(1+1/n)^nの極限

増加の場合を示す。$n$ を 1 つ固定する。

• 単調増加なので、$m\ge n+1$ となるすべての $m$ で $x_{n+1}\le x_m$ である。
• 不等式 $\le$ は極限をとっても保たれる（数列の極限の基本性質）。$m\to\infty$ として $x_{n+1}\le L$ である。
• 狭義単調増加なので $x_n< x_{n+1}$ である。前の行と合わせて $x_n< x_{n+1}\le L$、すなわち $x_n< L$ である。
  減少の場合は、不等号の向きをすべて逆にすれば同じ議論になる。$\square$

段 1（二項定理）。二項定理より
$$ \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\Bigl(\frac1n\Bigr)^k=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac1{n^k} $$
である。
段 2（二項係数を書き下す）。$1\le k\le n$ について
$$ \binom nk=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} $$
であり、分子は $n$ から $1$ ずつ減らした $k$ 個の数の積である。$k=0$ では $\binom n0=1=\frac1{0!}$ である（$0!=1$）。
段 3（$k$ 個の因子を 1 つずつ $n$ で割る）。分子の $k$ 個の因子それぞれを $n$ で割ると
$$ \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}=\frac nn\cdot\frac{n-1}n\cdots\frac{n-k+1}n=1\cdot\Bigl(1-\frac1n\Bigr)\cdots\Bigl(1-\frac{k-1}n\Bigr)=c_{n,k} $$
である。
段 4（まとめる）。段 2 と段 3 から $\binom nk\frac1{n^k}=\frac1{k!}c_{n,k}$ であり（$k=0$ でも両辺は $1$）、段 1 に代入して主張を得る。$\square$

段 1（$k!\ge2^{k-1}$）。$k$ についての数学的帰納法で示す。$k=1$ では $1!=1=2^0$ である。$k$ で $k!\ge2^{k-1}$ が成り立つとする。$k+1\ge2$ なので
$$ (k+1)!=(k+1)\cdot k!\ge2\cdot k!\ge2\cdot2^{k-1}=2^k $$
であり、$k+1$ でも成り立つ。
段 2（$s_n<3$）。$n=0$ では $s_0=1<3$ である。$n\ge1$ なら、段 1 より $\frac1{k!}\le\frac1{2^{k-1}}$ なので、等比数列の和の公式を使って
$$ s_n=1+\sum_{k=1}^n\frac1{k!}\le1+\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k-1}}=1+\frac{1-(\frac12)^n}{1-\frac12}=3-\frac1{2^{n-1}}<3 $$
である。$\square$

段 1（$m=2$）。$(1+x)^2=1+2x+x^2$ であり、$x\ne0$ なので $x^2>0$ である。よって $(1+x)^2>1+2x$ である。
段 2（$m$ から $m+1$ へ）。$(1+x)^m>1+mx$ が成り立つとする。仮定 $x>-1$ より $1+x>0$ なので、両辺に $1+x$ を掛けても不等号の向きは変わらない。
$$ (1+x)^{m+1}=(1+x)^m(1+x)>(1+mx)(1+x)=1+(m+1)x+mx^2 $$
である。$m\ge2$、$x\ne0$ より $mx^2>0$ なので、右辺は $1+(m+1)x$ より大きい。よって $(1+x)^{m+1}>1+(m+1)x$ である。$\square$

方針：lem-eln-expand の展開で、$a_n$ と $a_{n+1}$ の係数を 1 項ずつ比べる。
段 1（係数の比較）。$2\le k\le n$ とし、$1\le j\le k-1$ とする。$\frac jn>\frac j{n+1}$ なので
$$ 1-\frac jn<1-\frac j{n+1} $$
である。また $j\le k-1\le n-1$ なので $1-\frac jn\ge1-\frac{n-1}n=\frac1n>0$ であり、左辺は正である。正の数どうしの不等式を $j=1,\dots,k-1$ について掛け合わせると
$$ c_{n,k}=\prod_{j=1}^{k-1}\Bigl(1-\frac jn\Bigr)<\prod_{j=1}^{k-1}\Bigl(1-\frac j{n+1}\Bigr)=c_{n+1,k} $$
である。$k=0,1$ では $c_{n,k}=c_{n+1,k}=1$ である。
段 2（項が 1 つ増える）。lem-eln-expand を $n+1$ に使うと
$$ a_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}c_{n+1,k}+\frac1{(n+1)!}c_{n+1,n+1} $$
である。最後の項の係数 $c_{n+1,n+1}$ の因子 $1-\frac j{n+1}$（$1\le j\le n$）はどれも $\frac1{n+1}$ 以上で正なので、最後の項は正である。
段 3（$a_n< a_{n+1}$）。段 1 より、$\sum_{k=0}^n\frac1{k!}c_{n+1,k}$ の各項は $a_n$ の対応する項 $\frac1{k!}c_{n,k}$ 以上である。したがって $\sum_{k=0}^n\frac1{k!}c_{n+1,k}\ge a_n$ であり、段 2 の正の項が加わるので $a_{n+1}>a_n$ である。
段 4（上からの評価）。段 1 と同じく、$c_{n,k}$ の因子はどれも $0$ より大きく $1$ 以下なので $c_{n,k}\le1$ である。よって
$$ a_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}c_{n,k}\le\sum_{k=0}^n\frac1{k!}=s_n $$
であり、lem-eln-factorial より $s_n<3$ である。
段 5（収束）。$(a_n)$ は単調増加で、$3$ で上から押さえられるので、axm-eln-monotone により収束する。$\square$

方針：隣り合う 2 項の比 $\frac{b_{n-1}}{b_n}$ が $1$ より大きいことを、lem-eln-bernoulli で示す。
段 1（比を 1 つの式にまとめる）。$n\ge2$ とする。$1+\frac1{n-1}=\frac n{n-1}$、$1+\frac1n=\frac{n+1}n$ なので
$$ \frac{b_{n-1}}{b_n}=\frac{\bigl(\frac n{n-1}\bigr)^n}{\bigl(\frac{n+1}n\bigr)^{n+1}}=\Bigl(\frac n{n-1}\Bigr)^n\Bigl(\frac n{n+1}\Bigr)^n\cdot\frac n{n+1}=\Bigl(\frac{n^2}{n^2-1}\Bigr)^n\cdot\frac n{n+1} $$
である。2 つ目の等号では $\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{n+1}$ を $\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^n\cdot\frac n{n+1}$ に分けた。3 つ目の等号では $(n-1)(n+1)=n^2-1$ を使った。さらに $\frac{n^2}{n^2-1}=1+\frac1{n^2-1}$ である。
段 2（Bernoulli の不等式）。$x=\frac1{n^2-1}$ は正（$n\ge2$）で、$m=n\ge2$ なので、lem-eln-bernoulli により
$$ \Bigl(1+\frac1{n^2-1}\Bigr)^n>1+\frac n{n^2-1} $$
である。分母を大きくすると分数は小さくなるので $\frac n{n^2-1}>\frac n{n^2}=\frac1n$ であり、右辺は $1+\frac1n=\frac{n+1}n$ より大きい。
段 3（比は 1 より大きい）。段 1 と段 2 から
$$ \frac{b_{n-1}}{b_n}>\frac{n+1}n\cdot\frac n{n+1}=1 $$
であり、$b_n>0$ なので $b_{n-1}>b_n$ である。これが $n\ge2$ のすべてで成り立つので、$(b_n)$ は狭義単調減少である。
段 4（極限は $e$）。$b_n=a_n\bigl(1+\frac1n\bigr)$ であり、$a_n\to e$、$1+\frac1n\to1$ なので、積の極限の性質から $b_n\to e\cdot1=e$ である。
段 5（挟み込み）。$(a_n)$ は狭義単調増加で $e$ に収束し、$(b_n)$ は狭義単調減少で $e$ に収束する。lem-eln-below-limit により、すべての $n$ で $a_n< e$ かつ $b_n>e$ である。
段 6（$2< e<3$）。$n=1$ として $e>a_1=2$、$n=5$ として $e< b_5=2.985984<3$ である（$b_5$ は ex-eln-b-values で計算した）。$\square$