対数積分
概要
$1/\log x$ の積分により定義される特殊関数を対数積分という。対数積分は、与えられた数 $x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ を $x/\log x$ よりもよく近似する。
対数積分
$1/\log x$ の積分により定義される特殊関数を対数積分 (logarithmic integral) という。
具体的には区間 $[0, x]$ での定積分により定義されるが、被積分関数は $x=1$ を特異点にもつので、Cauchyの主値
$$\li x=\int_0^x\frac{dt}{\log t}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(\int_0^{1-\epsilon}\frac{dt}{\log t}+\int_{1+\epsilon}^\infty \frac{dt}{\log t}\right)$$
により定義される。
特異点を回避したEulerの対数積分
$$\Li x=\li x-\li 2=\int_2^x\frac{dt}{\log t}$$
もよく用いられる。
つぎのように、対数積分は $x/\log x$ で近似される。
$$\li x=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{\log^2 x}\right).$$
より正確には、$x>e$ のとき
$$\frac{x-e}{\log x}+\frac{x-e}{\log^2 x}<\li x-\li e<\frac{x}{\log x}+\frac{4x}{\log^2 x}+\sqrt{x}-2e$$
が成り立つ。
$$\begin{split}
\li x-\li e= ~ & \int_e^x\frac{dt}{\log t} \\
= ~ & \frac{x}{\log x}-e+\int_e^{\sqrt{x}}\frac{dt}{\log^2 t}+\int_{\sqrt{x}}^x\frac{dt}{\log^2 t} \\
< ~ & \frac{x}{\log x}+\frac{4x}{\log^2 x}+\sqrt{x}-2e
\end{split}$$
となるので、
$$\li x-\li e<\frac{x}{\log x}+\frac{4x}{\log^2 x}+\sqrt{x}-2e$$
が成り立つ。また
$$\int_e^x\frac{dt}{\log^2 t}>\frac{x-e}{\log^2 x}$$
より
$$\li x-\li e>\frac{x-e}{\log x}+\frac{x-e}{\log^2 x}$$
も成り立つ。
また、つぎの近似式が成り立つ。
任意の $r\geq 1$ に対し、
$$\li x=\frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^r\frac{k!}{\log^k x}+\int_0^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}
=\frac{x}{\log x}\sum_{k=0}^r\frac{k!}{\log^k x}+O\left(\frac{x}{\log^{r+1} x}\right)$$
が成り立つ。ただし、積分はCauchyの主値
$$\int_0^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}=\lim_{\epsilon\rightarrow +0}\left(\int_0^{1-\epsilon} \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}+\int_{1+\epsilon}^\infty \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}\right)$$
をとる。また、 $O$ 記号における定数は $r$ に依存するが $x$ には依存しない。
この右辺の和は、$r$ を大きくするとき、どのような $x>0, x\neq 1$ に対しても収束しないことに注意しなければならない。
$$\int_0^x \frac{dt}{\log^r t}=\frac{x}{\log^r x}+\int_0^x \frac{r dt}{\log^{r+1} t}$$
より、$r=1$ のとき定理の左の等式が成り立つ。$r=s$ について定理の左の等式が成り立つとき、上の等式を $r=s+1$ について適用して
$$\li x=\frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^s\frac{k!}{\log^k x}+\int_0^x \frac{s! dt}{\log^{s+1} t}
=\frac{x}{\log x}\sum_{k=1}^{s+1}\frac{k!}{\log^k x}+\int_0^x \frac{(s+1)! dt}{\log^{s+2} t}$$
となるので、$r=s+1$ についても定理の左の等式が成り立つ。
$t\geq \sqrt{x}$ のとき、$1/\log^{r+1} t<2^{r+1}/\log^{r+1} x=O(1/\log^{r+1} x)$ なので
$$\begin{split}
\int_0^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}= ~ & \int_0^e \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}+\int_e^{\sqrt{x}} \frac{r! dt}{\log^{r+1} t}+\int_{\sqrt{x}}^x \frac{r! dt}{\log^{r+1} t} \\
= ~ & O(1)+O(\sqrt{x})+O\left(\frac{x}{\log^{r+1} x}\right) \\
= ~ & O\left(\frac{x}{\log^{r+1} x}\right)
\end{split}$$
であることから、定理の右の等式が成り立つ。
素数の分布との関係
対数積分は $x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ を $x/\log x$ よりもよく近似する。実際
$$\pi(x)=\li x+O(x\exp (-c\log^\alpha x))$$
となる正の定数 $c, \alpha$ が存在することが示される。
この形の定理はde la Vall'{e}e Poussin が $\alpha=1/2$ ととれることを示したことに始まり（Davenport Dav, Chapter 18 などを参照）、Ford For は
$$\pi(x)=\li x+O(x\exp (-0.2098\log^{3/5} x/(\log\log x)^{1/5}))$$
となることを示した。さらにTrudgian Tru は $x\geq 229$ のとき
$$\abs{\pi(x)-\li x}\leq 0.2795\frac{x}{\log^{3/4} x}\exp(-\sqrt{(\log x)/6.455})$$
となることを示した。
一般に、Chebyshev関数 $\theta(x)$ に対して、ある（$x$ よりも遅く増加する）関数 $E(x)$ が存在して
$$\theta(x)=x+O(E(x))$$
の形の近似式が成り立つとすると、
$$\begin{split}
\pi(x)= ~ & \frac{\theta(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)}{t\log^2 t} dt \\
= ~ & \frac{x}{\log x}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2 t}+O\left(\frac{E(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{E(t)}{t\log^2 t}dt\right)
\end{split}$$
となるが、
$$\begin{split}
\li x-\li 2= ~ & \Li x=\int_2^x\frac{dt}{\log t} \\
= ~ & \frac{x}{\log x}-\frac{2}{\log 2}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2 t}
\end{split}$$
より
$$\pi(x)=\li x+O\left(\frac{E(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{E(t)}{t\log^2 t}dt\right)$$
が成立する。
