幾何的確率

1. $0$ 以上 $1$ 以下の実数 $X$ を、どこも同じ出やすさで選ぶ。「どこも同じ出やすさ」を「区間に入る確率はその区間の長さに比例する」と読むと、全体の長さが $1$ なので、確率は区間の長さそのものである。たとえば
   $$ P\Bigl(\frac13\le X\le\frac34\Bigr)=\frac34-\frac13=\frac9{12}-\frac4{12}=\frac5{12} $$
   である。
2. バスが $10$ 分おきに来る停留所に、時刻表を見ずにでたらめな時刻に着く。前のバスが出てから着くまでの時間を $T$ 分とすると、$T$ は $0$ 以上 $10$ 以下のどこも同じ出やすさの値と考えられる。$3$ 分以内にバスが来るのは $7\le T\le10$ のときで、この区間の長さは $3$、全体の長さは $10$ なので、確率は
   $$ \frac{3}{10} $$
   である。

半径 $1$ の円の内部に、どこも同じ出やすさで点を 1 つ打つ。「どこも同じ出やすさ」を「図形に入る確率はその図形の面積に比例する」と読むと、中心から $\frac12$ 以内に点が入る確率は、半径 $\frac12$ の円と半径 $1$ の円の面積の比で
$$ \frac{\pi\cdot\bigl(\frac12\bigr)^2}{\pi\cdot1^2}=\frac{\ \frac\pi4\ }{\pi}=\frac14 $$
である。半径は半分なのに、確率は $\frac12$ ではなく $\frac14$ になる。面積は半径の 2 乗に比例するからである。

$(X,Y)$ を正方形 $[0,1]\times[0,1]$ の中の一様な点とする。
(1) $P\bigl(X+Y\le\frac12\bigr)$。領域 $x\ge0$、$y\ge0$、$x+y\le\frac12$ は、直角をはさむ 2 辺が $\frac12$ の直角三角形なので、面積は $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$ である。確率は $\frac18$ である。
(2) $P(X< Y)$。領域 $x< y$ は、正方形を対角線で分けた一方の直角三角形で、面積は $\frac12$ である。確率は $\frac12$ である。
(3) $P\bigl(XY\le\frac12\bigr)$。$0\le x\le\frac12$ なら、どの $y\in[0,1]$ でも $xy\le\frac12\cdot1=\frac12$ なので、この部分の面積は $\frac12$ である。$\frac12< x\le1$ なら、条件は $y\le\frac1{2x}$ で、$\frac1{2x}<1$ である。この部分の面積は、曲線 $y=\frac1{2x}$ の下の面積（定積分と面積）で
$$ \int_{1/2}^1\frac1{2x}\,dx=\frac12\Bigl[\log x\Bigr]_{1/2}^1=\frac12\Bigl(0-\log\frac12\Bigr)=\frac12\log2 $$
である。合わせて、確率は
$$ \frac12+\frac12\log2=0.8465\ldots $$
である。領域が曲線で囲まれていても、面積を定積分で求めれば確率が求まる。

$P\bigl(X\le\frac12\text{ かつ }Y\le\frac13\bigr)$ は、長方形 $\bigl[0,\frac12\bigr]\times\bigl[0,\frac13\bigr]$ の面積 $\frac12\cdot\frac13=\frac16$ である。これは $P\bigl(X\le\frac12\bigr)P\bigl(Y\le\frac13\bigr)=\frac12\cdot\frac13$ に等しい。

1. $15$ 分待つ場合は $a=\frac14$ で、
   $$ P\Bigl(\lvert X-Y\rvert\le\frac14\Bigr)=1-\Bigl(1-\frac14\Bigr)^2=1-\frac9{16}=\boxed{\frac7{16}} $$
   である。会えない確率 $\frac9{16}$ は、図 1 の斜線の 2 つの直角三角形（直角をはさむ辺が $\frac34$）の面積の和 $2\cdot\frac12\cdot\bigl(\frac34\bigr)^2=\frac9{16}$ である。
2. $20$ 分待つ場合は $a=\frac{20}{60}=\frac13$ で、
   $$ 1-\Bigl(1-\frac13\Bigr)^2=1-\frac49=\frac59 $$
   である。待つ時間を $15$ 分から $20$ 分に延ばすと、会える確率は $\frac7{16}=0.4375$ から $\frac59=0.555\ldots$ に上がる。
3. 会える確率を $\frac12$ 以上にするには、何分待てばよいか。$1-(1-a)^2\ge\frac12$ は $(1-a)^2\le\frac12$ と同じで、$0\le a\le1$ では $1-a\le\frac1{\sqrt2}$、つまり
   $$ a\ge1-\frac1{\sqrt2}=0.2928\ldots $$
   である。$60$ 分を掛けると約 $17.6$ 分である。1 時間の $\frac14$ にあたる $15$ 分待っても、会える確率は $\frac12$ に届かない。

1 人目（来る時刻 $X$）は先に来たら $10$ 分待ち、2 人目（来る時刻 $Y$）は先に来たら $20$ 分待つとする。会えるのは $-\frac13\le Y-X\le\frac16$ のときで、会える確率は $\frac{31}{72}=0.430\ldots$ である。2 人とも $15$ 分待つ場合の $\frac7{16}=0.4375$ よりわずかに小さい。

$Z=\lvert X-Y\rvert$ の密度 $f(a)=2(1-a)$（$0\le a\le1$）を使うと、期待値は
$$ E(Z)=\int_0^1a\cdot2(1-a)\,da=\Bigl[a^2-\frac23a^3\Bigr]_0^1=1-\frac23=\frac13 $$
である。1 時間のうちにでたらめに来る 2 人の時刻の差は、平均して $20$ 分である。

1. $X=0.3$、$Y=0.6$ なら、3 本は $0.3$、$0.3$、$0.4$ で、どれも $\frac12$ 未満なので三角形が作れる。
2. $X=0.2$、$Y=0.9$ なら、3 本は $0.2$、$0.7$、$0.1$ で、真ん中の $0.7$ が $\frac12$ 以上なので作れない（$0.7>0.2+0.1$）。
3. $X=0.4$、$Y=0.1$ のように $X>Y$ でもよい。左から $0.1$、$0.3$、$0.6$ で、右端の $0.6$ が $\frac12$ 以上なので作れない。

図 2 の 8 つの直角三角形のうち、作れない 6 つは、左・真ん中・右のどの 1 本が $\frac12$ 以上かで 3 つの組に分かれ、どの組も面積 $\frac18+\frac18=\frac14$ である。$\frac12$ 以上の棒は 1 本しかありえない（2 本あれば長さの和が $1$ 以上になり、残りの 1 本の長さが $0$ 以下になる）ので、3 つの組は重ならない。

棒をまず 1 か所 $X$ で折り、できた 2 本のうち長い方の上に、もう 1 か所をでたらめに選んで折る（GS06 §4.2 の Exercise 10 は、この確率が $2\log2-1$ であることを示す問題である）。2 か所目の位置を、長い方の棒の左端から測って長い方の長さの $V$ 倍の点とし、$X$ と $V$ は独立に $[0,1]$ の上の一様分布に従うとする。点 $(X,V)$ は正方形の中の一様な点である。
段 1（$x<\frac12$ の場合の条件）。短い方は長さ $x$、長い方は長さ $1-x$ で、それが $v(1-x)$ と $(1-v)(1-x)$ に分かれる。lem-gpr-half により、三角形が作れる条件は $x<\frac12$（すでに成り立つ）と
$$ v(1-x)<\frac12,\qquad (1-v)(1-x)<\frac12 $$
である。$1-x>0$ で割ると、$v<\dfrac1{2(1-x)}$ と $v>1-\dfrac1{2(1-x)}=\dfrac{1-2x}{2(1-x)}$ である。
段 2（$v$ の範囲の長さ）。$0< x<\frac12$ では $0<\dfrac{1-2x}{2(1-x)}<\dfrac1{2(1-x)}<1$ なので、条件を満たす $v$ の範囲は区間で、その長さは
$$ \frac1{2(1-x)}-\frac{1-2x}{2(1-x)}=\frac{2x}{2(1-x)}=\frac x{1-x} $$
である。たとえば $x=0.1$ なら $\frac19=0.111\ldots$、$x=0.3$ なら $\frac37=0.428\ldots$ で、1 か所目が真ん中に近いほど作りやすい。
段 3（面積）。$0< x<\frac12$ の部分の領域の面積は、この長さを $x$ について積分したもの（定積分と面積）で、$\dfrac x{1-x}=-1+\dfrac1{1-x}$ と変形すると
$$ \int_0^{1/2}\frac x{1-x}\,dx=\Bigl[-x-\log(1-x)\Bigr]_0^{1/2}=-\frac12-\log\frac12=\log2-\frac12 $$
である。
段 4（$x>\frac12$ の場合）。短い方と長い方の役割を入れかえると同じ計算になり（$x$ を $1-x$ に置きかえる）、面積は同じく $\log2-\frac12$ である（図 4 の右半分）。
段 5（まとめ）。確率は
$$ 2\Bigl(\log2-\frac12\Bigr)=2\log2-1=0.3862\ldots $$
で、$\frac14$ より大きい。短い方の棒をさらに折ることがないので、長すぎる棒ができにくいからである。計算機で $400{,}000$ 回試すと、割合は $0.3850$ になった。

半径 $1$ の円の中の点を、中心からの距離 $R$ と角 $\Theta$ で決めることにし、$R$ を $[0,1]$ の上の一様分布、$\Theta$ を $[0,2\pi)$ の上の一様分布から独立に選ぶ。このとき中心から $\frac12$ 以内に入る確率は
$$ P\Bigl(R\le\frac12\Bigr)=\frac12 $$
で、ex-gpr-disk の $\frac14$ と違う。この選び方の点は、円の中の一様な点ではない。半径 $\frac12$ の円は面積が全体の $\frac14$ しかないのに、点の半分がそこに入る。点は中心の近くに集まる（図 6）。
逆に、円の中の一様な点では、$0\le s\le1$ について $P(R\le s)=\dfrac{\pi s^2}{\pi}=s^2$ である。$R$ の分布関数が $s^2$ なので、$R$ の密度は $2s$ で、$R$ は一様分布に従わない。面積に比例して点を選ぶことと、半径を一様に選ぶことは、別の選び方である。

2 人が駅で待ち合わせてからいっしょに店に来るなら、$Y=X$ である。$X$ も $Y$ もそれぞれ $[0,1]$ の上の一様分布に従うが、$X$ と $Y$ は独立ではない。$\lvert X-Y\rvert=0\le a$ なので、会える確率はいつも $1$ で、$a=\frac14$ でも $\frac7{16}$ にならない。点 $(X,Y)$ は対角線の上にしか来ず、正方形の中の一様な点ではない。1 つ 1 つの変数の分布が一様でも、組 $(X,Y)$ の分布は決まらない。thm-gpr-meeting は、独立であること（prop-gpr-independent の後で定めた意味）を使っている。

平面全体の中に「どこも同じ出やすさ」の点をとることはできない。合同な図形に入る確率がどれも等しいとすると、確率の合計が $1$ にならないからである。def-gpr-geom で全体の面積を有限と仮定したのは、このためである。