一般化Cohen–Macaulay環
概要
一般化Cohen–Macaulay環とは、正次元ネーター局所環のうち、最高次より下の局所コホモロジーがすべて有限長となる環である。Cohen–Macaulay環ではこれらが消滅するのに対し、一般化Cohen–Macaulay環は閉点に現れる欠陥の大きさを有限長に制限する。パラメータ・イデアルについて長さとHilbert–Samuel重複度の差が一様に有界であることでも特徴づけられ、十分深いパラメータ・イデアルではその差を下位局所コホモロジーの長さから計算できる。
前提知識：ネーター局所環、Krull次元、パラメータ系、加群の長さ。後半ではHilbert–Samuel重複度、局所コホモロジー、完備化を用いる。
定義：下位局所コホモロジーが有限長である
$(A,\mathfrak m,k)$ を $d>0$ 次元ネーター局所環とする。$\mathfrak m$ を台とする局所コホモロジー $H^i_{\mathfrak m}(A)$ は、$A$ のCohen–Macaulay性が各次数でどのように失敗しているかを記録する。
$A$ が 一般化Cohen–Macaulay環（generalized Cohen–Macaulay ring）であるとは、すべての $0\leq i< d$ について
$$
\ell_A\!\left(H^i_{\mathfrak m}(A)\right)<\infty
$$
が成り立つことをいう。
一般の加群では有限長は有限生成より強いが、$H^i_{\mathfrak m}(A)$ は $\mathfrak m$-torsionなので、この場合は有限生成と有限長が同値である。実際、有限個の生成元をそれぞれ消す $\mathfrak m$ の冪から共通の $n$ を取れば、$\mathfrak m^nH^i_{\mathfrak m}(A)=0$ となる。定義では欠陥の数値的大きさを強調するため「有限長」と表す。
定義の出典：有限長の下位局所コホモロジーによる定義とパラメータ系による特徴づけは、Schenzel–Trung–Cuongの基礎論文（ DOI ）およびTrungの体系的研究（ DOI ）に基づく。
直感：Cohen–Macaulay性の欠陥を閉点に閉じ込める
Cohen–Macaulay環では
$$
H^i_{\mathfrak m}(A)=0\qquad(0\leq i< d)
$$
である。一般化Cohen–Macaulay環は零までは要求せず、下位局所コホモロジーに有限長の欠陥を許す。$H^i_{\mathfrak m}(A)$ の台が閉点 $\{\mathfrak m\}$ に含まれること自体は $\mathfrak m$-torsion性から自動的に従う。一般化Cohen–Macaulay条件が加えるのは、その閉点にある欠陥の大きさを有限長に制限することである。穿孔スペクトル上のCohen–Macaulay性は、後述する別の局所化定理による。
この条件は「下位局所コホモロジーがArtin加群である」だけではない。局所環の局所コホモロジーは一般にArtin加群になり得るが、有限長でなければ欠陥の大きさは有限とはいえない。
例と反例
以下で $k$ は体、表示した冪級数環の剰余環はその極大イデアルで局所環とみなす。
| 局所環 | 次元 | 下位局所コホモロジー | 判定 |
|---|---|---|---|
| $k[[x_1,\ldots,x_d]]$ | $d$ | $H^i_{\mathfrak m}=0$（$i< d$） | Cohen–Macaulay、従って一般化Cohen–Macaulay |
| 任意の1次元ネーター局所環 | $1$ | $H^0_{\mathfrak m}$ は有限長 | 一般化Cohen–Macaulay |
| $k[[x,y]]/(x^2,xy^2)$ | $1$ | $H^0_{\mathfrak m}=(x)$、長さ2 | 一般化Cohen–MacaulayだがBuchsbaumでない |
| $k[[x,y,z]]/(xz,yz)$ | $2$ | $H^1_{\mathfrak m}$ は無限長 | 一般化Cohen–Macaulayでない |
任意の1次元ネーター局所環 $(A,\mathfrak m)$ は一般化Cohen–Macaulay環である。
確認すべき下位局所コホモロジーは
$$
H^0_{\mathfrak m}(A)=\bigcup_{n\geq1}(0:_A\mathfrak m^n)
$$
だけである。$A$ はネーター加群なので右辺の上昇鎖はある $N$ で安定し、$H^0_{\mathfrak m}(A)=(0:_A\mathfrak m^N)$ となる。この加群は有限生成で $\mathfrak m^N$ により消えるため、Artin環 $A/\mathfrak m^N$ 上の有限生成加群として有限長をもつ。
$$
B=k[[x,y]]/(x^2,xy^2)
$$
とする。$\sqrt{(x^2,xy^2)}=(x)$ なので $\dim B=1$ である。また
$$
H^0_{\mathfrak m}(B)=(x)=kx\oplus kxy
$$
は長さ2をもち、$B$ は一般化Cohen–Macaulayである。
一方、$y^2$ はパラメータであるが
$$
(0:_B y^2)=(x),\qquad (0:_B\mathfrak m)=(xy)
$$
となる。従って $(y^2)$ はBuchsbaum環の定義に現れる弱列条件を満たさず、$B$ はBuchsbaum環でない。
この例はLinh–Trungが扱う族 $k[[x,y]]/(x^2,xy^r)$ の $r=2$ の場合である。一般にこの族では $H^0_{\mathfrak m}$ の長さが $r$ となり、有限長条件の「欠陥の大きさ」を具体的に変化させられる。
$$
C=k[[x,y,z]]/(xz,yz)
$$
とする。$(xz,yz)=(z)\cap(x,y)$ から $\dim C=2$ であり、ファイバー積の完全列
$$
0\longrightarrow C\longrightarrow k[[x,y]]\oplus k[[z]]
\longrightarrow k\longrightarrow0
$$
を得る。局所コホモロジーの長完全列と
$$
H^1_{(x,y)}(k[[x,y]])=0,\qquad
H^1_{(z)}(k[[z]])\cong k((z))/k[[z]]
$$
から短完全列
$$
0\longrightarrow k\longrightarrow H^1_{\mathfrak m}(C)
\longrightarrow k((z))/k[[z]]\longrightarrow0
$$
が得られる。右端は無限長なので $H^1_{\mathfrak m}(C)$ も無限長であり、$C$ は一般化Cohen–Macaulayでない。
しかし $\mathfrak p\neq\mathfrak m$ で局所化すると、$z$ が可逆なら $x=y=0$ となり、$z\in\mathfrak p$ なら $x,y$ の少なくとも一方が可逆なので $z=0$ となる。従って各 $C_{\mathfrak p}$ は正則局所環の局所化と同型で、Cohen–Macaulayである。これは「穿孔スペクトル上でCohen–Macaulayなら一般化Cohen–Macaulay」という無条件の逆向きの反例である。
パラメータ・イデアルによる数値的特徴づけ
$Q$ を $A$ のパラメータ・イデアル、$e(Q,A)$ をHilbert–Samuel重複度とし、
$$
I(A)=\sup_Q\left\{\ell_A(A/Q)-e(Q,A)\right\}
$$
とおく。Cohen–Macaulay環では各差が0である。一般の局所環では、パラメータの選び方によって差が際限なく大きくなることがある。
$d>0$ 次元ネーター局所環 $A$ について、次は同値である。
- $A$ は一般化Cohen–Macaulay環である。
- $I(A)<\infty$ である。
一般化Cohen–Macaulay環では、ある $N>0$ が存在して、$Q\subseteq\mathfrak m^N$ を満たすすべてのパラメータ・イデアル $Q$ が 標準パラメータ・イデアルとなる。そのとき
$$
\ell_A(A/Q)-e(Q,A)
=\sum_{i=0}^{d-1}\binom{d-1}{i}
\ell_A\!\left(H^i_{\mathfrak m}(A)\right)
$$
が成り立つ。
数値的特徴づけの出典：Trungはパラメータ・イデアル全体での差の有界性と標準パラメータ系を体系化している（ 1986年論文・DOI ）。十分深いパラメータ・イデアルが標準となることと上の局所コホモロジー公式は、Quy–Trungの整理（ arXiv版 、Remark 2.2–2.4）にも明記されている。
Cohen–Macaulay環・Buchsbaum環との違い
三つのクラスは、パラメータ列が生む欠陥の許し方で比較できる。$I_{i-1}=(x_1,\ldots,x_{i-1})$ とすると、colon加群
$$
(I_{i-1}:x_i)/I_{i-1}
$$
が正則列からのずれを測る。
| クラス | 下位局所コホモロジー | パラメータ列の欠陥 |
|---|---|---|
| Cohen–Macaulay | すべて零 | colon加群が零 |
| Buchsbaum | $\mathfrak m$ が消す | すべてのパラメータ系でcolon加群を $\mathfrak m$ が消す |
| 一般化Cohen–Macaulay | すべて有限長 | すべてのパラメータ系がfilter regular、colon加群の台は閉点だけ |
従って
$$
\text{Cohen--Macaulay}
\Longrightarrow \text{Buchsbaum}
\Longrightarrow \text{一般化Cohen--Macaulay}
$$
である。逆向きは一般には成り立たない。上の $B=k[[x,y]]/(x^2,xy^2)$ は第二の逆向きに対する反例である。
$A$ が一般化Cohen–Macaulayなら、すべての素イデアル $\mathfrak p\neq\mathfrak m$ に対して $A_{\mathfrak p}$ はCohen–Macaulayである。
これは欠陥が閉点にだけ集中するという直感の局所化による表現である。ただし逆は無条件には成立せず、同値を述べるには等次元性や環の表示に関する追加仮定を要する。上の環 $C$ は、穿孔スペクトル上のCohen–Macaulay性だけでは不十分であることを示す。
局所的性質の出典：一般化Cohen–Macaulay加群の各パラメータ系がfilter regularであること、および穿孔スペクトル上でCohen–Macaulayとなることは、Quy–Trungの予備事項（ Journal of Algebra掲載論文 ）で用いられている。ここでは逆向きに仮定を補わず同値とは述べない。
完備化と一様性
$A$ が一般化Cohen–Macaulayであることと、$\mathfrak m$-進完備化 $\widehat A$ が一般化Cohen–Macaulayであることは同値である。
平坦基底変換により
$$
H^i_{\mathfrak m\widehat A}(\widehat A)
\cong H^i_{\mathfrak m}(A)\otimes_A\widehat A
$$
である。有限長 $A$-加群は完備化で変わらず、逆に $A\to\widehat A$ は忠実平坦なので、右辺が有限長なら元の局所コホモロジーも有限長である。
一般化Cohen–Macaulay性から得られる一様性は、単なる有限長条件にとどまらない。パラメータ・イデアルの次数付き環についてCastelnuovo–Mumford正則度、関係型、Hilbert関数の安定開始位置に一様な上界を与えられる。これは、パラメータの選び方が変わっても特異点の有限な欠陥を共通の数値で制御できることを表す。
一様評価の出典：Linh–Trungは一般化Cohen–Macaulay環の全パラメータ・イデアルに対する次数付き環の正則度・関係型・postulation numberの一様評価を与えている（ 論文・DOI ）。この節ではその存在と役割だけを用い、具体的な上界式は扱わない。
条件を確認して使う
- 主定義は正次元ネーター局所環に対するものである。非局所環では各局所化にどの条件を課すかを明示する。
- 有限生成と有限長は一般の加群では異なるが、ここでの下位 $\mathfrak m$-局所コホモロジーについては同値である。一方、Artin加群であることだけを有限長と読み替えてはいけない。
- Cohen–Macaulay性は下位局所コホモロジーの消滅、一般化Cohen–Macaulay性は有限長を要求する。両者を同一視しない。
- 穿孔スペクトル上のCohen–Macaulay性は必要条件だが、追加仮定なしの十分条件ではない。
- Buchsbaum環ではすべてのパラメータ・イデアルが標準になるが、一般化Cohen–Macaulay環では十分深いものが標準になる。
- 完備化では保存されるが、任意の商や任意の環拡大で無条件に保存されるとは述べていない。
参考文献と証明の範囲
一次元の場合、非Buchsbaum例、非一般化Cohen–Macaulay例、完備化による保存は本文中で計算または証明した。有界性による特徴づけ、十分深い標準パラメータ・イデアルの存在、filter regular性、穿孔スペクトル上のCohen–Macaulay性、一様評価には外部定理を用いる。
- Peter Schenzel, Ngô Viêt Trung and Nguyên Tu Cuong, “Verallgemeinerte Cohen-Macaulay-Moduln,” Mathematische Nachrichten 85 (1978), 57–73（ DOI:10.1002/mana.19780850106 ）。
- Ngô Viêt Trung, “Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules,” Nagoya Mathematical Journal 102 (1986), 1–49（ DOI:10.1017/S0027763000000416 ）。
- Mario Fiorentini and Le Tuan Hoa, “Some remarks on generalized Cohen-Macaulay rings,” Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin 1 (1994), 507–519（ 論文PDF ）。
- Cao Huy Linh and Ngô Viêt Trung, “Uniform bounds in generalized Cohen-Macaulay rings,” Journal of Algebra 304 (2006), 1147–1159（ DOI:10.1016/j.jalgebra.2006.06.038 ）。
- Pham Hung Quy and Van Duc Trung, “Small perturbations in generalized Cohen-Macaulay local rings,” Journal of Algebra 587 (2021), 555–568（ DOI:10.1016/j.jalgebra.2021.08.007 ）。
関連項目
- 基礎：ネーター局所環、局所コホモロジー、パラメータ系、Hilbert–Samuel重複度、加群の長さ。
- 近接するクラス：Cohen–Macaulay環、Buchsbaum環、quasi-Buchsbaum環。
- 局所性と数値：穿孔スペクトル、filter regular列、標準パラメータ・イデアル、完備化。閉点に集中する欠陥とパラメータ・イデアル全体での有界性を結び付ける。
