拡大次数

複素数は実数 $a,b$ により $a+bi$ とただ一通りに書けるので、$\{1,i\}$ は $\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}$ 上の基底であり、$[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ である。$i$ の $\mathbb{R}$ 上の最小多項式は $x^2+1$ で、$\deg_{\mathbb{R}}i=2$ である（$x^2+1$ は実根をもたないので $1$ 次式の積に分解せず、$2$ 次式なので既約である）。一方 $i$ の $\mathbb{C}$ 上の最小多項式は $x-i$ で、$\deg_{\mathbb{C}}i=1$ である。元の次数も基礎体に依存する。

$\alpha=\sqrt[3]2\in\mathbb{R}$ とする。$x^3-2$ は有理数の根をもたない。実際、既約分数 $a/b$（$b>0$）が根なら $a^3=2b^3$ から $a$ は偶数、すると $8\mid 2b^3$ より $b$ も偶数となり、既約であることに反する。$3$ 次式が $\mathbb{Q}[x]$ で可約なら $1$ 次因子、すなわち有理数の根をもつので、$x^3-2$ は既約であり、$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式である。後の thm-degree-of-extension-element により
$$ [\mathbb{Q}(\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]=3,\qquad \mathbb{Q}(\sqrt[3]2)=\{a+b\alpha+c\alpha^2\mid a,b,c\in\mathbb{Q}\} $$
である。$3$ は $2$ の冪でないので、$\sqrt[3]2$ は定規とコンパスで作図できない（cor-degree-of-extension-constructible）。

$K$ を $q$ 個の元からなる有限体、$L/K$ を $n$ 次拡大とする。$L$ の $K$ 上の基底 $u_1,\dots,u_n$ をとると、$L$ の元は $c_1u_1+\dots+c_nu_n$（$c_i\in K$）とただ一通りに書けるので
$$ |L|=q^{[L:K]} $$
である。逆に $L$ が有限なら $L$ は $K$ 上有限次元なので、次数は元の個数から $[L:K]=\log_q|L|$ として読み取れる。たとえば $4$ 元体 $\mathbb{F}_4$ は $\mathbb{F}_2$ 上 $2$ 次、$p^n$ 元体 $\mathbb{F}_{p^n}$ は素数 $p$ 元の体 $\mathbb{F}_p$ 上 $n$ 次である。
さらに $\mathbb{F}_{p^m}$ が $\mathbb{F}_{p^n}$ の部分体なら、後の thm-degree-of-extension-tower により $n=[\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p]=[\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_{p^m}]\cdot m$ なので $m\mid n$ である。逆に $m\mid n$ なら $\mathbb{F}_{p^n}$ は $p^m$ 元の部分体をただ 1 つもつ（有限体 の記事の命題「有限体の部分体」）。

$[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\infty$ である。実際 $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=n<\infty$ なら、基底をとって $\mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}^n$ と全単射に対応し、$\mathbb{Q}^n$ は可算集合なので $\mathbb{R}$ も可算になるが、$\mathbb{R}$ は可算でない。同じ議論で、$\mathbb{Q}$ 上代数的な実数は可算個しかない（$0$ でない有理数係数の多項式は可算個で、それぞれの根は有限個）ので、$\mathbb{Q}$ 上超越的な実数（超越数）が存在する。

$K$ を体、$K(t)$ を不定元 $t$ の有理関数体とする。$K(t)$ は $K$ に 1 つの元 $t$ を添加した体であるが、$f\in K[x]$ に対して $f(t)$ は多項式 $f$ そのものなので、$f(t)=0$ なら $f=0$ であり、$t$ は $K$ 上超越的である。したがって $1,t,t^2,\dots$ は $K$ 上線形独立であり、$[K(t):K]=\infty$ である。
この拡大は「1 つの元で生成される」を満たすが「有限次」を満たさず、含意「単純拡大は有限次拡大である」を破る。有限次になるのは、生成元が代数的なときに限る（thm-degree-of-extension-element）。

$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ と $\mathbb{Q}(\sqrt3)$ はどちらも $\mathbb{Q}$ 上 $2$ 次である（$x^2-2$、$x^2-3$ は有理数の根をもたない $2$ 次式なので既約）。しかし両者は体として同型でない。
同型 $\sigma\colon\mathbb{Q}(\sqrt2)\to\mathbb{Q}(\sqrt3)$ があったとする。$\sigma(1)=1$ から整数 $n$ について $\sigma(n)=n$、したがって有理数 $m/n$ について $\sigma(m/n)=m/n$ であり、$\sigma$ は $\mathbb{Q}$ の元を動かさない。すると $\sigma(\sqrt2)^2=\sigma(2)=2$ なので、$2$ は $\mathbb{Q}(\sqrt3)$ の中で平方になる。ところが $a,b\in\mathbb{Q}$ について $(a+b\sqrt3)^2=a^2+3b^2+2ab\sqrt3=2$ とすると、$1,\sqrt3$ の $\mathbb{Q}$ 上の独立性から $ab=0$ かつ $a^2+3b^2=2$ であり、$b=0$ なら $a^2=2$、$a=0$ なら $(3b)^2=6$ となって、どちらも有理数の解をもたない。よって $\sigma$ は存在しない。
この組は「$\mathbb{Q}$ 上の次数が等しい」を満たすが「同型」を満たさず、含意「同じ体の上の同じ次数の拡大は同型である」を破る。有限体の上ではこの含意が成り立つ（$\mathbb{F}_p$ 上の $n$ 次拡大はどれも $p^n$ 元体で、$p^n$ 元体は同型を除いて一意である。有限体 の記事の定理「有限体の存在と一意性」）。

$f=x^4-x-1\in\mathbb{Q}[x]$ とする。$f$ を $2$ を法として還元した $x^4+x+1\in\mathbb{F}_2[x]$ は $\mathbb{F}_2$ に根をもたず（$0$ と $1$ で値が $1$）、$\mathbb{F}_2$ 上の唯一の $2$ 次既約多項式 $x^2+x+1$ の平方 $x^4+x^2+1$ とも異なるので既約である。モニックな整数係数多項式は、素数を法とする還元が既約なら $\mathbb{Q}[x]$ でも既約である（DF04 §9.4）から、$f$ は既約である。$f(1)=-1<0<13=f(2)$ なので $f$ は実根 $\alpha$ をもち、$L=\mathbb{Q}(\alpha)$ は $\mathbb{Q}$ 上 $4$ 次である。
$f$ の判別式は $-283$（平方数でない）。根を $\alpha_1,\dots,\alpha_4$ とし $(\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_3+\alpha_4)$ を根とする 3 次の分解式（DF04 §14.6 の一般式 $x^3-2px^2+(p^2-4r)x+q^2$ に、$f=x^4+px^2+qx+r$ の $p=0$、$q=-1$、$r=-1$ を代入したもの）は $x^3+4x+1$ であり、有理数の根の候補 $\pm1$ で値が $6,-4$ なので既約である。このとき $f$ の分解体の Galois群 は $4$ 次対称群 $S_4$ である。Galois 対応（Galois拡大 の記事の定理「Galois対応」）により、$L/\mathbb{Q}$ の中間体は $S_4$ の部分群で $\alpha$ の固定部分群 $S_3$ を含むものに対応するが、$S_3$ を真に含む部分群は位数 $12$ か $24$ であり、位数 $12$ の部分群は交代群 $A_4$ だけで、$A_4$ は互換を含まないので $S_3$ を含まない。よって $L/\mathbb{Q}$ の中間体は $\mathbb{Q}$ と $L$ だけであり、$\mathbb{Q}$ 上 $2$ 次の中間体は存在しない。
この拡大は「$2$ が $[L:\mathbb{Q}]=4$ を割り切る」を満たすが「$\mathbb{Q}$ 上 $2$ 次の中間体をもつ」を満たさず、含意「$[L:K]$ の約数 $d$ ごとに $[M:K]=d$ の中間体 $M$ がある」を破る。thm-degree-of-extension-tower から従うのは、中間体の次数が $[L:K]$ の約数であることだけである。

$K=\mathbb{F}_2$、$L=\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2(\omega)$（$\omega^2+\omega+1=0$）とすると $[L:K]=2$ である。しかし $K$ の元 $0,1$ はどちらも $K$ の中で平方（$0=0^2$、$1=1^2$）なので、$K$ の中で平方でない $d$ は存在せず、$L$ は prop-degree-of-extension-small の 3 の形 $K(\beta)$（$\beta^2=d$、$d$ は $K$ で平方でない）に書けない。この組は「$[L:K]=2$」を満たすが「標数が $2$ でない」を満たさず、含意「2 次拡大は平方でない元の平方根の添加である」を破る。標数 $2$ の 2 次拡大は $x^2+x+c$ の根の添加（Artin–Schreier 型。Artin–Schreier拡大）か、$x^2-d$ の根の添加（分離拡大でない場合）になる。