円順列とじゅず順列

A の席を上に決めてしまう。残りの 3 つの席に、上から時計回りに B, C, D をどう並べるかで座り方が決まる。並べ方は $3!=6$ 通りで、上から時計回りに読むと
$$ ABCD,\quad ABDC,\quad ACBD,\quad ACDB,\quad ADBC,\quad ADCB $$
である。一列に並ぶ $24$ 通りと比べると、$24\mathbin{÷}4=6$ で、ちょうど $\frac14$ になっている。

異なる 4 個の玉 A, B, C, D で輪を作る。ex-cp-table4 の 6 通りのうち、裏返すと重なるものが 2 つずつ組になる。A を上に置いたまま左右を入れ替えると、時計回りの順が逆になるので
$$ ABCD \leftrightarrow ADCB,\qquad ABDC \leftrightarrow ACDB,\qquad ACBD \leftrightarrow ADBC $$
の 3 組になる。じゅず順列は $\dfrac{6}{2}=3$ 通りで、$\dfrac{(4-1)!}{2}=3$ と一致する。

A, B, C の一列の並べ方は $3!=6$ 通りある。$a=(A,B,C)$ を回すと
$$ r(a)=(B,C,A),\qquad r^2(a)=(C,A,B),\qquad r^3(a)=(A,B,C)=a $$
である。$(A,C,B)$ を回すと $(C,B,A)$、$(B,A,C)$ になる。6 通りは
$$ C(ABC)=\{ABC,\ BCA,\ CAB\},\qquad C(ACB)=\{ACB,\ CBA,\ BAC\} $$
の 2 つの類に分かれ、どちらも 3 個ずつからなる。3 人の円順列は 2 通りで、$(3-1)!=2$ と一致する。

$n=3,4,5,6$ のとき、一列の並べ方 $n!$、類の大きさ $n$、円順列の数 $(n-1)!$ は次のとおりである。

どの行でも $n!=(\text{類の大きさ})\times(\text{円順列の数})$ となっている。

1. $a=(A,B,C,D)$ なら $s(a)=(a_0,a_3,a_2,a_1)=(A,D,C,B)$ である（図 2）。$s(a)$ は $a$ を回して得られる 4 つ（図 1）のどれとも違う。
2. $n=3$、$a=(A,B,C)$ なら $s(a)=(A,C,B)$ である。ex-cp-three の 2 つの円順列 $C(ABC)$ と $C(ACB)$ は、裏返しで移り合う。よって 3 個の玉のじゅず順列は 1 通りしかない。

1. $n=3$：$\dfrac{2!}{2}=1$ 通り（ex-cp-flip (2)）。
2. $n=4$：$\dfrac{3!}{2}=3$ 通り（ex-cp-bead4）。
3. $n=5$：$\dfrac{4!}{2}=12$ 通り。$n=6$：$\dfrac{5!}{2}=60$ 通り。
   全部の場合を書き出して数えると、$n=3,4,5,6,7$ で $1,3,12,60,360$ 通りになり、公式と一致する。

男性 3 人 a, b, c と女性 3 人 X, Y, Z が、6 席の円卓に男女交互に座る座り方を数える。
段 1。男性 a を席 $0$ に固定する（prf-cp-count の段 1・段 2 により、どの座り方の類にも a が席 $0$ のものがちょうど 1 つある）。
段 2。交互に座るので、男性は席 $0,2,4$、女性は席 $1,3,5$ に座る。残りの男性 b, c を席 $2,4$ に並べる方法は $2!=2$ 通りである。
段 3。女性 3 人を席 $1,3,5$ に並べる方法は $3!=6$ 通りである。
よって $2\times6=12$ 通りである。全部の類を書き出して数えても $12$ 通りになる。

6 人 A, B, C, D, X, Y が円卓に座るとき、X と Y が隣り合う座り方を数える。
段 1。X と Y をひとかたまりにして 1 人とみなすと、5 人の円順列になり、$(5-1)!=24$ 通りである。
段 2。かたまりの中で X と Y の順（時計回りに X, Y か Y, X か）が $2$ 通りある。
よって $24\times2=48$ 通りである。6 人の円順列は全部で $5!=120$ 通りなので、X と Y が隣り合わない座り方は $120-48=72$ 通りである。どちらの数も、全部の類を書き出して確かめた。

5 人から 3 人を選び、3 席の円卓に座らせる方法を数える。選び方が $\dbinom53=10$ 通り、選んだ 3 人の円順列が $(3-1)!=2$ 通りなので、$10\times2=20$ 通りである。
別の数え方：5 人から 3 人を選んで一列に並べる順列は ${}_5\mathrm{P}_3=5\cdot4\cdot3=60$ 通りで、lem-cp-class-size と同じ理由で、回して重なるものが $3$ 個ずつ類になる。$60\mathbin{÷}3=20$ で一致する。
ここで使った $\dbinom53$ や、あとの ex-cp-burnside の $\dbinom63$ は 二項係数 であり、その値の求め方や性質は 二項定理と組合せの恒等式 で扱う。

赤玉 2 個と白玉 2 個を円周上の 4 つの席に置く。同じ色の玉は区別しない。一列に並べる方法は、4 つの席から赤玉の席 2 つを選ぶので $\dbinom42=6$ 通りある。これを $4$ で割ると $1.5$ になり、整数にならない。
実際に類に分けると（図 3）、
$$ C(RRWW)=\{RRWW,\ RWWR,\ WWRR,\ WRRW\},\qquad C(RWRW)=\{RWRW,\ WRWR\} $$
の 2 通りである（R は赤、W は白）。$RWRW$ は 2 席回すと自分自身に戻るので、その類は 2 個の並べ方しか含まない。類の大きさが $4$ と $2$ でそろわないので、全体を $4$ で割っても類の個数は出ない。

1. 赤 3 個・白 2 個（$n=5$）：$\gcd(3,2)=1$ なので、円順列は $\dfrac15\cdot\dfrac{5!}{3!\,2!}=\dfrac{10}{5}=2$ 通りである。実際、白 2 個が隣り合う $RRRWW$ と、隣り合わない $RRWRW$ の 2 通りである。
2. 赤 2 個・白 1 個・青 1 個（$n=4$）：$\gcd(2,1,1)=1$ なので、$\dfrac14\cdot\dfrac{4!}{2!\,1!\,1!}=\dfrac{12}{4}=3$ 通りである。青を上の席に固定して、残り 3 席に赤赤白を並べる方法 $RRW$、$RWR$、$WRR$ の 3 通りと一致する。

赤 3 個・白 3 個を 6 席の円周に置く（$\gcd(3,3)=3$）。6 つの回転 $r^0,\dots,r^5$ のそれぞれで動かない並べ方を数える。

• $r^0$：すべての並べ方 $\dbinom63=20$ 個が動かない。
• $r^1$、$r^5$：動かない並べ方は 6 席すべて同じ色のものだけで、赤 3 白 3 にはない。$0$ 個。
• $r^2$、$r^4$：席 $\{0,2,4\}$ と席 $\{1,3,5\}$ がそれぞれ同じ色になる並べ方で、$RWRWRW$ と $WRWRWR$ の $2$ 個。
• $r^3$：席 $\{0,3\}$、$\{1,4\}$、$\{2,5\}$ がそれぞれ同じ色になる並べ方で、赤の個数は偶数になるから $3$ 個にはならない。$0$ 個。
  平均は $\dfrac{20+0+2+0+2+0}{6}=\dfrac{24}6=4$ で、円順列は 4 通りである。書き出すと $RRRWWW$、$RRWRWW$、$RRWWRW$、$RWRWRW$ で、類の大きさは $6,6,6,2$（合計 $20$）である。$20\mathbin{÷}6$ は整数にならない。

ex-cp-coprime (2) の 3 通りの円順列を、青（B）を上の席に置いたまま、上から時計回りに $BRRW$、$BRWR$、$BWRR$ と書く。裏返し $s$ は上の席を動かさず、残りの 3 席の順を逆にするので
$$ BRRW\leftrightarrow BWRR,\qquad BRWR\leftrightarrow BRWR $$
となる。$BRRW$ と $BWRR$ は組になり、$BRWR$（白が青の真向かいにある）は裏返しても自分自身に戻る。$N=3$、$F=1$ なので、じゅず順列は
$$ \frac{3+1}{2}=2 $$
通りである。「白が青の隣にある輪」と「白が青の向かいにある輪」の 2 通りで、$\dfrac{N}{2}=\dfrac32$ ではない。全部の並べ方を書き出して、回転と裏返しで移り合うものをまとめても 2 通りになる。

ex-cp-burnside の 4 通りの円順列 $RRRWWW$、$RRWRWW$、$RRWWRW$、$RWRWRW$ を裏返す。

• $s(RRRWWW)=RWWWRR$ で、これは $RRRWWW$ を 2 席回したもの $r^2(RRRWWW)$ である。裏返しで変わらない。
• $s(RWRWRW)=RWRWRW$ で、裏返しで変わらない。
• $s(RRWRWW)=RWWRWR=r(RRWWRW)$、$s(RRWWRW)=RWRWWR=r(RRWRWW)$ なので、$RRWRWW$ と $RRWWRW$ は組になる。
  $N=4$、$F=2$ なので、じゅず順列は $\dfrac{4+2}{2}=3$ 通りである。
  同じ答えは、ex-cp-burnside と同じく Burnsideの補題 でも出る。じゅず順列は、回転 $r^k$ と「裏返してから回す」$r^ks$（$k=0,1,\dots,5$）の 12 個の操作（二面体群）で移り合う並べ方の類なので、12 個の操作で動かない並べ方の個数を平均すればよい。$r^ks(a)$ の席 $i$ には $a_{-i-k}$ があるので、$r^ks(a)=a$ は「すべての $i$ で席 $i$ と席 $-i-k$ が同じ色」ということである。
• 回転 6 個：ex-cp-burnside により合計 $20+0+2+0+2+0=24$ 個。
• $k=0,2,4$ の 3 個：$i$ と $-i-k$ が同じ席になる（$2i+k$ が $6$ の倍数になる）席がちょうど 2 つあり（向かい合う 2 席を通る軸での裏返し）、残りの 4 席は 2 席ずつ 2 組になる。赤が 3 個になるのは、軸上の 2 席の一方だけが赤で、2 組の一方だけが赤のときで、$2\times2=4$ 個ずつ。合計 $12$ 個。
• $k=1,3,5$ の 3 個：$2i+k$ は奇数なので $6$ の倍数にならず、6 席は 2 席ずつ 3 組になる（向かい合う 2 辺の中点を通る軸での裏返し）。赤の個数は偶数になるので $0$ 個。
  平均は $\dfrac{24+12}{12}=3$ で、上の数え方と一致する。書き出して数えても 3 通りである。

$n=2$ のとき、玉 A, B の輪は 1 通りしかないが、$\dfrac{(2-1)!}{2}=\dfrac12$ は整数ですらない。$n=2$ では $a=(A,B)$ の裏返しは $s(a)=(a_0,a_1)=(A,B)=a$ で、裏返しても変わらない。lem-cp-mirror の証明の段 4 で $n\ge3$ を使っており、$n=2$ では「$2$ が $n$ の倍数」が実際に起こる。円順列 $1$ 通りが組にならず、2 で割れない。$n=1$ でも同じく $1$ 通りで、公式は $\dfrac12$ を与える。

4 人が円卓に座るとき、上から時計回りに $ABCD$ と $ADCB$ は別の座り方である。$ABCD$ では A の時計回りの隣が B、$ADCB$ では D である。人は円卓の中心を向いて座り、テーブルを裏返すことはできないので、座り方は円順列の $3!=6$ 通りで、じゅず順列の $3$ 通りではない。実際、$ADCB$ を回した 4 つ $ADCB$、$DCBA$、$CBAD$、$BADC$ はどれも $ABCD$ の類（図 1）に入っていない。

円卓の 4 席のうち 1 席が議長席と決まっているとき、4 人の座り方は $4!=24$ 通りである。回すと議長席に座る人が変わるので、回して重なる座り方も別と数える。円順列は「席に区別がない」ときの数え方であり、何を同じとみなすかは問題の状況で決まる。