随伴作用素

前提知識: Hilbert空間, 内積, 有界, Rieszの表現定理

内積を通じて作用を反対側へ移す

随伴作用素（adjoint operator）とは、Hilbert 空間の有界線形作用素 $T$ について、内積の一方の変数に働く $T$ を他方の変数へ移す作用素 $T^*$ である。二つの Hilbert 空間 $H,K$ の間の $T\colon H\to K$ なら、$T^*\colon K\to H$ は
$$ \langle Tx,y\rangle_K=\langle x,T^*y\rangle_H \qquad(x\in H,\ y\in K) $$
を満たす。有限次元の正規直交基底では、$T$ の行列を転置して成分を複素共役にした行列が $T^*$ を表す。しかし定義は行列を選ばず、無限次元でも成り立つ。Con90 第II章、Axl24 第7章。
本記事では内積は第1変数に線形、第2変数に共役線形と約束する。例えば複素数の標準内積は $\langle x,y\rangle=\sum_jx_j\overline{y_j}$ である。この約束なら、$x$ を固定しないで $y$ を固定した写像 $x\mapsto\langle Tx,y\rangle$ は線形汎関数になる。内積を第2変数に線形とする文献では式の両辺を共役にした形で書くことがあるが、作用素 $T^*$ 自体は同じものである。約束を途中で替えると行列の共役転置や Riesz 表現で複素共役の位置を誤るため、以下では一貫して第1変数線形を使う。
作用素が Hilbert 空間から Hilbert 空間へ写ることと、有界であることは定義の核である。一般の Banach 空間の線形作用素には双対作用素があるが、それは双対空間上の写像であり、内積による随伴とは区別する。また無界作用素には定義域を伴う随伴の理論がある。本記事の主な命題では、特に断らない限り $H,K$ を実または複素 Hilbert 空間、$T$ を全空間で定義された有界線形作用素とする。

存在と一意性

作用素の随伴は式を満たすものがあれば便利、というだけではない。Hilbert 空間の完備性とRieszの表現定理によって、すべての有界線形作用素に一意に存在する。$y\in K$ を固定すると $x\mapsto\langle Tx,y\rangle_K$ は $H$ 上の有界線形汎関数で、その絶対値は $\|T\|\,\|x\|\,\|y\|$ 以下である。Riesz 表現定理は、この汎関数を $\langle x,z\rangle_H$ と書くための一意な $z\in H$ を与える。$z$ を $T^*y$ と定めるのである。Con90

零次元の Hilbert 空間を含めてもこの証明は通る。例えば $H=\{0\}$ なら $T$ は零作用素で、$T^*$ は $K$ から $\{0\}$ への唯一の作用素である。$K=\{0\}$ でも同様である。この場合に「単位ベクトルを取る」という議論を無条件に行うと、単位球面が空で困る。以下のノルム等式では、零空間の場合を自明な場合として処理するか、単位閉球上の上限を用いる。

ノルム、二重随伴、合成

$T^*$ は $T$ から反対向きの写像を作る。この反転は合成の順序を逆にする。ノルムは保持され、随伴を二度取ると元に戻る。これらは有限次元の共役転置に見られる等式を、基底なしで述べたものである。Con90 第II章。

特に $T$ が可逆な有界作用素で逆作用素も有界なら、$TT^{-1}=T^{-1}T=I$ に随伴を取り、$(T^{-1})^*=(T^*)^{-1}$ を得る。Hilbert 空間上では逆作用素の有界性は、全単射で有界な $T$ なら有界逆写像定理から従う。この補助定理を仮定せずに「代数的に逆がある」とだけ述べると、随伴の定義域の確認が抜ける。有限次元では全ての線形作用素が有界なので、この区別を意識しにくい。

行列、ずらし、掛け算作用素

有限次元の複素内積空間 $H=\mathbb C^n$、$K=\mathbb C^m$ に標準内積を入れ、$T$ の行列を $m\times n$ 行列 $A$ とする。このとき $T^*$ の行列は $n\times m$ の共役転置 $A^*=\overline A^{\,\mathsf T}$ である。実数の場合は共役が消え、通常の転置行列になる。正規直交基底を選んだ場合の表示であり、一般の基底で成分行列を単純に共役転置するだけでは内積の Gram 行列の効果を落とす。Axl24

無限次元では行列を無限に並べるより、内積の式から随伴を作る方が確実である。$\ell^2(\mathbb{Z}_{\ge 0})$ 上の片側シフト $S(x_0,x_1,\ldots)=(0,x_0,x_1,\ldots)$ は等長だが全射ではない。内積を計算すると
$$ \langle Sx,y\rangle=\sum_{n\geq0}x_n\overline{y_{n+1}} =\langle x,(y_1,y_2,\ldots)\rangle . $$
従って $S^*(y_0,y_1,\ldots)=(y_1,y_2,\ldots)$ は後方シフトである。$S^*S=I$ だが、$SS^*$ は第0成分を $0$ にする直交射影で、$I$ ではない。随伴が元の作用素と同じとは限らず、$T^*T=I$ から $TT^*=I$ を推論してはいけないことがこの例から分かる。
もう一つ、測度空間上の $L^2$ で有界可測関数 $a$ による掛け算 $M_af=af$ を考える。$a$ が本質的に有界なら $M_a$ は有界であり、$\langle M_af,g\rangle=\int af\overline g=\int f\overline{\overline a g}$ から $M_a^*=M_{\overline a}$ である。$a$ が実値なら自己随伴、$|a|=1$ がほとんど至る所で成り立つなら $M_a$ はユニタリである。関数の複素共役が行列の共役転置に対応している。ここで「有界」は本質的有界性であり、零測度集合上で値が大きくても $L^2$ 上の作用素は変わらない。

核と像の直交関係

随伴は、方程式 $Tx=y$ の解の存在や一意性を調べるときにも使う。まず $T$ の像に直交する元は、まさに $T^*$ の核に属する。この等式は像が閉じているかどうかに関係なく成り立つ。像が閉でない場合、直交補空間を二度取ると像の閉包になる点を忘れてはならない。Con90

この命題だけで $\operatorname{ran}T=(\ker T^*)^\perp$ と書けるのは、像が閉じている場合に限る。例えば対角作用素 $D\colon\ell^2\to\ell^2$ を $D(x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2/2,x_3/3,\ldots)$ とおくと、$D$ は有界で核が零、像は有限支え列を含むため稠密である。しかし $y=(1,1/2,1/3,\ldots)\in\ell^2$ は $D$ の像にない。$Dx=y$ なら $x=(1,1,1,\ldots)$ となり $\ell^2$ に属さないためである。従って像は閉じていない。$D^*=D$、$\ker D^*=0$ なので $(\ker D^*)^\perp=\ell^2$ だが、$\operatorname{ran}D$ はその真部分集合である。この例は閉包の記号を省けない理由を具体的に示す。

自己随伴・正規・ユニタリ

始域と終域が同じ Hilbert 空間 $H$ の場合、$T=T^*$ を満たす作用素を自己共役作用素または自己随伴作用素という。$TT^*=T^*T$ を満たすものを正規作用素といい、$T^*T=TT^*=I$ を満たすものをユニタリ作用素という。有限次元では、それぞれ Hermite 行列、正規行列、ユニタリ行列に対応する。これらは随伴が存在するという一般の性質に追加する条件である。片側シフトは $S^*S=I$ だが $SS^*\ne I$ なのでユニタリではない。
自己随伴作用素 $T$ では $\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\overline{\langle Tx,x\rangle}$ だから、$\langle Tx,x\rangle$ は実数である。逆に複素 Hilbert 空間では、全ての $x$ でこの量が実数なら、偏極恒等式により $T=T^*$ と示せる。ただし実 Hilbert 空間で同じ逆向きをそのまま述べると誤りである。例えば実二次元の90度回転 $J$ は全ての $x$ で $\langle Jx,x\rangle=0$ だが、$J^*=-J\ne J$ である。複素と実で二次形式から作用素を回収できる範囲が異なる。
作用素のスペクトルを論じるとき、自己随伴性は重要な制約になる。有限次元の自己随伴行列は正規直交基底で対角化でき、固有値は実数である。無限次元の自己随伴有界作用素にはスペクトル定理があるが、単純な固有ベクトルの基底が常に存在するという意味ではない。例えば $L^2$ の掛け算作用素には連続スペクトルが現れる。本記事では随伴の構成と基本恒等式を扱い、スペクトル分解の全体はスペクトル定理の主題とする。Con90

Banach 空間の双対作用素との違い

$X,Y$ を Banach 空間とし、$T\colon X\to Y$ を有界線形作用素とする。内積がなくても、連続線形汎関数を前合成することで
$$ T'\colon Y^*\longrightarrow X^*,\qquad T'\varphi=\varphi\circ T $$
が定まる。これを双対作用素、転置作用素、または Banach 空間での随伴と呼ぶ文献がある。始域と終域は元の空間ではなく連続双対空間である。実 Hilbert 空間なら Riesz の同型で双対を元の空間と同一視できる。複素 Hilbert 空間では、その Riesz 写像は共役線形であるから、同一視を「線形同型」として扱ってはいけない。Con90

一般の Banach 空間では $X$ と $X^*$ が同型ですらない場合があるため、この図式を使って $T'$ を $Y\to X$ へ移すことはできない。例えば $X=\ell^1$ とその双対 $\ell^\infty$ は標準的な Hilbert 空間の Riesz 表現に当たる構造を持たない。従って $T'$ を単に $T^*$ と表記する本でも、式の始域・終域を見ることが重要である。有限次元の複素ベクトル空間でも、代数的双対への転置と内積を通した共役転置は、同じ行列操作ではない。代数的転置は成分を転置し、Hilbert 随伴はさらに複素共役を取る。

有界性と定義域について

全空間で定義された有界作用素については、随伴 $T^*$ も全空間 $K$ で定義される。微分作用素のような無界作用素では、まず稠密な定義域 $D(T)\subset H$ を指定する。$y\in K$ が随伴の定義域 $D(T^*)$ に属するのは、$x\mapsto\langle Tx,y\rangle$ が $D(T)$ 上の $H$ のノルムに関して有界な場合である。このときに限り Riesz 表現で $T^*y$ を定める。ここでは $D(T^*)$ が $K$ 全体であると決めつけられず、境界条件も重要になる。Con90 第X章。
例えば区間上の微分 $f\mapsto f'$ で部分積分を行うと、形式上の随伴にマイナス符号が現れるが、端点の境界項が消えるかどうかは関数の定義域次第である。同じ微分式でも異なる境界条件から異なる随伴作用素が得られる。このため「行列を共役転置する」直感だけで無界作用素の随伴を決められない。本記事で示した $T^{**}=T$ や $\|T^*\|=\|T\|$ は有界で全空間上に定義された作用素の命題であり、無界の場合へ条件なしに移してはならない。

仮定を外したときの反例

随伴の存在定理と、それに続く命題の仮定を一つずつ外すと、結論が崩れる。どの条件を外し、どの結論が成り立たなくなるかを表にまとめる。

下の三行は本文で確かめた。片側シフトは $S^*S=I$、$SS^*\ne I$ を満たし、対角作用素 $D$ の像は稠密だが $(1,1/2,1/3,\ldots)$ を含まない。回転 $J$ は $\langle Jx,x\rangle=0$ だが $J^*=-J$ である。上の二行を次に確かめる。

関連項目

• 前提: Hilbert空間、Rieszの表現定理、有界
• 比較: 連続双対空間、双対空間(線形代数)
• 直後に読む: 内積空間、スペクトル定理
• 発展: Hodge分解、量子力学の関数解析的構造