対数積分

$t>0$、$t\ne1$ に対し
$$g(t):=\frac{1}{\log t}-\frac{1}{t-1}=\frac{(t-1)-\log t}{(t-1)\log t}$$
とおく。$\log t=(t-1)-\tfrac12(t-1)^2+O((t-1)^3)$（$t\to1$）により分子は $\tfrac12(t-1)^2+O((t-1)^3)$、分母は $(t-1)^2+O((t-1)^3)$ なので、$g(t)\to\tfrac12$（$t\to1$）である。よって $g$ は $g(1):=\tfrac12$ と定めれば $(0,\infty)$ で連続であり、$t\to0+$ で $g(t)\to0-(-1)=1$ なので $(0,x]$ で有界である。したがって $\int_0^x g(t)\,dt$ は通常の広義積分として収束する。一方、
$$\int_0^{1-\varepsilon}\frac{dt}{t-1}+\int_{1+\varepsilon}^{x}\frac{dt}{t-1}=\Bigl[\log|t-1|\Bigr]_0^{1-\varepsilon}+\Bigl[\log(t-1)\Bigr]_{1+\varepsilon}^{x}=\log\varepsilon-0+\log(x-1)-\log\varepsilon=\log(x-1)$$
は $\varepsilon$ によらない。$1/\log t=1/(t-1)+g(t)$ を代入すれば、極限は存在して
$$\operatorname{li}(x)=\log(x-1)+\int_0^x g(t)\,dt$$
である。最後の主張について、$x>1$ のときは上の表示を微分して $\operatorname{li}'(x)=1/(x-1)+g(x)=1/\log x$ であり、$0< x<1$ のときは定義から直接、微積分学の基本定理により $\operatorname{li}'(x)=1/\log x$ である。$\square$

$x>e$ とする。部分積分により
$$\operatorname{li}(x)-\operatorname{li}(e)=\int_e^x\frac{dt}{\log t}=\left[\frac{t}{\log t}\right]_e^x+\int_e^x\frac{dt}{\log^2t}=\frac{x}{\log x}-e+\int_e^x\frac{dt}{\log^2t}$$
である。$e\le t< x$ で $1/\log^2t>1/\log^2x$ なので $\int_e^x dt/\log^2t>(x-e)/\log^2x$ であり、下からの評価を得る。
上からの評価について、$x\ge e^2$ のときは積分を $\sqrt{x}$ で分ける。$t\ge e$ で $1/\log^2t\le1$ なので $\int_e^{\sqrt{x}}dt/\log^2t\le\sqrt{x}-e$ であり、$t\ge\sqrt{x}$ で $1/\log^2t\le1/\log^2\sqrt{x}=4/\log^2x$ なので $\int_{\sqrt{x}}^xdt/\log^2t\le4(x-\sqrt{x})/\log^2x<4x/\log^2x$ である。合わせて主張の右辺を得る。$e< x< e^2$ のときは $\int_e^xdt/\log^2t\le x-e$ であり、$\log^2x<4$ より $x<4x/\log^2x$、よって $x-e<4x/\log^2x+\sqrt{x}-e$ となり、やはり右辺を得る。
$\operatorname{li}(e)$ は定数であり、$\sqrt{x}=O(x/\log^2x)$ なので、両側の評価から $\operatorname{li}(x)=x/\log x+O(x/\log^2x)$ が従い、これを $x/\log x$ で割れば $\operatorname{li}(x)/(x/\log x)\to1$ である。$\square$

$m\ge1$ に対し $I_m(x):=\int_2^x dt/\log^mt$ とおく。$\dfrac{d}{dt}\dfrac{t}{\log^mt}=\dfrac{1}{\log^mt}-\dfrac{m}{\log^{m+1}t}$ なので、部分積分により
$$I_m(x)=\frac{x}{\log^mx}-\frac{2}{\log^m2}+m\,I_{m+1}(x)$$
である。これを $m=1,2,\dots,r+1$ について順に代入すると、$r$ に関する数学的帰納法により
$$I_1(x)=\sum_{k=0}^{r}k!\left(\frac{x}{\log^{k+1}x}-\frac{2}{\log^{k+1}2}\right)+(r+1)!\,I_{r+2}(x)$$
を得る（$r=0$ は上の等式そのもの、$r\to r+1$ は $I_{r+2}$ に上の等式を適用する）。$\operatorname{li}(x)=\operatorname{li}(2)+I_1(x)$ なので第 1 の等式を得る。
剰余項について、$x\ge4$ とし、積分を $\sqrt{x}$ で分ける。$t\ge2$ で $1/\log^{r+2}t\le1/\log^{r+2}2$ なので $\int_2^{\sqrt{x}}dt/\log^{r+2}t\le\sqrt{x}/\log^{r+2}2=O(\sqrt{x})$ であり、$\sqrt{x}=O(x/\log^{r+2}x)$ である。$t\ge\sqrt{x}$ では $1/\log^{r+2}t\le2^{r+2}/\log^{r+2}x$ なので $\int_{\sqrt{x}}^xdt/\log^{r+2}t\le2^{r+2}x/\log^{r+2}x$ である。定数 $c_r$ も $O(x/\log^{r+2}x)$ なので、剰余項の評価を得る。$\square$

thm-logarithmic-integral-asymptotic-expansion で $r=1$ とすると $\operatorname{li}(x)=x/\log x+x/\log^2x+O(x/\log^3x)$ であり、これを $x/\log^2x$ で割ればよい。$\square$

$x\ge2$ とする。Abel の総和公式（Abelの級数変形法とその応用）を $a_n=\log n$（$n$ が素数のとき）、$a_n=0$（それ以外）、$f(t)=1/\log t$ に適用すると、$A(t)=\sum_{n\le t}a_n=\theta(t)$ であり
$$\pi(x)=\sum_{p\le x}\log p\cdot\frac{1}{\log p}=\frac{\theta(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)}{t\log^2t}\,dt$$
となる。ここに $\theta(t)=t+O(E(t))$ を代入すると
$$\pi(x)=\frac{x}{\log x}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2t}+O\!\left(\frac{E(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{E(t)}{t\log^2t}\,dt\right)$$
である。一方、thm-logarithmic-integral-asymptotic-expansion の証明の等式（$m=1$）により
$$\operatorname{Li}(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t}=\frac{x}{\log x}-\frac{2}{\log2}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2t}$$
なので、$\operatorname{li}(x)=\operatorname{Li}(x)+\operatorname{li}(2)$ と合わせて $\pi(x)=\operatorname{li}(x)+O(1)+O\!\left(E(x)/\log x+\int_2^xE(t)\,dt/(t\log^2t)\right)$ を得る。$E\ge1$ より $\int_2^x E(t)\,dt/(t\log^2t)\ge1/\log2-1/\log x$ であり、これは $x\ge4$ で正の定数以上、$2\le x<4$ では $E(x)/\log x\ge1/\log4$ なので、誤差項全体は下から正の定数で抑えられ、$O(1)$ はこれに吸収される。$\square$