi):=\chi(a)$ と書く。Banach代数 の定理「文字の値がスペクトルを尽くす」により $\sigma_A(a)=\hat a(M(A))$ なので、$a$ が可逆であることと $\hat a$ が $M(A)$ 上で $0$ にならないことは同値である。
$\operatorname{rad}A:=\{a\in A:\hat a=0\}=\bigcap_{\chi\in M(A)}\ker\chi$ を $A$ の根基という。
$\operatorname{rad}A$ は閉イデアルである。$\sup_{M(A)}|\hat a|$ はスペクトル半径に等しいので、スペクトル半径 の定理「Gelfand のスペクトル半径公式」により
$$
a\in\operatorname{rad}A\iff\lim_{k\to\infty}\|a^k\|^{1/k}=0
$$
である。文字の核は極大イデアルであり、極大イデアルはどれも文字の核なので（Banach代数 の節「可換 Banach 代数と文字」）、$\operatorname{rad}A$ は環としての Jacobson根基 に等しい。冪零元は根基に入るが、根基の元は冪零とは限らない：Volterra 作用素 $V$ と恒等作用素の生成する閉部分代数では、$\|V^k\|^{1/k}\to0$ なので $V$ は根基に入るが、$V$ は冪零でない（スペクトル半径 の例「行列・連続関数・Volterra 作用素」の 3）。
- 冪等元 $p\in\operatorname{rad}A$ は $p=0$ である。
- 冪等元 $e,e'\in A$ について $\hat e=\hat e'$ なら $e=e'$ である。
- 冪等元 $e$ について $\hat e$ は $0$ と $1$ の値だけをとる連続関数である。
1：$\|p\|=\|p^k\|$ なので $\|p\|^{1/k}=\|p^k\|^{1/k}\to0$ であり、$\|p\|=0$ である。
2：$x:=e-e'$ とおくと $\hat x=0$ である。可換性から $x^2=e-2ee'+e'$、$x^3=x\cdot x^2=e-e'=x$ である。よって $x=x^{3^m}$ であり、$\|x\|=\|x^{3^m}\|$ から $\|x\|^{1/3^m}=\|x^{3^m}\|^{1/3^m}\to0$ となって $x=0$ である。
3：$\hat e^2=\hat e$ なので各点の値は $0$ か $1$ であり、$\hat e$ は連続である。$\square$
冪級数の代入
補正には、根基の元に冪級数を代入する操作を使う。$A[\![t]\!]$ を $A$ の元を係数とする形式的冪級数の環とする。
$x\in\operatorname{rad}A$ とし、$\mathcal S\subset A[\![t]\!]$ を、ある $C,R>0$ について $\|c_k\|\le CR^k$（すべての $k$）を満たす冪級数 $\sum_kc_kt^k$ の全体とする。このとき $\mathcal S$ は $A[\![t]\!]$ の部分環で、各 $\sum_kc_kt^k\in\mathcal S$ について $\sum_kc_kx^k$ は $A$ で絶対収束し、
$$
\Phi_x\colon\mathcal S\to A,\qquad\sum_kc_kt^k\mapsto\sum_kc_kx^k
$$
は環準同型で、すべての文字 $\chi$ について $\chi\bigl(\Phi_x(\sum_kc_kt^k)\bigr)=\chi(c_0)$ を満たす。
収束．$\|c_kx^k\|\le C(R^k\|x^k\|)$ であり、$(R^k\|x^k\|)^{1/k}=R\|x^k\|^{1/k}\to0$ なので、根の判定法により $\sum_k\|c_kx^k\|< \infty$ である。$A$ は完備なので級数は収束する。
積．二重級数 $\sum_{k,l}c_kd_lx^{k+l}$ は絶対収束するので、和の順序を入れ替えてよく、代入は積を保つ。
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$\sum c_kt^k$、$\sum d_lt^l\in\mathcal S$（定数 $C,R$ と $C',R'$）の積の係数 $e_m:=\sum_{k+l=m}c_kd_l$ は $\|e_m\|\le(m+1)CC'\max(R,R')^m\le CC'(2\max(R,R'))^m$ を満たすので、積は $\mathcal S$ に入る。和も同様である。$\sum_{k,l}\|c_kd_lx^{k+l}\|\le\sum_k\|c_kx^k\|\sum_l\|d_lx^l\|< \infty$ なので、$\sum_me_mx^m=\bigl(\sum_kc_kx^k\bigr)\bigl(\sum_ld_lx^l\bigr)$ である。
文字の値．$\chi$ は連続で積を保ち、$\chi(x)=0$ なので、$\chi(\sum c_kx^k)=\sum\chi(c_k)\chi(x)^k=\chi(c_0)$ である。$\square$
たとえば $s(t):=\sum_k\binom{-1/2}{k}4^kt^k$（係数は $1_A$ の複素数倍）は、$|\binom{-1/2}{k}|\le1$ なので $\mathcal S$ に入る（$C=1$、$R=4$）。複素数係数の冪級数として $|t|< 1/4$ で $s(t)=(1+4t)^{-1/2}$（主値）なので、係数を比べて $s(t)^2(1+4t)=1$ が形式的冪級数として成り立つ。
主定理
$M(A)$ の部分集合 $N$ について、$N$ の上で $1$、補集合の上で $0$ の関数を $\mathbf 1_N$ と書く。
$M(A)=M_0\cup M_1$ を、互いに交わらない二つの閉集合への分割とする。このとき $A$ の冪等元 $e_0,e_1$ で
$$
e_0+e_1=1_A,\qquad e_0e_1=0,\qquad\hat e_0=\mathbf 1_{M_0},\qquad\hat e_1=\mathbf 1_{M_1}
$$
を満たすものが、ただ一組ある。
$M_0$、$M_1$ は互いの補集合なので、どちらも開かつ閉である。
$M_1=\emptyset$ なら $(e_0,e_1)=(1_A,0)$、$M_0=\emptyset$ なら $(0,1_A)$ が条件を満たす。以下どちらも空でないとする。
Gelfand 変換が $0$ と $1$ だけをとる元．$(\chi_0,\chi_1)\in M_0\times M_1$ では $\chi_0\ne\chi_1$ なので、$\hat g(\chi_0)\ne\hat g(\chi_1)$ となる $g\in A$ があり、この不等号は $(\chi_0,\chi_1)$ の近傍の直積の上でも成り立つ。$M_0\times M_1$ はコンパクトなので、有限個の $f_1,\dots,f_n\in A$ で、すべての $(\chi_0,\chi_1)\in M_0\times M_1$ についてある $j$ で $\hat f_j(\chi_0)\ne\hat f_j(\chi_1)$ となるものがとれる。$F:=(\hat f_1,\dots,\hat f_n)\colon M(A)\to\mathbb C^n$ とおくと、$E_i:=F(M_i)$ は交わらないコンパクト集合で、同時スペクトルは $\sigma_A(f_1,\dots,f_n)=F(M(A))=E_0\cup E_1$ である（Banach代数 の定理「同時スペクトルは文字の値の組」）。交わらない開集合 $U_0\supset E_0$、$U_1\supset E_1$ をとり、$U_0$ の上で $0$、$U_1$ の上で $1$ の関数を $\varphi$ とすると、$\varphi$ は $U_0\cup U_1$ の上で正則である。多変数の正則汎関数計算 の定理「正則関数は Gelfand 変換に作用する」により、$u\in A$ で $\hat u=\varphi\circ F=\mathbf 1_{M_1}$ となるものがある。
冪等元への補正．$x:=u^2-u$ とおくと $\hat x=\hat u^2-\hat u=0$ なので $x\in\operatorname{rad}A$ である。lem-si-substitution の後の $s(t)$ に $x$ を代入して $s(x):=\Phi_x(s)$ とおくと、$\Phi_x$ は環準同型なので $s(x)^2(1_A+4x)=1_A$ であり、すべての文字で $\chi(s(x))=1$ である。
$$
v:=(2u-1_A)\,s(x)
$$
とおくと、$(2u-1_A)^2=4u^2-4u+1_A=1_A+4x$ なので $v^2=(1_A+4x)s(x)^2=1_A$ である。$e_1:=(1_A+v)/2$ とおけば
$$
e_1^2=\frac{1_A+2v+v^2}{4}=\frac{1_A+v}{2}=e_1
$$
であり、$\chi(e_1)=\bigl(1+(2\chi(u)-1)\bigr)/2=\chi(u)$ なので $\hat e_1=\mathbf 1_{M_1}$ である。$e_0:=1_A-e_1$ は冪等元で（冪等元 の命題「冪等元の基本性質」の 1）、$e_0e_1=e_1-e_1^2=0$、$\hat e_0=1-\mathbf 1_{M_1}=\mathbf 1_{M_0}$ である。
一意性．条件を満たす別の組 $(e_0',e_1')$ があれば、$\hat e_1'=\hat e_1$ なので prop-si-radical-idempotent の 2 により $e_1'=e_1$、$e_0'=1_A-e_1'=e_0$ である。$\square$
正則汎関数計算で得た $u$ は一般には冪等でない。$\hat u$ を変えずに根基の元を $u$ に足せるからである。補正の式 $e_1=\frac12\bigl(1_A+(2u-1_A)(1_A+4(u^2-u))^{-1/2}\bigr)$ は、Gelfand 変換を $\hat u$ のまま保って $u$ を冪等元へ動かしている。
- $M(A)$ が連結であることと、$A$ の冪等元が $0$ と $1_A$ だけであることは同値である。
- thm-si-main の $e_0,e_1$ について、$I_i:=Ae_i$（$i=0,1$）は閉イデアルで、$e_i$ を単位元とする可換な Banach 代数（単位元のノルムは $1$ とは限らない）であり、$I_0I_1=0$ である。写像 $a\mapsto(ae_0,ae_1)$ は $A$ から直積の代数 $I_0\times I_1$（成分ごとの積、ノルムは成分の最大）への代数同型で、それ自身もその逆も連続である。さらに $\chi\mapsto\chi|_{I_i}$ は、$M_i$ から $I_i$ の零でない乗法的線形汎関数の全体への全単射である。
1：$e\ne0,1_A$ が冪等元なら、prop-si-radical-idempotent の 3 により $M(A)=\{\hat e=0\}\cup\{\hat e=1\}$ は交わらない閉集合への分割である。$\{\hat e=1\}=\emptyset$ なら $e\in\operatorname{rad}A$ で、同命題の 1 から $e=0$ となり矛盾する。$\{\hat e=0\}=\emptyset$ なら $1_A-e$ について同じ矛盾が起きる。よって $M(A)$ は連結でない。逆に $M(A)$ が二つの空でない開かつ閉な集合 $M_0$、$M_1$ に分かれれば、thm-si-main の $e_1$ は $\hat e_1$ が定数でないので $0$ でも $1_A$ でもない。
2：$a=ae_0+ae_1$、$e_i^2=e_i$、$e_0e_1=0$ から、$a\mapsto(ae_0,ae_1)$ は逆写像 $(y_0,y_1)\mapsto y_0+y_1$ をもつ代数同型である。
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$I_i=\{a:ae_i=a\}$ は連続写像 $a\mapsto a-ae_i$ の零点集合なので閉である。$e_i^2=e_i$ と $e_0e_1=0$ から両方の写像は積を保ち、$\|ae_i\|\le\|e_i\|\|a\|$、$\|y_0+y_1\|\le2\max\|y_i\|$ から連続である。
例
$K:=\{|z+2|\le1\}\cup\{|z-2|\le1\}\subset\mathbb C$ とし、$A:=C_A(K)$ を多項式の $K$ への制限の一様閉包とする。$\mathbb C\setminus K$ は連結なので $K$ は多項式凸であり（岡–Weilの近似定理 の例「平面のコンパクト集合」）、同時スペクトル の例「多項式で近似できる関数の環」により $M(A)$ は $\widehat K=K$ と同一視され、Gelfand 変換は関数そのものである。$K$ は連結でないので、thm-si-main により、左の円板で $0$、右の円板で $1$ の関数が $A$ に入る。すなわちこの関数は $K$ の上で多項式によって一様に近似できる。
この結論は Runge の定理からも直接得られる。Shilov の冪等元定理は、多項式で近似できるかという問いを、文字空間が連結かという位相の問いに置き換えている。
Wiener 代数 $W$（円板代数とWiener代数）の文字空間は単位円周 $\mathbb T$ で連結なので、cor-si-connected の 1 により $W$ の冪等元は $0$ と $1$ だけである。Fourier 係数を対応させて $W$ を畳み込み代数 $\ell^1(\mathbb Z)$ と同一視すると、$a*a=a$ を満たす $a\in\ell^1(\mathbb Z)$ は $0$ と $\delta_0$（第 $0$ 成分だけ $1$ の列）だけである。
多項式の方程式と単根の持ち上げ
冪等元は方程式 $w^2-w=0$ の解である。主定理の方法は、係数が $A$ の元の多項式の方程式に広がる。$w^0:=1_A$ とする。
$a_0,\dots,a_n\in A$ とし、$w\in A$ が $\sum_{k=0}^na_kw^k=0$ を満たすとする。このとき $h:=\hat w$ は $M(A)$ 上の連続関数で、すべての $\chi\in M(A)$ について $\sum_{k=0}^n\hat a_k(\chi)h(\chi)^k=0$ である。
文字 $\chi$ は単位元を保ち積を保つ線形写像なので、$0=\chi(\sum_ka_kw^k)=\sum_k\chi(a_k)\chi(w)^k$ である。$\hat w$ は文字空間の位相の定義から連続である。$\square$
逆は成り立たない（下の ex-si-double-root）。各 $\chi$ ごとの複素係数の多項式を $P_\chi(t):=\sum_k\hat a_k(\chi)t^k$ とする。$M(A)$ 上の連続関数 $h$ の値 $h(\chi)$ がすべての $\chi$ で $P_\chi$ の単根、つまり $P_\chi(h(\chi))=0$ かつ $P_\chi'(h(\chi))\ne0$ であれば逆が成り立つ、というのが次の定理である。まず根基の中で方程式を解く。
$b_0,\dots,b_n\in A$（$n\ge1$）とし、$b_0\in\operatorname{rad}A$、$b_1$ は可逆とする。このとき $u\in\operatorname{rad}A$ で $\sum_{j=0}^nb_ju^j=0$ となるものがある。
$c_j:=b_1^{-1}b_j$ とおくと $c_0\in\operatorname{rad}A$、$c_1=1_A$ であり、$c_0+u+\sum_{j\ge2}c_ju^j=0$ を解けばよい。
形式解．$A[\![t]\!]$ の元 $U(t)=\sum_{k\ge1}d_kt^k$ を、$d_1:=-1_A$ と、$k\ge2$ について
$$
d_k:=-\sum_{j=2}^nc_j\sum_{\substack{i_1+\cdots+i_j=k\\ i_l\ge1}}d_{i_1}\cdots d_{i_j}
$$
で定める（右辺には $i_l< k$ の $d_{i_l}$ だけが現れる）。係数を比べると $t+U+\sum_{j=2}^nc_jU^j=0$ が $A[\![t]\!]$ で成り立つ。
係数の評価．$\|d_k\|\le C\cdot(2/\rho)^k$ となる定数 $C,\rho>0$ があり、$U$ は lem-si-substitution の $\mathcal S$ に入る。
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$\gamma:=\max_{j\ge2}\|c_j\|$（$n=1$ なら $\gamma:=0$）とし、実数 $D_k$ を $D_1:=1$ と上と同じ形の漸化式 $D_k:=\gamma\sum_{j=2}^n\sum D_{i_1}\cdots D_{i_j}$ で定めると、帰納法で $\|d_k\|\le D_k$ である。一方、$w-\gamma\sum_{j=2}^nw^j=t$、$w(0)=0$ を満たす $t=0$ の近くの正則関数 $w(t)$ がある（正則関数の陰関数定理、Hor90 Theorem 2.1.2、p. 24）。その Taylor 係数は同じ漸化式を満たすので $D_k$ に等しく、$w$ が円板 $|t|< \rho$ で正則なことから、半径 $\rho/2$ の円周での Cauchy の評価式により $D_k\le C(2/\rho)^k$ となる定数 $C$ がある。
代入．$u:=\Phi_{c_0}(U)$ とおく。$\Phi_{c_0}$ は環準同型で $t\mapsto c_0$ なので、$c_0+u+\sum_jc_ju^j=0$ である。$U$ の定数項は $0$ なので $\chi(u)=0$、すなわち $u\in\operatorname{rad}A$ である。両辺に $b_1$ を掛ければ主張を得る。$\square$
$a_0,\dots,a_n\in A$（$n\ge1$）とし、$M(A)$ 上の連続関数 $h$ が、すべての $\chi\in M(A)$ について
$$
\sum_{k=0}^n\hat a_k(\chi)h(\chi)^k=0,\qquad\sum_{k=1}^nk\,\hat a_k(\chi)h(\chi)^{k-1}\ne0
$$
を満たすとする。このとき $w\in A$ で $\sum_{k=0}^na_kw^k=0$ かつ $\hat w=h$ となるものがある。
最高次の係数 $\hat a_n$ が $0$ になる点があってもよい。証明では、正則関数の陰関数定理を次の形で使う：多項式 $G(c,t):=\sum_{k=0}^nc_kt^k$（$c\in\mathbb C^{n+1}$）と $G(c^0,t^0)=0$、$\partial_tG(c^0,t^0)\ne0$ を満たす点について、$c^0$ の開近傍 $W$、$t^0$ の開円板 $D$、正則関数 $\psi\colon W\to D$ で、$W\times D$ の中の $G$ の零点がちょうど $\psi$ のグラフになるものがある（陰関数定理 の定理「陰関数定理」を $\mathbb C=\mathbb R^2$ とみて使い、$\psi$ の正則性は Hor90 Theorem 2.1.2 による）。
有限個の元で $h$ を決める．有限個の $a_{n+1},\dots,a_\nu\in A$ で、すべての $j\le\nu$ について $\hat a_j(\chi)=\hat a_j(\chi')$ なら $h(\chi)=h(\chi')$ となるものがある。
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$\chi\ne\chi'$ の組には、$\hat g(\chi)\ne\hat g(\chi')$ となる $g$ をとり、この不等号が成り立つ近傍の直積を対応させる。対角の組 $(\chi_0,\chi_0)$ には、$c^0:=(\hat a_0(\chi_0),\dots,\hat a_n(\chi_0))$、$t^0:=h(\chi_0)$ で上の $W$、$D$、$\psi$ をとり、開集合 $N:=\{\chi:(\hat a_k(\chi))_k\in W,\ h(\chi)\in D\}$ の直積 $N\times N$ を対応させる。$\chi,\chi'\in N$ で $\hat a_k(\chi)=\hat a_k(\chi')$（$k\le n$）なら、$h(\chi)$ と $h(\chi')$ はどちらも $G(c,\cdot)$ の $D$ の中の零点なので $\psi(c)$ に等しい。これらの直積は $M(A)\times M(A)$ を覆い、コンパクト性から有限個で覆える。そこで使った $g$ を $a_{n+1},\dots,a_\nu$ とすればよい。
同時スペクトルの上の連続関数．$q:=(\hat a_0,\dots,\hat a_\nu)\colon M(A)\to\mathbb C^{\nu+1}$、$K:=q(M(A))=\sigma_A(a_0,\dots,a_\nu)$ とおくと、$h=H_K\circ q$ となる関数 $H_K\colon K\to\mathbb C$ がただ一つある。$\mathbb C$ の閉集合 $F$ について $H_K^{-1}(F)=q(h^{-1}(F))$ はコンパクトなので閉であり、$H_K$ は連続である。
正則な延長．$H_K$ は、$K$ を含む開集合 $N$ の上の正則関数 $H$ に延びる。
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$x\in K$ では $G(x_0,\dots,x_n,H_K(x))=0$、$\partial_tG\ne0$ である（$x=q(\chi)$ とすれば仮定の式そのもの）。陰関数定理を最初の $n+1$ 座標に使い、$x$ の開近傍 $W_x\subset\mathbb C^{\nu+1}$ と正則関数 $\psi_x$ をとる。$H_K$ の連続性から $W_x$ を縮めて、$K\cap W_x$ の上で $\psi_x=H_K$ とできる。$K$ を有限個の開球 $V_1,\dots,V_m$ で覆い、$\overline{V_i}\subset W_{x_i}$、$\psi_i:=\psi_{x_i}$ とする。$E_{ij}:=\{z\in V_i\cap V_j:\psi_i(z)\ne\psi_j(z)\}$ の閉包は $K$ と交わらない：$x\in K\cap\overline{V_i}\cap\overline{V_j}$ では $\psi_i(x)=\psi_j(x)=H_K(x)$ であり、点 $(x,H_K(x))$ での陰関数定理の一意性から、$x$ の近くで $\psi_i=\psi_j$ となるからである。$N:=\bigcup_iV_i\setminus\bigcup_{i,j}\overline{E_{ij}}$ は $K$ を含む開集合で、$N\cap V_i$ の上で $H:=\psi_i$ とおけば矛盾なく定まる。
Gelfand 変換の解と補正．多変数の正則汎関数計算 の定理「正則関数は Gelfand 変換に作用する」により、$\hat w_0=H\circ q=h$ となる $w_0\in A$ がある。$P(w):=\sum_ka_kw^k$ とおくと、可換性から
$$ P(w_0+u)=\sum_{j=0}^nb_ju^j,\qquad b_j:=\sum_{k=j}^n\binom kj a_kw_0^{k-j} $$
である。$\chi(b_0)=\sum_k\hat a_k(\chi)h(\chi)^k=0$ なので $b_0\in\operatorname{rad}A$、$\chi(b_1)=\sum_kk\hat a_k(\chi)h(\chi)^{k-1}\ne0$ がすべての $\chi$ で成り立つので $b_1$ は可逆である。lem-si-radical-root の $u\in\operatorname{rad}A$ をとり $w:=w_0+u$ とおけば、$P(w)=0$ かつ $\hat w=\hat w_0=h$ である。$\square$
主定理は $n=2$、$P(w)=w-w^2$、$h=\mathbf 1_{M_1}$ の場合でもある：$P'(t)=1-2t$ は $t=0,1$ で $\pm1$ なので単根の条件を満たす。
$a\in A$ を可逆元、$n\ge1$ とする。$a$ が $A$ の中に $n$ 乗根をもつ（$w^n=a$ となる $w\in A$ がある）ことと、$\hat a$ が $M(A)$ の上に連続な $n$ 乗根（$h^n=\hat a$ となる連続関数 $h$）をもつことは同値である。さらにこのとき、与えられた $h$ について $\hat w=h$ となる $w$ がとれる。
$w^n=a$ なら $h:=\hat w$ は prop-si-necessary により連続で $h^n=\hat a$ である。逆に $h$ が連続で $h^n=\hat a$ とする。$a$ は可逆なので $\hat a$ は $0$ にならず、$h$ も $0$ にならない。$P(t)=t^n-a$ について $P_\chi'(h(\chi))=nh(\chi)^{n-1}\ne0$ なので、thm-si-simple-root により $w^n=a$、$\hat w=h$ となる $w$ がある。$\square$
Wiener 代数 $W$ の元 $z$ は可逆（$z^{-1}\in W$）だが、$W$ の中に平方根をもたない。$\mathbb T$ の上の連続関数 $h$ で $h(e^{i\theta})^2=e^{i\theta}$ となるものはないからである：あれば $k(\theta):=h(e^{i\theta})e^{-i\theta/2}$ は $[0,2\pi]$ 上の連続関数で値は $\pm1$ なので定数だが、$k(2\pi)=h(1)e^{-i\pi}=-k(0)$ となって矛盾する。一方、一般の $A$ で $M(A)$ の上 $\operatorname{Re}\hat a>0$ となる元 $a$ は可逆で、偏角の主値を使えば $\hat a$ の連続な $n$ 乗根が作れるので、cor-si-roots によりすべての $n\ge1$ について $A$ の中に $n$ 乗根をもつ。
仮定を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $M_0$、$M_1$ が閉であること（thm-si-main） | $A(\overline{\mathbb D})$、$M_1=\{\lvert z\rvert< 1/2\}$ | $\hat e_1=\mathbf 1_{M_1}$ となる冪等元の存在 |
| $h$ が単根であること（thm-si-simple-root） | $\mathbb C1_A\oplus\mathbb C\varepsilon$、$w^2-\varepsilon$、$h=0$ | 解 $w$ の存在 |
| $h$ が連続であること（thm-si-simple-root） | $W$、$w^2-z$、各点で選んだ平方根 | 解 $w$ の存在 |
| $a$ が可逆であること（cor-si-roots） | $\mathbb C1_A\oplus\mathbb C\varepsilon$、$a=\varepsilon$ | 連続な平方根から平方根が得られること |
1 行目：冪等元の Gelfand 変換は連続だが（prop-si-radical-idempotent の 3）、$\mathbf 1_{\{|z|< 1/2\}}$ は $\overline{\mathbb D}$ の上で連続でない。$\{|z|< 1/2\}$ は開集合だが閉集合でない。
2・4 行目：$A=\mathbb C1_A\oplus\mathbb C\varepsilon$（$\varepsilon^2=0$、$\|\alpha1_A+\beta\varepsilon\|:=|\alpha|+|\beta|$）の文字は $\chi(\alpha1_A+\beta\varepsilon)=\alpha$ だけである（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の例「反例：一般のGelfand変換は単射とは限らない」）。$\hat\varepsilon=0$ なので $h=0$ は $t^2-\hat\varepsilon=t^2$ の連続な根だが、$P'(0)=0$ で単根でない。$w=\alpha1_A+\beta\varepsilon$ について $w^2=\alpha^2 1_A+2\alpha\beta\varepsilon=\varepsilon$ とすると $\alpha^2=0$ かつ $2\alpha\beta=1$ となり、解はない。4 行目では $a=\varepsilon$ が可逆でない（$\hat\varepsilon=0$）。
3 行目：$\hat z(e^{i\theta})=e^{i\theta}$ は $0$ にならないので、各点の根は単根である。しかし ex-si-no-root のとおり連続な根はなく、prop-si-necessary により解 $w$ もない。
補足
prop-si-necessary は Hor90 の式 (3.2.1)・(3.2.2) の後の段落（pp. 70–71）、thm-si-simple-root と lem-si-radical-root は同 Theorem 3.2.5 と Lemma 3.2.6–3.2.8（pp. 71–73）、thm-si-main と cor-si-connected は同 Theorem 3.2.9 とその後の段落（pp. 73–74）、cor-si-roots は同 Theorem 3.2.10（p. 74）に対応する。Hor90 は Theorem 3.2.9 を Theorem 3.2.5 に $h(1-h)=0$ を当てて導いている。この記事の prf-si-main は、同じ二段の方法を二項級数の補正で直接書いたものである。thm-si-simple-root の補正の段は、根基を法とした単根を持ち上げる点で Henselの補題 に似ている。これらの結果の多くは Shilov によるもので、いずれも Arens と Calderón の論文にある（同書第 III 章の Notes、pp. 75–76）。
関連項目
- 前提: Banach代数, 多変数の正則汎関数計算, 冪等元
- 証明で使う: 同時スペクトル, スペクトル半径, 陰関数定理
- 例: 円板代数とWiener代数, 岡–Weilの近似定理
- 比較: Jacobson根基, Henselの補題, Banach環とC*-環のスペクトル理論
- 発展: Shilov境界
参考文献
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