厚い部分圏

同型な複体はコホモロジーが同型なので、同型で閉じる。$H^i(X[1])=H^{i+1}(X)$ なので移動で閉じる。完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\to X[1]$ のコホモロジーの長完全列（完全三角形は写像錐の三角形と同型であり、写像錐の短完全列のコホモロジー長完全列から得られる）
$$ H^i(X)\xrightarrow{H^i(u)}H^i(Y)\to H^i(Z)\to H^{i+1}(X)\xrightarrow{H^{i+1}(u)}H^{i+1}(Y) $$
から短完全列
$$ 0\to\operatorname{coker}H^i(u)\to H^i(Z)\to\ker H^{i+1}(u)\to0 $$
を得る。$X,Y$ が $D_{\mathcal A'}(\mathcal A)$ に属せば、両端は $\mathcal A'$ の射の余核・核なので (1) で $\mathcal A'$ に属し、(2) で $H^i(Z)\in\mathcal A'$ となる。他の 2 頂点の場合は三角形を回転して同じ議論をする。直和因子については $H^i(X\oplus Y)=H^i(X)\oplus H^i(Y)$ と、$\mathcal A'$ が直和因子で閉じることによる。有界性の条件は長完全列から明らかに保たれる。$\blacksquare$

移動して $n<0$ で $X^n=0$ とする。$Z^n:=\ker d_X^n$ と書く。$I^n$ と鎖写像の成分 $f^n\colon X^n\to I^n$ を、次の条件をみたすように帰納的に作る：$i< n$ で $H^i(f)$ は同型であり、$C_n:=I^n/\operatorname{im}d_I^{n-1}$ とおくと、$f^n$ が誘導する $H^n(X)\to C_n$ はモノ射である。$C_n$ は $\mathcal A'$ の射の余核なので $\mathcal A'$ に属する。
$n=0$ では $H^0(X)=Z^0$ を $\mathcal A$ 入射的な $I^0\in\mathcal A'$ に埋め込み、$I^0$ の入射性で $X^0$ に延ばす。$n$ から $n+1$ へは、$X^n\to C_n$ と $d^n\colon X^n\to Z^{n+1}$ の押し出し $P$ をとる。押し出しの完全列から
$$ 0\to C_n/H^n(X)\to P\to H^{n+1}(X)\to0 $$
が完全であり、両端は $\mathcal A'$ に属するので $P\in\mathcal A'$ となる。$P$ を $\mathcal A$ 入射的な $I^{n+1}\in\mathcal A'$ に埋め込み、$d_I^n$ を $I^n\to C_n\to P\to I^{n+1}$、$f^{n+1}$ を $Z^{n+1}\to P\to I^{n+1}$ の $X^{n+1}$ への延長とする。

包含 $\mathcal A'\to\mathcal A$ は完全なので、$\mathcal A'$ の複体の擬同型は $\mathcal A$ でも擬同型であり、関手 $K^+(\mathcal A')\to K^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal A)$ は擬同型を同型に送る。局所化の普遍性で $D^+(\mathcal A')\to D^+(\mathcal A)$ が得られ、像はコホモロジーが $\mathcal A'$ に入る複体である。
充満忠実性：$\mathcal A'$ は充満なので $K^+(\mathcal A')$ は $K^+(\mathcal A)$ の充満部分圏であり、$K^+(\mathcal A)$ の擬同型のうち $K^+(\mathcal A')$ の射であるものは $\mathcal A'$ の擬同型、すなわち $K^+(\mathcal A')$ の乗法系である。擬同型 $s\colon X\to X'$ で $X\in K^+(\mathcal A')$ のものをとると、$H^i(X')\cong H^i(X)\in\mathcal A'$ なので、lem-thick-injective-resolution により擬同型 $g\colon X'\to I$ で $I\in K^+(\mathcal A')$ のものがある。$g\circ s$ は擬同型なので、圏の局所化の記事の命題「充満部分圏の局所化」の条件 (ii) が成り立ち、$D^+(\mathcal A')\to D^+(\mathcal A)$ は充満忠実である。
本質的全射性：$X\in D^+_{\mathcal A'}(\mathcal A)$ は下に有界な複体と同型なので、lem-thick-injective-resolution で $X\cong I$、$I\in K^+(\mathcal A')$ となる。$\blacksquare$

$D(\mathcal B)$ の射 $\varphi$ がすべての $H^j(\varphi)$ を同型にするなら、$\varphi=Q(f)Q(s)^{-1}$ と書けば $f$ が擬同型なので $\varphi$ は同型である。また、完全三角形の射の 2 成分が同型なら残りも同型である（三角圏の記事の命題「三角形の射についての五項補題」）。$\eta$ は三角関手の射なので、完全三角形を $F$ と $G$ で移した 2 つの三角形の間の射を与える。
(i) $X$ のコホモロジーが $[a,b]$ にあるとし、$b-a$ についての帰納法で示す。短完全列 $0\to\tau^{\le a}X\to X\to X''\to0$ で、$X''$ のコホモロジーは $[a+1,b]$ にあり、$\tau^{\le a}X\to H^a(X)[-a]$（次数 $a$ で $Z^a\to H^a$）は擬同型である。$\eta_{H^a(X)[-a]}$ は $\eta_{H^a(X)}$ の移動なので同型であり、帰納法の仮定と五項補題で $\eta_X$ も同型になる。
(ii) $X\in D^+_{\mathcal A'}(\mathcal A)$ と $j$ を固定する。右に way-out の定義を $n_1=j+1$ で $F,G$ に当て、共通の $n_2$ をとり、$m\ge n_2-1$ とする。短完全列 $0\to\tau^{\le m}X\to X\to X''\to0$ で $i\le m$ のとき $H^i(X'')=0$ なので、$i\le j$ で $H^i(F(X''))=H^i(G(X''))=0$ である。長完全列
$$ H^{j-1}(F(X''))\to H^j(F(\tau^{\le m}X))\to H^j(F(X))\to H^j(F(X'')) $$
の両端は $0$ なので中央の射は同型であり、$G$ でも同じである。$\tau^{\le m}X\in D^b_{\mathcal A'}(\mathcal A)$ なので (i) により $\eta_{\tau^{\le m}X}$ は同型であり、$\eta$ の自然性から $H^j(\eta_X)$ も同型になる。$j$ は任意なので $\eta_X$ は同型である。
(iii) $0\to\tau^{\le0}X\to X\to X''\to0$ で $X''\in D^+_{\mathcal A'}(\mathcal A)$ には (ii) を当てる。コホモロジーが上に有界な $\tau^{\le0}X$ には、(ii) の議論を左に way-out の条件で行う。$Y:=\tau^{\le0}X$ と $j$ を固定し、左に way-out の定義を $n_1=j-1$ で $F,G$ に当てて共通の $n_2$ をとり、$m\le\min\{n_2,0\}$ とする。短完全列 $0\to\tau^{\le m}Y\to Y\to Y/\tau^{\le m}Y\to0$ で、$\tau^{\le m}Y$ のコホモロジーは次数 $m$ より上で消えるので、$i\ge j$ で $H^i(F(\tau^{\le m}Y))=H^i(G(\tau^{\le m}Y))=0$ である。長完全列
$$ H^j(F(\tau^{\le m}Y))\to H^j(F(Y))\to H^j(F(Y/\tau^{\le m}Y))\to H^{j+1}(F(\tau^{\le m}Y)) $$
の両端は $0$ なので $H^j(F(Y))\cong H^j(F(Y/\tau^{\le m}Y))$ であり、$G$ でも同じである。$Y/\tau^{\le m}Y$ のコホモロジーは $[m+1,0]$ にあり $D^b_{\mathcal A'}(\mathcal A)$ に属するので、(i) と $\eta$ の自然性から $H^j(\eta_Y)$ は同型である。$j$ は任意なので $\eta_Y$ は同型であり、五項補題で $\eta_X$ は同型である。
(iv) $X\in\mathcal A'$ をとる。$X\to I^0\in\mathcal P$ をモノ射とし、余核（$\mathcal A'$ に属する）を $I^1\in\mathcal P$ に埋め込む、と繰り返して完全列 $0\to X\to I^0\to I^1\to\cdots$ を作る。複体 $I$ は $X$ と擬同型なので、$\eta_I$ が同型であることを示せばよい。$j$ を固定し、右に way-out の定義を $n_1=j+2$ で当てて $n_2$ をとり、$m+1\ge n_2$ とする。短完全列 $0\to\sigma^{\ge m+1}I\to I\to\sigma^{\le m}I\to0$ で、$\sigma^{\ge m+1}I$ のコホモロジーは次数 $m+1$ 未満で消えるので、$i\le j+1$ で $H^i(F(\sigma^{\ge m+1}I))=0$ である。長完全列
$$ H^j(F(\sigma^{\ge m+1}I))\to H^j(F(I))\to H^j(F(\sigma^{\le m}I))\to H^{j+1}(F(\sigma^{\ge m+1}I)) $$
から $H^j(F(I))\cong H^j(F(\sigma^{\le m}I))$ であり、$G$ でも同じである。有限な複体 $\sigma^{\le m}I$ は短完全列 $0\to I^m[-m]\to\sigma^{\le m}I\to\sigma^{\le m-1}I\to0$ を繰り返して $I^k[-k]$（$I^k\in\mathcal P$）から組み立てられるので、五項補題で $\eta_{\sigma^{\le m}I}$ は同型である。よって $H^j(\eta_I)$ は同型である。$\blacksquare$

thm-thick-way-out の (i)(ii) の証明で「$\eta$ が同型」を「値が $D_{\mathcal B'}(\mathcal B)$ に入る」に置き換える。(i) では、$D_{\mathcal B'}(\mathcal B)$ が同型・移動・完全三角形の 2 頂点から残りへの操作で閉じること（prop-thick-da-thick）を使う。(ii) では、同じ長完全列から $H^j(F(X))\cong H^j(F(\tau^{\le m}X))\in\mathcal B'$ を得る。$\blacksquare$