局所類体論の存在定理

$G=\operatorname{Gal}(M/K)$ とし、$G'$ を交換子群とする。$G'$ は正規部分群なので、固定体 $E_0:=M^{G'}$ は $K$ 上 Galois で $\operatorname{Gal}(E_0/K)\cong G/G'$ はアーベル群である。$M$ の部分体 $F$ が $K$ 上アーベルなら $\operatorname{Gal}(M/F)$ は正規で商 $G/\operatorname{Gal}(M/F)$ がアーベルなので $G'\subseteq\operatorname{Gal}(M/F)$、すなわち $F\subseteq E_0$ である。よって $E=E_0$、$[E:K]=|G/G'|=|G^{\mathrm{ab}}|$ である。
条件 (iv) により $N_{M/K}(M^\times)=N_{E/K}(N_{M/E}(M^\times))\subseteq N_{E/K}(E^\times)$ である。(ii) により左辺の指数は $|G^{\mathrm{ab}}|=[E:K]$、(i) により右辺の指数も $[E:K]$ である。指数有限で等しい指数をもつ部分群の包含は等号なので、$N_{M/K}(M^\times)=N_{E/K}(E^\times)$ である。$\square$

要点：$v_K(y)$ が大きいと $(1+y)^N$ は $1+Ny$ に高い精度で一致するので、$1+z$ の $N$ 乗根を $1+z/N$ から始めて 1 桁ずつ補正し、完備性で極限をとる。

(i)：$\pi^N\in(K^\times)^N$ と lem-lext-power から包含が従い、$(K^\times)^N$ は開部分群 $U_K^{(2d+1)}$ を含むので開である。$K^\times=\pi^{\mathbb{Z}}\times U_K$ から $(K^\times:\pi^{N\mathbb{Z}}U_K^{(r)})=N\,(U_K:U_K^{(r)})$ であり、$U_K/U_K^{(r)}$ は有限環 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_K^r$（元の個数 $q^r$。局所体 の記事の命題「整数環のコンパクト性」の 1）の単数群に同型で、その元の個数は $q^r-q^{r-1}=(q-1)q^{r-1}$ である（単数でない元は $\mathfrak{m}_K/\mathfrak{m}_K^r$ の $q^{r-1}$ 個）。$r=2d+1$ として指数の評価を得る。
(ii)：$K^\times/H$ は位数 $N$ の群なので、各 $a\in K^\times$ について $a^N\in H$ である。(i) により $H$ は開部分群を含み、開である。
(iii)：標数 $0$ ではどの $N\ge1$ も標数で割り切れないので、(ii) を使えばよい。$\square$

cor-lext-power-group の (i) により $(K^\times:(K^\times)^N)$ は有限なので、(v) により $L/K$ は有限次アーベル拡大で、$[L:K]=(K^\times:(K^\times)^N)$ であり、$\operatorname{Gal}(L/K)$ の元の $N$ 乗はすべて単位元である。(i) により $K^\times/N_L\cong\operatorname{Gal}(L/K)$ なので、$K^\times/N_L$ の元の $N$ 乗も単位元であり、$a\in K^\times$ について $a^N\in N_L$、すなわち $(K^\times)^N\subseteq N_L$ である。(i) により $(K^\times:N_L)=[L:K]=(K^\times:(K^\times)^N)$ なので、包含は等号である。Galois 群の同型は (i) と $N_L=(K^\times)^N$ からの帰結である。$\square$

cor-lext-power-group の (ii) により $(K^\times)^N\subseteq H$ である。$X^N-1$ は重根をもたない（標数が $N$ を割らない）ので、$K':=K(\mu_N)$ は $K$ の有限次分離拡大であり、$K'$ も局所体で $1$ の原始 $N$ 乗根を含み、標数は $K$ と同じである。$N':=N_{K'/K}$ とおき、
$$ H':=N'^{-1}(H)=\{y\in K'^\times\mid N_{K'/K}(y)\in H\} $$
とおく。$H'$ は $K'^\times$ の部分群で、$y\in K'^\times$ について $N'(y^N)=N'(y)^N\in(K^\times)^N\subseteq H$ なので $(K'^\times)^N\subseteq H'$ である。
prop-lext-kummer を $K'$ に使うと、$(K'^\times)^N$ は $K'$ のノルム群である。(iii) の (iv) を $K'$ に使うと、それを含む $H'$ も $K'$ のノルム群であり、$K'$ の有限次アーベル拡大 $M'$ によって $H'=N_{M'/K'}(M'^\times)$ と書ける。(iv) により
$$ N_{M'/K}(M'^\times)=N'\bigl(N_{M'/K'}(M'^\times)\bigr)=N'(H')\subseteq H $$
である。$M'/K$ は有限次分離拡大なので、$K^{\mathrm{sep}}$ の中の Galois 閉包 $M$ は $K$ の有限次 Galois 拡大であり、(iv) により $N_{M/K}(M^\times)=N_{M'/K}(N_{M/M'}(M^\times))\subseteq N_{M'/K}(M'^\times)\subseteq H$ である。lem-lext-galois-norm により $N_{M/K}(M^\times)=N_{E/K}(E^\times)$（$E$ は $M$ に含まれる最大のアーベル拡大）なので、$H$ はノルム群 $N_{E/K}(E^\times)$ を含み、(iii) の (iv) により $H$ は $K$ のノルム群である。
標数 $0$ なら、開かつ指数有限な部分群の指数 $N$ はつねに標数で割り切れないので、(b)$\Rightarrow$(a) が従う。$\square$

要点：$H$ を含む指数が素数 $\ell$ の部分群 $H_1$ をとると、$H_1$ は $\ell$ 次の拡大 $F_1$ のノルム群で、$H$ のノルムによる逆像は $F_1^\times$ の中で指数が $\ell$ 分の 1 に下がる。指数についての帰納法で、上の拡大を $F$ にノルムで下ろす。

(a)$\Rightarrow$(b)、単射性、包含の逆転、$K^\times/N_L\cong\operatorname{Gal}(L/K)$ は rem-lext-scope に挙げた 局所類体論 の記事の命題と (i) による。残る (b)$\Rightarrow$(a) を示す。$H$ を開かつ指数 $m$ の部分群とする。
標数 $0$ の場合。 thm-lext-tame による。
一般の場合。 $K^\times/H$ の位数は $m$ なので $\pi^m\in H$ であり、$H$ は開なので、ある $n\ge1$ について $U_K^{(n)}\subseteq H$ である。よって
$$ H\supseteq\pi^{m\mathbb{Z}}\times U_K^{(n)} $$
である。$K_m$ を $K$ の $m$ 次の不分岐拡大とすると $N_{K_m}=\pi^{m\mathbb{Z}}\times U_K$ である（局所類体論 の記事の命題「不分岐拡大のノルム」の (b)）。$K_{\pi,n}$ を素元 $\pi$ に付随する $n$ 段目の Lubin–Tate 拡大とすると、それは有限次アーベル拡大で
$$ N_{K_{\pi,n}}=\pi^{\mathbb{Z}}\times U_K^{(n)} $$
である（Lubin–Tate理論 の記事の系「Lubin–Tate拡大のノルム群」。この記事では証明しない。Neu99 Chapter V, Theorem (5.4), p. 348 と Corollary (5.6), p. 350。合成体 $K_mK_{\pi,n}$ のノルム群の形では Iwa86 Lemma 7.4, p. 100 にあり（同書の Lubin–Tate 拡大の添字はこの記事と 1 ずれている）、同書はこれから Theorem 7.5, p. 100 として存在定理を標数によらずに導いている）。$x=\pi^au$（$u\in U_K$）が両方に属することは $m\mid a$ かつ $u\in U_K^{(n)}$ と同値なので、(iii) の (i) により
$$ N_{K_mK_{\pi,n}}=N_{K_m}\cap N_{K_{\pi,n}}=\pi^{m\mathbb{Z}}\times U_K^{(n)}\subseteq H $$
である。(iii) の (iv) により $H$ はノルム群である。$\square$

(i)：$f:=(\mathbb{Q}_p^\times:H)$ とすると $p^f\in H$ であり、$H$ は開なので、ある $r\ge1$ について $1+p^r\mathbb{Z}_p=U^{(r)}_{\mathbb{Q}_p}\subseteq H$ である。よって $H\supseteq p^{f\mathbb{Z}}\times(1+p^r\mathbb{Z}_p)$ である。$K_f:=\mathbb{Q}_p(\mu_{p^f-1})$ は $f$ 次の不分岐拡大で（不分岐拡大と完全分岐拡大 の記事の定理「不分岐拡大の存在と一意性」）、そのノルム群は $p^{f\mathbb{Z}}\times\mathbb{Z}_p^\times$ である（局所類体論 の記事の命題「不分岐拡大のノルム」の (b)）。ex-lext-cyclotomic とあわせて、$M:=K_f(\zeta_{p^r})$ について (iii) の (i) により
$$ N_M=\bigl(p^{f\mathbb{Z}}\times\mathbb{Z}_p^\times\bigr)\cap\bigl(p^{\mathbb{Z}}\times(1+p^r\mathbb{Z}_p)\bigr)=p^{f\mathbb{Z}}\times(1+p^r\mathbb{Z}_p)\subseteq H $$
である。$p^f-1$ と $p^r$ は互いに素なので、$\mu_{p^f-1}$ と $\mu_{p^r}$ の元の積は $1$ の $m:=(p^f-1)p^r$ 乗根をすべて尽くし、$M=\mathbb{Q}_p(\zeta_m)$ である。(iii) の (iv) により $H$ はノルム群である。
(ii)：有限次アーベル拡大 $L/\mathbb{Q}_p$ について、$H=N_L$ は開かつ指数有限である（局所類体論 の記事の命題「ノルム群は開部分群」の (c)）。(i) の $M=\mathbb{Q}_p(\zeta_m)$ について $N_M\subseteq N_L$ なので、(iii) の (ii) により $L\subseteq M$ である。$\square$

有限次アーベル拡大 $L\subseteq L'$ について、(i) の同型 $K^\times/N_{L'}\to\operatorname{Gal}(L'/K)$ と $K^\times/N_L\to\operatorname{Gal}(L/K)$ は、どちらも $\operatorname{rec}_K(a)$ の制限で定まるので、射影 $K^\times/N_{L'}\to K^\times/N_L$ と制限 $\operatorname{Gal}(L'/K)\to\operatorname{Gal}(L/K)$ と両立する。thm-lext-main により $L\mapsto N_L$ は包含を逆にする全単射なので、$H$ についての射影極限は $L$ についての射影極限と同じであり、
$$ \widehat{K^\times}\cong\varprojlim_LK^\times/N_L\cong\varprojlim_L\operatorname{Gal}(L/K)\cong\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{ab}}/K) $$
である。最後の同型は、$K^{\mathrm{ab}}/K$ の有限次 Galois 部分拡大がちょうど有限次アーベル拡大であることと、副有限群 の記事の例「Galois 群と絶対 Galois 群」による。$\square$