Calderón–Zygmund分解
概要
Calderón–Zygmund分解（Calderón–Zygmund decomposition）とは、$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ と高さ $\alpha>0$ に対し、$|f|$ の平均が $\alpha$ を超える極大な二進立方体 $Q_j$ を選び、$f$ を、$Q_j$ の上で平均に置き換えた部分 $g$（ほとんど至るところ $|g|\le2^n\alpha$）と、各 $Q_j$ に台をもち積分が $0$ の塊 $b_j$ の和とに分ける方法である。$Q_j$ は互いに交わらず、測度の和は $\|f\|_1/\alpha$ 以下で、その外ではほとんど至るところ $|f|\le\alpha$ である。立方体は平均が初めて $\alpha$ を超えたところで止める停止時間の議論で選ばれ、極大関数や特異積分作用素の弱 $(1,1)$ 型評価に使われる。
前提知識: Lebesgue積分, Lp空間, Lebesgueの微分定理
Calderón–Zygmund 分解（Calderón–Zygmund decomposition）は、$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ と高さ $\alpha>0$ を与えたとき、$f$ を「大きさが $2^n\alpha$ 以下の部分」$g$ と、「互いに交わらない立方体 $Q_j$ に台をもち、積分が $0$ の塊」$b_j$ の和 $b=\sum_jb_j$ とに分ける方法である。立方体 $Q_j$ は、$|f|$ の平均が $\alpha$ を超える二進立方体のうち極大なものとして選ばれ、その外では $|f|$ はほとんど至るところ $\alpha$ 以下であり、立方体の測度の和は $\|f\|_1/\alpha$ 以下である。
この分解は、$L^1$ の関数を、$L^2$ の評価が使える部分 $g$ と、打ち消し合い（積分が $0$）をもつ局所的な部分 $b$ とに分ける。前者には $L^2$ での有界性を、後者には核の滑らかさを使うことで、$L^1$ では成り立たない強い評価の代わりに弱 $(1,1)$ 型の評価を得る。特異積分作用素の Calderón–Zygmund の理論は、この形の議論で組み立てられている。
立方体の選び方は、二進立方体の木を大きいほうから順にたどり、平均が初めて $\alpha$ を超えたところで止める、という停止時間（stopping time）の議論である。この記事では、二進立方体の性質を確かめたうえで、立方体の分解と $f=g+b$ の分解を証明し、応用として極大関数の弱 $(1,1)$ 型評価を、被覆から球を選ぶ代わりに二進立方体の入れ子の構造を使って導く。
以下、$|E|$ は $\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 測度、$\|\cdot\|_p$ は $L^p(\mathbb{R}^n)$ のノルムとし、関数は複素数値とする。測度が正で有限な可測集合 $Q$ について、$|f|$ の $Q$ の上の平均を
$$
a_Q:=\frac1{|Q|}\int_Q|f(y)|\,dy
$$
と書く（$f$ は文脈で固定する）。$x\in\mathbb{R}^n$ について $|x|_\infty:=\max_i|x_i|$ とする。
二進立方体
$k\in\mathbb{Z}$、$m\in\mathbb{Z}^n$ について
$$
2^{-k}\bigl([0,1)^n+m\bigr)=\prod_{i=1}^n\bigl[m_i2^{-k},(m_i+1)2^{-k}\bigr)
$$
の形の立方体を $k$ 次の二進立方体（dyadic cube）といい、その全体を $\mathcal{D}_k$、$\mathcal{D}:=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\mathcal{D}_k$ とする。$Q\in\mathcal{D}_k$ の辺の長さは $\ell(Q)=2^{-k}$、測度は $|Q|=2^{-kn}$ である。
- 各 $\mathcal{D}_k$ の立方体は互いに交わらず、和集合は $\mathbb{R}^n$ である。
- $j\le k$ なら、$\mathcal{D}_j$ の各立方体は $\mathcal{D}_k$ の $2^{n(k-j)}$ 個の立方体の交わらない和である。
- 二つの二進立方体は、交わらないか、一方が他方を含む。
- $Q\in\mathcal{D}_k$ を含む $\mathcal{D}_{k-1}$ の立方体（$Q$ の親）$\widehat Q$ がただ一つあり、$|\widehat Q|=2^n|Q|$ である。$Q$ を含む二進立方体は、$Q$ 自身と、親をたどった列 $\widehat Q\subset\widehat{\widehat Q}\subset\cdots$ の項に限る。
- $\mathcal{D}$ は可算である。
証明を開く
1：$t\in\mathbb{R}$ を含む区間 $[m2^{-k},(m+1)2^{-k})$ は $m=\lfloor2^kt\rfloor$ のものだけなので、$\mathbb{R}$ はこれらの区間に分割される。座標ごとに考えれば $\mathbb{R}^n$ の分割を得る。2：$[m2^{-j},(m+1)2^{-j})$ は $i=0,1,\dots,2^{k-j}-1$ についての区間 $[(m2^{k-j}+i)2^{-k},(m2^{k-j}+i+1)2^{-k})$ の交わらない和であり、直積をとればよい。3：$Q\in\mathcal{D}_j$、$Q'\in\mathcal{D}_k$、$j\le k$ とする。2 により $Q$ は $\mathcal{D}_k$ の立方体の和であり、1 により $Q'$ はそのどれかと一致するか、そのすべてと交わらない。前者なら $Q'\subset Q$、後者なら $Q\cap Q'=\emptyset$ である。4：$Q$ の 1 点を含む $\mathcal{D}_{k-1}$ の立方体は 1 によりただ一つで、3 により $Q$ と交わる $\mathcal{D}_{k-1}$ の立方体は $Q$ を含む（$Q$ より大きいので $Q$ に含まれない）。$R\in\mathcal{D}_j$ が $Q$ を含めば $j\le k$ であり、$Q$ から親を $k-j$ 回たどった立方体も $\mathcal{D}_j$ に属して $Q$ を含むので、1 により $R$ と一致する。5：$\mathcal{D}$ は $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^n$ の像である。$\square$
点 $x$ を含む $\mathcal{D}_k$ の立方体を $Q^{(k)}(x)$ と書くと、4 により $\cdots\supset Q^{(k-1)}(x)\supset Q^{(k)}(x)\supset Q^{(k+1)}(x)\supset\cdots$ は $x$ を含む二進立方体の全体であり、二進立方体は、各立方体が $2^n$ 個の子をもつ根のない木の構造を与える。ただし木は 1 本ではなく、各座標が $0$ 以上か負かで分けた $2^n$ 個の象限ごとに 1 本ずつあり、異なる象限の立方体は共通の祖先をもたない（$n=1$ では $[0,1)$ の祖先 $[0,2^k)$ はどれも負の数を含まない）。
立方体の分解
$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$、$\alpha>0$ とし、$\mathcal{Q}:=\{Q\in\mathcal{D}\mid a_Q>\alpha\}$ とする。$\mathcal{Q}$ の元のうち、それより真に大きい $\mathcal{Q}$ の元に含まれないもの（極大な元）の全体を $\{Q_j\}$ とし、$\Omega:=\bigcup_jQ_j$ とおく。このとき $\{Q_j\}$ は互いに交わらない高々可算な族であり、$\mathcal{Q}$ のどの元もある $Q_j$ に含まれ、次が成り立つ。
- 各 $j$ で $\alpha< a_{Q_j}\le2^n\alpha$。
- ほとんどすべての $x\notin\Omega$ で $|f(x)|\le\alpha$。
- $|\Omega|\le\dfrac1\alpha\displaystyle\int_\Omega|f|\le\dfrac{\|f\|_1}\alpha$。
- 二進極大関数 $M_{\mathrm d}f(x):=\sup\{a_Q\mid Q\in\mathcal{D},\ x\in Q\}$ について $\Omega=\{x\mid M_{\mathrm d}f(x)>\alpha\}$。
極大な元の存在。 $Q\in\mathcal{Q}$ なら $\alpha|Q|<\int_Q|f|\le\|f\|_1$ なので $|Q|<\|f\|_1/\alpha$ である。prop-czd-dyadic の 4 により、$Q$ を含む二進立方体は $Q$ から親をたどった列で、測度は $2^n$ 倍ずつ増えるので、そのうち $\mathcal{Q}$ に属するものは有限個である。その中で最大のものを $Q^*$ とする。$R\in\mathcal{Q}$ が $Q^*$ を真に含めば $R$ は $Q$ を含むのでこの列の項であり、$Q^*$ の選び方に反する。よって $Q^*$ は極大で、$Q\subset Q^*$ である。二つの極大な元が交われば、prop-czd-dyadic の 3 により一方が他方を含み、極大性から一致する。$\mathcal{D}$ は可算なので $\{Q_j\}$ も高々可算である。
停止時間としての読み方。 $x\in\Omega$ なら、$x$ を含む二進立方体を大きいほうから $\cdots\supset Q^{(k)}(x)\supset Q^{(k+1)}(x)\supset\cdots$ とたどると、十分大きい立方体では平均は $\alpha$ 以下で（上の測度の評価）、$x$ を含む $Q_j$ は平均が初めて $\alpha$ を超える立方体である。
1。 $Q_j\in\mathcal{Q}$ から $a_{Q_j}>\alpha$ である。親 $\widehat Q_j$ は $Q_j$ を真に含むので $\mathcal{Q}$ に属さず（属せば $Q_j$ は極大でない）、
$$
\int_{Q_j}|f|\le\int_{\widehat Q_j}|f|\le\alpha|\widehat Q_j|=2^n\alpha|Q_j|
$$
である。
4。 $x\in Q_j$ なら $M_{\mathrm d}f(x)\ge a_{Q_j}>\alpha$ である。逆に $M_{\mathrm d}f(x)>\alpha$ なら、$x$ を含む $Q\in\mathcal{Q}$ があり、$Q$ はある $Q_j$ に含まれるので $x\in\Omega$ である。
3。 $Q_j$ は互いに交わらないので、1 から $|\Omega|=\sum_j|Q_j|\le\frac1\alpha\sum_j\int_{Q_j}|f|=\frac1\alpha\int_\Omega|f|$ である。
2。 $x\notin\Omega$ とする。4 により、どの $k$ でも $Q^{(k)}(x)\notin\mathcal{Q}$、すなわち $a_{Q^{(k)}(x)}\le\alpha$ である。$(Q^{(k)}(x))_{k\ge1}$ は Lebesgueの微分定理 の例「正則に縮む族の例」の 1 により $x$ に正則に縮む。$x$ が $f$ の Lebesgue 点なら、同じ記事の定理「正則に縮む族での微分」と $\bigl||f(y)|-|f(x)|\bigr|\le|f(y)-f(x)|$ から
$$
\bigl|a_{Q^{(k)}(x)}-|f(x)|\bigr|\le\frac1{|Q^{(k)}(x)|}\int_{Q^{(k)}(x)}|f(y)-f(x)|\,dy\to0\qquad(k\to\infty)
$$
であり、$|f(x)|=\lim_ka_{Q^{(k)}(x)}\le\alpha$ である。Lebesgueの微分定理 の定理「Lebesgue の微分定理」によりほとんどすべての点は Lebesgue 点なので、2 を得る。$\square$
同じ形の主張（$f\ge0$、開立方体で述べたもの）とその証明は Bass24 Theorem 24.7（pp. 354–356）にあり、2 の証明に使う二進立方体での微分は Theorem 24.5（p. 353）にある。4 は、二進極大関数 $M_{\mathrm d}f$ の上方の集合が極大な二進立方体の交わらない和に分かれることを述べている。
$n=1$、$f:=1_{[0,1)}$ とする。二進区間 $Q$ について $a_Q>0$ となるのは $Q$ が $[0,1)$ と交わるときで、そのとき prop-czd-dyadic の 3 により $Q\subset[0,1)$（$a_Q=1$）か $Q=[0,2^k)$（$k\ge1$、$a_Q=2^{-k}$）である。
- $\frac12\le\alpha<1$ なら $\{Q_j\}=\{[0,1)\}$ である。とくに $\alpha=\frac12$ では $a_{Q_1}=1=2\alpha$ となり、1 の上からの評価が等号で成り立つ。
- $0<\alpha<\frac12$ なら、$2^k<1/\alpha\le2^{k+1}$ となる整数 $k\ge1$ をとると $\{Q_j\}=\{[0,2^k)\}$ である。$|\Omega|=2^k$ は $\frac1{2\alpha}\le|\Omega|<\frac1\alpha=\frac{\|f\|_1}\alpha$ を満たす。
$n$ 次元でも、$f:=1_{[0,1)^n}$、$\alpha:=2^{-n}$ とすると、同じ理由で $\{Q_j\}=\{[0,1)^n\}$、$a_{Q_1}=1=2^n\alpha$ である。1 の定数 $2^n$ はこれより小さくできない。
よい部分と悪い部分への分解
$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$、$\alpha>0$ とし、$Q_j$、$\Omega$ を thm-czd-cubes のものとする。$m_j:=\frac1{|Q_j|}\int_{Q_j}f$ とおき、
$$
g:=f1_{\mathbb{R}^n\setminus\Omega}+\sum_jm_j1_{Q_j},\qquad b_j:=(f-m_j)1_{Q_j},\qquad b:=\sum_jb_j
$$
と定める（$Q_j$ は互いに交わらないので、各点で和の項は高々 1 つだけ $0$ でない）。このとき $f=g+b$ であり、次が成り立つ。
- よい部分。 ほとんど至るところ $|g|\le2^n\alpha$ であり、$\|g\|_1\le\|f\|_1$、さらに $1\le p<\infty$ について $\|g\|_p^p\le(2^n\alpha)^{p-1}\|f\|_1$。とくに $\|g\|_2^2\le2^n\alpha\|f\|_1$。
- 悪い部分の各塊。 $b_j$ は $Q_j$ の外で $0$ であり、$\displaystyle\int b_j=0$、$\|b_j\|_1\le2\int_{Q_j}|f|\le2^{n+1}\alpha|Q_j|$。
- 悪い部分の全体。 $\|b\|_1=\sum_j\|b_j\|_1\le2\|f\|_1$、$\sum_j|Q_j|\le\|f\|_1/\alpha$。
$\Omega$ の外では $g=f$、$b=0$ であり、$Q_j$ の上では $g=m_j$、$b=b_j=f-m_j$ なので $f=g+b$ である。
1：$\Omega$ の外では thm-czd-cubes の 2 によりほとんど至るところ $|g|=|f|\le\alpha$、$Q_j$ の上では同じ定理の 1 により $|m_j|\le a_{Q_j}\le2^n\alpha$ である。$|m_j||Q_j|\le\int_{Q_j}|f|$ と単調収束定理から
$$
\|g\|_1=\int_{\mathbb{R}^n\setminus\Omega}|f|+\sum_j|m_j||Q_j|\le\int_{\mathbb{R}^n\setminus\Omega}|f|+\sum_j\int_{Q_j}|f|=\|f\|_1
$$
である。$|g|^p=|g|^{p-1}|g|\le(2^n\alpha)^{p-1}|g|$ を積分すれば $\|g\|_p^p\le(2^n\alpha)^{p-1}\|g\|_1\le(2^n\alpha)^{p-1}\|f\|_1$ である。
2：$\int b_j=\int_{Q_j}f-m_j|Q_j|=0$ であり、$\|b_j\|_1\le\int_{Q_j}|f|+|m_j||Q_j|\le2\int_{Q_j}|f|$ である。主張の最後の不等式（$2^{n+1}\alpha$ を使う評価）は thm-czd-cubes の 1 による。
3：$b_j$ の台は互いに交わらないので各点で $|b|=\sum_j|b_j|$ であり、単調収束定理から $\|b\|_1=\sum_j\|b_j\|_1\le2\sum_j\int_{Q_j}|f|\le2\|f\|_1$ である。後半は thm-czd-cubes の 3 である。$\square$
1 は、$f\in L^1$ にすぎなくても $g$ は $L^1\cap L^\infty$、したがってすべての $L^p$（$1\le p\le\infty$）に属し、その $L^2$ ノルムが $\alpha$ と $\|f\|_1$ で抑えられることを述べている。2 の $\int b_j=0$ は、$Q_j$ の中心 $c_j$ と $\overline{Q_j}$ の上で連続な関数 $\varphi$ について
$$
\int b_j\varphi=\int_{Q_j}b_j(y)\bigl(\varphi(y)-\varphi(c_j)\bigr)\,dy
$$
と書き直せることを意味する。$\varphi$ が $Q_j$ の上でほとんど変化しなければ、右辺は小さい。特異積分作用素の評価では、$\varphi=K(x-\cdot)$（$x$ は $Q_j$ から離れた点）としてこの打ち消し合いを使う。
ex-czd-indicator の 1（$\alpha=\frac12$）では $g=f$、$b=0$ であり、2 では $g=2^{-k}1_{[0,2^k)}$、$b=1_{[0,1)}-2^{-k}1_{[0,2^k)}$ である。
応用：極大関数の弱 $(1,1)$ 型評価
座標軸に平行な閉立方体 $Q=\{y\mid|y-c|_\infty\le s/2\}$（中心 $c$、辺の長さ $s>0$）の全体で上限をとった極大関数を
$$
M^{\square}f(x):=\sup\{a_Q\mid Q\text{ は閉立方体で }x\in Q\}
$$
とおく。$Q$ と中心が同じで辺の長さが $3$ 倍の閉立方体を $3Q$ と書く。$Q$ をわずかに大きくしても平均はわずかしか変わらないので、$\{M^\square f>\lambda\}$ は開集合である。
$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ とする。
- $\alpha>0$ について $|\{M_{\mathrm d}f>\alpha\}|\le\|f\|_1/\alpha$。
- $\alpha>0$ について、$Q_j$ を thm-czd-cubes のものとすると、$\bigcup_j3\overline{Q_j}$ の外のすべての点で $M^\square f\le(1+6^n)\alpha$ である。したがって $\lambda>0$ について
$$ |\{M^\square f>\lambda\}|\le\frac{3^n(1+6^n)}\lambda\|f\|_1 . $$ - Lebesgueの微分定理 の中心をもつ極大関数 $Mf$ について $Mf\le\frac{2^n}{v_n}M^\square f$（$v_n$ は単位球の体積）であり、$|\{Mf>\lambda\}|\le\frac{6^n(1+6^n)}{v_n\lambda}\|f\|_1$。
1 は thm-czd-cubes の 3 と 4 である。
2：$x\notin\bigcup_j3\overline{Q_j}$ とし、$Q$ を $x$ を含む閉立方体（中心 $c$、辺の長さ $s$）とする。
$$
\int_Q|f|=\int_{Q\setminus\Omega}|f|+\sum_{j:\,Q\cap Q_j\ne\emptyset}\int_{Q\cap Q_j}|f|
$$
であり、thm-czd-cubes の 2 から第 1 項は $\alpha|Q|$ 以下である。$Q\cap Q_j$ の点 $z$ をとり、$Q_j$ の中心を $c_j$、辺の長さを $\ell_j$ とする。$|z-c_j|_\infty\le\ell_j/2$ であり、$x\notin3\overline{Q_j}$ から $|x-c_j|_\infty>3\ell_j/2$ なので $|x-z|_\infty>\ell_j$ である。$x,z\in Q$ から $|x-z|_\infty\le s$ なので $\ell_j< s$ である。$w\in Q_j$ なら $|w-c|_\infty\le|w-z|_\infty+|z-c|_\infty\le\ell_j+s/2< 3s/2$ なので $Q_j\subset3Q$ である。$Q_j$ は互いに交わらないので、thm-czd-cubes の 1 から
$$
\sum_{j:\,Q\cap Q_j\ne\emptyset}\int_{Q_j}|f|\le2^n\alpha\sum_{j:\,Q_j\subset3Q}|Q_j|\le2^n\alpha|3Q|=6^n\alpha|Q|
$$
である。合わせて $a_Q\le(1+6^n)\alpha$ であり、$Q$ は任意なので $M^\square f(x)\le(1+6^n)\alpha$ である。よって $\{M^\square f>(1+6^n)\alpha\}\subset\bigcup_j3\overline{Q_j}$ で、右辺の測度は $3^n\sum_j|Q_j|\le3^n\|f\|_1/\alpha$ 以下である。$\alpha:=\lambda/(1+6^n)$ とおけば評価を得る。
3：$B(x,r)$ は中心 $x$、辺の長さ $2r$ の閉立方体 $Q$ に含まれ、$|Q|=(2r)^n=\frac{2^n}{v_n}|B(x,r)|$ なので、$B(x,r)$ の上の平均は $\frac{2^n}{v_n}a_Q$ 以下である。後半は 2 による。$\square$
$\mathbb{R}^n$ の Hardy–Littlewood の極大関数の弱 $(1,1)$ 型評価は、ふつう被覆補題から導かれる（Lebesgueの微分定理 の定理「Hardy–Littlewood の極大不等式」は定数 $5^n$、$n=1$ では Hardy–Littlewoodの極大関数 の定理「Hardy–Littlewood の極大不等式」が定数 $3$）。上の証明は、球や立方体を被覆から選ぶ代わりに二進立方体の入れ子の構造を使って、同じ形の評価（定数は大きい）を与える。ただし 2 の証明で $|f|\le\alpha$（$\Omega$ の外）を使うところで、thm-czd-cubes の 2、すなわち二進立方体での Lebesgue の微分定理を経由しており、この記事ではそれを Lebesgueの微分定理 の定理「Lebesgue の微分定理」（$5r$ 被覆補題から導いたもの）から得ている。
応用：特異積分作用素の弱 $(1,1)$ 型評価
特異積分作用素 の定理「特異積分作用素の有界性（Calderón–Zygmund）」の 1 は、$L^2$ で有界で、Calderón–Zygmund 核 $K$（大きさの条件と Hörmander の条件を満たす核）をもつ作用素 $T$ について、$f\in L^1\cap L^2$ で $|\{|Tf|>\lambda\}|\le C\|f\|_1/\lambda$ が成り立つことを主張する。その証明は、高さ $\lambda$ での thm-czd-gb の分解の上に組み立てられている（その記事では高さを $\lambda$ と書き、立方体の分解を補題「Calderón–Zygmund 分解」として述べ、その証明にはこの記事の thm-czd-cubes を高さ $\alpha=\lambda$ で引いている）。筋は次のとおりで、証明そのものはその記事にある。
- よい部分。 $\{|Tg|>\lambda/2\}$ の測度は、Chebyshev の不等式と $T$ の $L^2$ 有界性、および thm-czd-gb の 1 の $\|g\|_2^2\le2^n\lambda\|f\|_1$ から $\|f\|_1/\lambda$ の定数倍で抑えられる。
- 悪い部分。 各 $Q_j$ を一定の倍率で拡大した立方体 $Q_j^*$ の和の測度は、thm-czd-gb の 3 から $\|f\|_1/\lambda$ の定数倍である。$Q_j^*$ の外では、$\int b_j=0$ によって $Tb_j(x)=\int_{Q_j}\bigl(K(x-y)-K(x-c_j)\bigr)b_j(y)\,dy$ と書け、Hörmander の条件から $\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q_j^*}|Tb_j|\le A\|b_j\|_1$ を得る。$\sum_j\|b_j\|_1\le2\|f\|_1$ と Chebyshev の不等式で残りの集合の測度を抑える。
弱 $(1,1)$ 型評価と $L^2$ 有界性から、Marcinkiewiczの補間定理 の考え方で $1< p< 2$ の $L^p$ 有界性が従う。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$（$f\in L^1_{\mathrm{loc}}$ にする） | $f\equiv1$、$\alpha=2^{-n-1}$ | thm-czd-cubes の 1 と 2 を満たす交わらない二進立方体の族の存在 |
| 2 の「ほとんどすべての $x$」 | $f=1_{\{0\}}$、$\alpha=\frac12$ | $\Omega$ の外のすべての点で $\lvert f\rvert\le\alpha$ |
| 二進立方体の入れ子の構造（任意の位置の区間から極大なものを選ぶ） | $n=1$、$f=1_{[0,1)}$、$\alpha=\frac12$、長さ $2^{-k}$ の任意の区間 $[a,a+2^{-k})$ | 極大な区間が互いに交わらないこと |
- どの立方体でも $a_Q=1$ なので、族の元はすべて $2^{-n-1}<1\le2^n\cdot2^{-n-1}=\frac12$ を満たさねばならず、そのような立方体はない。族は空で $\Omega=\emptyset$ となるが、$|f|=1>\alpha$ がいたるところ成り立つので 2 が破れる。$\mathcal{Q}=\mathcal{D}$ には極大な元がない。$f$ は有界で局所可積分だが、$\|f\|_1=\infty$ である。
- $f$ はほとんど至るところ $0$ なので、すべての $a_Q$ は $0$ で $\mathcal{Q}=\emptyset$、$\Omega=\emptyset$ である。2 はほとんど至るところ成り立つが、点 $0$ では $|f(0)|=1>\alpha$ である。
- $|a|<\frac12$ なら $[a,a+1)$ の平均は $1-|a|>\frac12$ である。長さ $2^k$（$k\ge1$）の区間と $[0,1)$ の共通部分の長さは $1$ 以下なので平均は $\frac12$ 以下である。よって $[a,a+1)$（$|a|<\frac12$）はどれも極大であり、どの二つも点 $\frac12$ を含んで交わる。二進区間に限れば ex-czd-indicator の 1 のとおり、極大な区間は $[0,1)$ だけである。
関連項目
- 前提: Lebesgue積分, Lp空間, Lebesgueの微分定理
- 比較: Hardy–Littlewoodの極大関数, Vitaliの被覆定理
- 応用: 特異積分作用素, Marcinkiewiczの補間定理
- 発展: 倍加測度
参考文献
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