Laplace–de Rham作用素

形式 $\omega$ を係数の組とみなし、$\partial_k\omega:=\sum_I\partial_kf_I\,dx^I$（係数を微分した形式）と書く。$\varepsilon^k:=dx^k\wedge\cdot$、$\iota_j:=\iota(\partial/\partial x^j)$（内部積）とおくと、どちらも基底 $\{dx^I\}$ に関して定数の行列で表されるので、$\partial_k$ と可換である。微分形式 の命題「外微分の基本性質」の 3 により
$$ d\omega=\sum_{k}\varepsilon^k\,\partial_k\omega $$
であり、Hodgeのスター作用素 の例「Euclid 空間の余微分」により
$$ d^*\omega=-\sum_j\iota_j\,\partial_j\omega $$
である。これらを代入すると
$$ \Delta\omega=-\sum_{j,k}\bigl(\varepsilon^k\iota_j+\iota_j\varepsilon^k\bigr)\partial_k\partial_j\omega $$
となる。微分形式 の命題「内部積の Leibniz 則」を 1 次形式 $dx^k$ と形式 $\theta$ に使うと $\iota_j(dx^k\wedge\theta)=dx^k(\partial_j)\,\theta-dx^k\wedge\iota_j\theta$ なので
$$ \varepsilon^k\iota_j+\iota_j\varepsilon^k=\delta_{jk}\,\mathrm{id} $$
である（$\delta_{jk}$ は Kronecker の記号）。よって $\Delta\omega=-\sum_k\partial_k^2\omega$ となる。$\square$

要点：$\langle A_k\partial_k\omega,\theta\rangle=\langle\partial_k\omega,A_k^\natural\theta\rangle$ と書き直して $x^k$ について部分積分すると、微分が $\theta$ に移るほかに、$G$、$\gamma$、$A_k^\natural$ を微分した $0$ 階の項が出る。

prf-ldr-flat と同じく $\varepsilon^k:=dx^k\wedge\cdot$ とおき、$\iota^k:=\iota\bigl((dx^k)^\sharp\bigr)$ とおく。ここで $(dx^k)^\sharp=\sum_jg^{kj}\partial_j$ は計量で $dx^k$ に対応する接ベクトルである。$\varepsilon^k$ は基底 $\{dx^I\}$ に関して定数の行列で表され、$d\omega=\sum_k\varepsilon^k\partial_k\omega$ である。
段 1（$d^*$ の局所形）：楕円型作用素 の補題「外積と内部積の関係」の 1 により、各点で $\varepsilon^k$ の随伴は $\iota^k$ である。lem-ldr-first-order-adjoint を $P=d$（$A_k=\varepsilon^k$）に使うと、$0$ 階の作用素 $R$ があって、台が $U$ のコンパクト集合に入るすべての $\eta,\omega$ について $\langle\!\langle d\eta,\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\eta,Q\omega\rangle\!\rangle$、$Q:=-\sum_k\iota^k\partial_k+R$ である。$U$ を 1 つの向きづけられた Riemann 多様体とみて Hodgeのスター作用素 の定理「余微分は外微分の形式的随伴」の一意性を使い、$d^*$ と $Q$ がどちらも局所的な作用素であることを合わせると、$U$ の上で
$$ d^*=-\sum_k\iota^k\partial_k+R $$
である。

第 1 式の右辺を $\theta$ と書く。台が $U$ のコンパクト集合に入る関数 $\varphi$ について、$\langle dx^i,dx^j\rangle=g^{ij}$ と $\mathrm{vol}=\sqrt g\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ から
$$ \langle\!\langle d\varphi,\omega\rangle\!\rangle=\int_U\sum_{i,j}g^{ij}\,\partial_i\varphi\,\omega_j\,\sqrt g\,dx=-\int_U\varphi\sum_{i,j}\partial_i\bigl(\sqrt g\,g^{ij}\omega_j\bigr)\,dx=\int_U\varphi\,\theta\,\sqrt g\,dx=\langle\!\langle\varphi,\theta\rangle\!\rangle $$
である（2 つ目の等号は $x^i$ についての部分積分）。prf-ldr-local の段 1 と同じく、余微分の一意性と局所性から $d^*\omega=\theta$ である。関数 $f$ については $d^*f=0$ なので $\Delta f=d^*df$ であり、第 1 式に $\omega_j=\partial_jf$ を代入すると第 2 式を得る。$\square$

外微分と余微分は台を広げない（$\operatorname{supp}d\omega\subset\operatorname{supp}\omega$、$\operatorname{supp}d^*\omega\subset\operatorname{supp}\omega$。どちらも局所的な作用素だから）。よって以下で使う組の台の共通部分はすべて $\operatorname{supp}\omega\cap\operatorname{supp}\eta$ に含まれ、コンパクトである。Hodgeのスター作用素 の定理「余微分は外微分の形式的随伴」を組 $(d^*\omega,\eta)$ と組 $(\eta,d\omega)$ に使うと
$$ \langle\!\langle dd^*\omega,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle d^*\omega,d^*\eta\rangle\!\rangle,\qquad \langle\!\langle d^*d\omega,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\eta,d^*d\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle d\eta,d\omega\rangle\!\rangle $$
である（内積の対称性を使った）。足し合わせると第 1 の等号を得る。中辺は $\omega$ と $\eta$ について対称なので、$\omega$ と $\eta$ を入れ替えた式と比べて第 2 の等号を得る。$\eta=\omega$ とおけば非負性が出る。$M$ がコンパクトなら台の条件は自動的に満たされる。$\square$

$d\omega=0$、$d^*\omega=0$ なら定義から $\Delta\omega=dd^*\omega+d^*d\omega=0$ である。逆に $\Delta\omega=0$ なら、thm-ldr-selfadjoint により $0=\langle\!\langle\Delta\omega,\omega\rangle\!\rangle=\|d\omega\|^2+\|d^*\omega\|^2$ である。$\|d\omega\|^2=\int_M|d\omega|^2\mathrm{vol}$ で、被積分関数は連続かつ $0$ 以上だから、積分が $0$ なら $d\omega$ は恒等的に $0$ である。$d^*\omega$ も同様である。$\square$

1 は thm-ldr-selfadjoint で $\langle\!\langle\Delta\omega,\omega\rangle\!\rangle=\lambda\|\omega\|^2$ とおけばよい。2 は、$\Delta\omega=\lambda\omega$、$\Delta\eta=\mu\eta$ なら自己随伴性から $\lambda\langle\!\langle\omega,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\Delta\omega,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\omega,\Delta\eta\rangle\!\rangle=\mu\langle\!\langle\omega,\eta\rangle\!\rangle$ で、$\lambda\neq\mu$ なら $\langle\!\langle\omega,\eta\rangle\!\rangle=0$ となることによる。3 は $\lambda\omega=dd^*\omega+d^*d\omega$ を $\lambda$ で割ったものである。$\square$

$d\circ d=0$ から $d\Delta=d(dd^*+d^*d)=dd^*d=(dd^*+d^*d)d=\Delta d$ である。同様に $d^*\circ d^*=0$ から $d^*\Delta=d^*dd^*=\Delta d^*$ である。
$*$ については、Hodgeのスター作用素 の命題「余微分とスター作用素の交換関係」を使って $*dd^*=d^*d*$ と $*d^*d=dd^**$ を示し、足し合わせる。

1：thm-ldr-harmonic により $d^*\omega=0$ なので、$\langle\!\langle\omega,d\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle d^*\omega,\eta\rangle\!\rangle=0$ である。よって $\|\omega+d\eta\|^2=\|\omega\|^2+2\langle\!\langle\omega,d\eta\rangle\!\rangle+\|d\eta\|^2=\|\omega\|^2+\|d\eta\|^2$ である。同じ類の閉形式は $\omega+d\eta$ と書けるので、ノルムは $\|\omega\|$ 以上で、等号は $d\eta=0$ のときに限る。
2：$\omega_1,\omega_2$ が同じ類の調和形式なら、$\omega_1=\omega_2+d\eta$ と書け、1 を $\omega_2$ に使うと $\|\omega_1\|^2=\|\omega_2\|^2+\|d\eta\|^2$、$\omega_1$ に使うと（$\omega_2=\omega_1+d(-\eta)$）$\|\omega_2\|^2=\|\omega_1\|^2+\|d\eta\|^2$ である。辺々足すと $\|d\eta\|^2=0$ なので $\omega_1=\omega_2$ である。
3：任意の $\eta$ と実数 $t$ について $\omega'+t\,d\eta$ は同じ類の閉形式なので、$\phi(t):=\|\omega'+t\,d\eta\|^2=\|\omega'\|^2+2t\langle\!\langle\omega',d\eta\rangle\!\rangle+t^2\|d\eta\|^2$ は $t=0$ で最小になる。よって $\phi'(0)=2\langle\!\langle\omega',d\eta\rangle\!\rangle=2\langle\!\langle d^*\omega',\eta\rangle\!\rangle=0$ である。$\eta=d^*\omega'$ とおくと $\|d^*\omega'\|^2=0$ で $d^*\omega'=0$ となり、$d\omega'=0$ と合わせて thm-ldr-harmonic から $\omega'$ は調和形式である。$\square$