根基イデアル
概要
根基イデアル（radical ideal）とは、可換環のイデアル $I$ で、$a^n\in I$ なら $a\in I$ となるもの、つまり根基 $\sqrt I=\{a\mid a^n\in I\text{ となる }n\ge1\text{ がある}\}$ と一致するものであり、$A/I$ が被約環であることと同値である。根基は $I$ を含む素イデアルすべての共通部分に等しく、$\sqrt I=\sqrt J$ は $V(I)=V(J)$ と同値なので、根基イデアルは素スペクトルの閉集合と一対一に対応する。有限生成イデアル $J$ については $J\subset\sqrt I$ がある $N$ で $J^N\subset I$ となることと同値である。根基は縮約や局所化と両立するが、根基イデアルの延長や和は根基とは限らず、$(y)+(y-x^2)=(y,x^2)$ がその例である。
定義と基本的な見方
根基イデアルは、ある元の冪が入れば、その元自身も入るイデアルである。イデアルの生成元を掛け合わせる操作とは別に、「何乗かした結果だけでは区別できない元」をすべて加える操作が根基を取ることである。この操作は、剰余環から非零の冪零元を取り除くことに対応する。
以下では、環は単位元をもつ可換環、環準同型は単位元を保つものとする。零環も含め、イデアルを真のイデアルに限定しない。したがって環全体も根基イデアルである。一方、素イデアルは真のイデアルとする。この区別は、空の素スペクトルや局所化によって環全体になるイデアルを扱う際に必要となる。
環 $A$ のイデアル $I$ に対して、その根基を
$$
\sqrt I=\{a\in A\mid a^n\in I\text{ となる整数 }n\ge1\text{ が存在する}\}
$$
と定める。$I=\sqrt I$ を満たすイデアルを 根基イデアル（radical ideal）という。これは、すべての $a\in A$ と整数 $n\ge1$ に対して、$a^n\in I$ なら $a\in I$ となる条件と同値である。
$I$ の元は指数 $1$ によって根基に属するので $I\subset\sqrt I$ である。根基がイデアルとなることは、冪零根基 の「イデアルの根基」で証明されている。具体的には、$A/I$ の冪零元全体を商写像で引き戻したものが $\sqrt I$ である。二つの冪零元の和が再び冪零となる二項展開が、その加法に関する閉性を支える。
冪零根基 の「根基と素イデアル」（AM69 Chapter 1, Proposition 1.8 の商環への適用）により
$$
\sqrt I=\bigcap_{\substack{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}A\\I\subset\mathfrak p}}\mathfrak p
$$
である。したがって根基イデアルは素イデアルの共通部分として表せる。ここで共通部分を取る素イデアルは極大イデアルに限らない。極大イデアルだけで同じ式を得るには、Jacobson環 などの追加条件が必要である。
零イデアルの根基は 冪零根基 である。しかし一般の根基イデアルは、環の中で冪零な元だけからなるとは限らない。たとえば整数環の $(6)$ は根基イデアルであるが、$6$ は冪零元ではない。「根基」という語は、指定されたイデアルを基準として何乗かするとそこへ入ることを表す。基準となるイデアルが零である場合に限って、環自身の冪零性となる。
有限生成イデアルを根基へ入れる
根基への所属の指数は元ごとに異なってよい。しかし有限個の生成元について指数を選べるときには、それらをまとめて一つのイデアルの冪に関する条件へ変えられる。この点は、根基を比較する問題と、イデアルの冪を比較する問題を結ぶ。
$I,J$ を $A$ のイデアルとし、$J=(a_1,\ldots,a_s)$ が有限生成とする。このとき
$$
J\subset\sqrt I\quad\Longleftrightarrow\quad J^N\subset I\text{ となる整数 }N\ge1\text{ が存在する}.
$$
具体的に $a_i^{n_i}\in I$ を満たす整数 $n_i\ge1$ を選べば、$s>0$ の場合には $N=1+\sum_i(n_i-1)$ を使える。$J=0$ には $N=1$ を使える。
$J\subset\sqrt I$ と仮定する。各生成元 $a_i$ について $a_i^{n_i}\in I$ となる指数を選ぶ。$J^N$ は総次数 $N$ の単項式 $a_1^{e_1}\cdots a_s^{e_s}$ によって生成される。これは、$J$ の元 $N$ 個の積を各生成元の線型結合として展開すればわかる。
すべての $i$ について $e_i< n_i$ なら、総次数は高々 $\sum_i(n_i-1)=N-1$ となるので矛盾する。したがってある $i$ で $e_i\ge n_i$ である。その単項式は $a_i^{n_i}$ の倍数なので $I$ に属する。生成元がすべて $I$ に入るため $J^N\subset I$ となる。$s=0$ なら $J=0$ なので同じ結論は $N=1$ で成立する。
逆に $J^N\subset I$ と仮定する。任意の $a\in J$ に対して $a^N\in J^N\subset I$ だから、$a\in\sqrt I$ である。よって $J\subset\sqrt I$ を得る。この方向には有限生成性は不要である。$\square$
この証明の有限性は、環が Noether であることに置き換えられるが、その仮定が必要なわけではない。調べる側の $J$ が有限生成であれば足り、包含される側の $I$ に有限生成性は要求していない。また、生成元一つずつについて冪が入ることを確認すれば十分であり、$J$ のすべての元について指数を個別に調べる必要もない。
$A$ を Noether環 とする。イデアル $I,J$ について $\sqrt I=\sqrt J$ となることは、ある正整数 $r,s$ に対して $I^r\subset J$ および $J^s\subset I$ となることと同値である。
根基が等しければ $I\subset\sqrt J$ と $J\subset\sqrt I$ なので、前の命題を二度使えばよい。逆に二つの冪の包含があれば、各元の冪を取ることで $\sqrt I\subset\sqrt J$ と逆包含を得る。この比較はイデアル自身の等号を主張しない。たとえば $(t)$ と $(t^{100})$ は同じ根基をもち、元の所属や剰余環の冪零指数は大きく異なる。
さらに Noether 環では $\sqrt I$ も有限生成なので、ある $N$ に対して $(\sqrt I)^N\subset I$ となる。これは $A/I$ の冪零根基が冪零イデアルであるという既知の性質を、元の環のイデアルに戻した表現である。一般の環では、各元が何乗かすると $I$ に入ることと、イデアル全体の一定の冪が $I$ に入ることを区別しなければならない。
環準同型による縮約と延長
環準同型 $\varphi:A\to B$ に対して、$B$ のイデアル $L$ の縮約は $\varphi^{-1}(L)$ である。一方、$A$ のイデアル $I$ の延長は $IB=B\varphi(I)$、すなわち $\varphi(I)$ の元の有限和の $B$ 線型結合で生成されるイデアルである。像 $\varphi(I)$ 自身がイデアルとは限らないので、延長では生成する操作を忘れてはならない。
任意の単位的環準同型 $\varphi:A\to B$ とイデアル $L\subset B$、$I\subset A$ に対して
$$
\varphi^{-1}(\sqrt L)=\sqrt{\varphi^{-1}(L)},\qquad (\sqrt I)B\subset\sqrt{IB}
$$
となる。特に根基イデアルの縮約は根基イデアルである。延長については一般に等号とは限らず、根基イデアルの延長も根基イデアルとは限らない。
$a\in A$ が左辺 $\varphi^{-1}(\sqrt L)$ に属することは、ある $n\ge1$ に対して $\varphi(a)^n\in L$ となることと同値である。環準同型は冪を保つので、これは $\varphi(a^n)\in L$、すなわち $a^n\in\varphi^{-1}(L)$ と同値である。したがって第一の等式を得る。
$a\in\sqrt I$ とすれば、ある $n$ に対して $a^n\in I$ である。ゆえに $\varphi(a)^n=\varphi(a^n)\in IB$ となり、$\varphi(a)\in\sqrt{IB}$ である。右辺はイデアルなので、これらの像の $B$ 線型結合をすべて含む。したがって第二の包含が成立する。第一の等式で $L=\sqrt L$ とすれば縮約の根基性が従う。証明では単射性、全射性、平坦性を仮定していない。$\square$
全射の場合には商のイデアルの対応により、根基性を元の環と商環でそのまま比較できる。たとえば $I\subset J$ なら、$J$ が根基イデアルであることと $J/I$ が $A/I$ の根基イデアルであることは同値である。これは $a^n\in J$ という条件を剰余類で読み直しただけであり、$I$ 自身が根基である必要はない。
$k$ を体とし、$A=k[t]$、$B=k[u]$、$\varphi(t)=u^2$ とする。$I=(t)$ は商 $A/I\cong k$ が被約なので根基イデアルである。しかし $IB=(u^2)$ は根基イデアルでない。$u^2\in IB$ である一方、$u\notin IB$ だからである。実際に $\sqrt{IB}=(u)$ となる。
この写像により $B$ は $A$ 上、基底 $1,u$ をもつ自由加群である。任意の多項式は偶数次数の項と奇数次数の項に分けて $f(u^2)+u g(u^2)$ と一意に書ける。したがって延長は忠実平坦でさえある。それでも商 $B/IB$ には非零の冪零元 $\bar u$ が現れる。忠実平坦性によるイデアルの縮約の等号と、延長先の商が被約であることは異なる問題である。
局所化における根基と飽和
局所化は、指定された元を単元にする延長である。この場合には一般の延長より強い等式が成り立つ。ただし局所化した根基を元の環へ縮約した結果が、元の根基そのものとなるとは限らない。
$S\subset A$ を積閉集合とする。$0\in S$ も許す。このとき
$$
\sqrt{S^{-1}I}=S^{-1}\sqrt I.
$$
さらに、$A\to S^{-1}A$ によるこのイデアルの縮約は
$$
\{a\in A\mid sa^n\in I\text{ となる }s\in S,n\ge1\text{ が存在する}\}
$$
であり、一般には $\sqrt I$ より大きい。
$a/s\in S^{-1}\sqrt I$ なら、ある $n$ に対して $a^n\in I$ である。したがって $(a/s)^n\in S^{-1}I$ となるので、$a/s\in\sqrt{S^{-1}I}$ である。
逆に $(a/s)^n\in S^{-1}I$ とする。局所化したイデアルへの所属判定から、ある $t\in S$ に対して $ta^n\in I$ となる。すると $(ta)^n=t^{n-1}(ta^n)\in I$ なので $ta\in\sqrt I$ である。$a/s=ta/(ts)$ だから $a/s\in S^{-1}\sqrt I$ を得る。これで等式を証明した。
最後に $a\in A$ の像 $a/1$ が根基に属することは、ある $n$ について $a^n/1\in S^{-1}I$ となることと同値である。再び所属判定を使うと、ある $s\in S$ について $sa^n\in I$ となる条件を得る。$0\in S$ なら局所化環は零環であり、縮約は $A$ 全体となる。表示された集合でも $s=0$ を選べるので同じ結論となる。$\square$
$I$ が根基イデアルなら、最後の集合は $\{a\mid sa\in I\text{ となる }s\in S\text{ がある}\}$ とも書ける。実際、$sa^n\in I$ なら $(sa)^n\in I$ なので $sa\in I$ であり、逆方向は指数 $1$ でよい。この操作は $S$ に関する飽和である。根基性を保っていても、単元になった元によって消える成分は元の環へ戻らない。
たとえば、$k$ を体として $A=k[t]$、$I=(t(t-1))$、$S=\{1,t,t^2,\ldots\}$ とする。$I$ は二つの異なる素イデアル $(t)$ と $(t-1)$ の共通部分なので根基である。局所化では $t$ が単元となるため、$S^{-1}I=(t-1)S^{-1}A$ となり、その縮約は $(t-1)$ である。点 $t=0$ に対応する成分が局所化によって失われている。この例では根基を取ることと局所化は交換するが、局所化してから縮約することは元のイデアルを回復しない。
局所化を利用した根基性の判定は、すべての極大イデアルで行えば十分である。実際、$a^n\in I$ とすると各極大イデアルで $a/1\in I_{\mathfrak m}$ を得る。もし $a\notin I$ なら、商加群 $A/I$ の非零元 $a+I$ の零化イデアルは真である。それを含む極大イデアル $\mathfrak m$ を選べば、その元は局所化で零にならない。これは得られた所属に反する。したがって $a\in I$ となる。環やイデアルに有限生成性を仮定する必要はない。
同じ零点と異なるイデアル
$V(I)=\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}A\mid I\subset\mathfrak p\}$ と書く。これは Zariski位相 の閉集合である。素イデアルが根基を取る操作を検出することから、$V(I)=V(J)$ と $\sqrt I=\sqrt J$ は同値である。根基イデアルに限れば、閉集合からイデアルを一意に回復できる。一般のイデアルは、一つの閉集合に複数対応する。
たとえば $k[t]$ の $(t)$、$(t^2)$、$(t^3)$ は同じ閉集合を定める。三つの商環では $t$ の剰余類の冪零指数が異なるので、商環は同じではない。根基は点の集合を定める情報を保つが、冪零の厚みを区別しない。この違いを理解すると、零点の条件だけからイデアルの等号を主張する誤りを避けられる。
素イデアルを用いるこの記述は、体の元で与えられる通常の零点とは区別する必要がある。たとえば実数上では $(t^2+1)$ は真の素イデアルであるが、実数の零点はもたない。実零点が空だからイデアルが環全体であるとはいえない。代数的閉体上の有限型代数で零点と根基を対応させる定理は Hilbertの零点定理 であり、本記事の任意環上の素スペクトルの主張とは仮定が異なる。
$k$ を体、$A=k[x,y]$ とする。$I=(y)$ と $J=(y-x^2)$ は、それぞれの商が $k[x]$ と同型なので素イデアルであり、特に根基である。しかし
$$
I+J=(y,x^2),\qquad \sqrt{I+J}=(y,x)
$$
となる。前者の商は $k[x]/(x^2)$ である。$x$ の像は非零だが二乗すると零になるので、前者は根基イデアルでない。後者の商は体 $k$ であり根基である。また後者の元は前者の根基にすべて入り、逆包含も商の冪零元の計算から従う。
この例は二つの曲線 $y=0$ と $y=x^2$ の交点が原点だけであることに対応する。点の集合だけなら $(x,y)$ で表せるが、和の商は二次の接触に由来する冪零元を保持する。根基イデアル全体は共通部分について閉じている一方、和については閉じていない。
有限個の根基イデアルの共通部分は根基である。元の冪がすべてのイデアルに入れば元自身もすべてに入るからであり、この理由は無限個でも変わらない。積については $\sqrt{IJ}=\sqrt I\cap\sqrt J$ となるが、$IJ$ 自身の根基性は別である。たとえば $I=J=(t)$ なら、$IJ=(t^2)$ は根基ではない。根基の演算法則の完全な証明は 冪零根基 の「根基の演算」を参照されたい。
有限性が必要になる二つの場所
元ごとに指数を選ぶ条件と、イデアル全体に共通する指数を選ぶ条件は異なる。同様に、有限個の共通部分と無限個の共通部分を局所化する際にも違いが現れる。どちらも、一度に払うべき条件の数が有限であるかどうかが問題となる。
$k$ を体とし、$A=k[z_1,z_2,\ldots]$、$I=(z_1,z_2^2,z_3^3,\ldots)$、$J=(z_1,z_2,\ldots)$ とする。各 $z_i^i\in I$ なので $J\subset\sqrt I$ である。一方 $A/J\cong k$ は被約だから $\sqrt I\subset J$ であり、$\sqrt I=J$ を得る。
任意の $N\ge1$ について $z_{N+1}^N\in J^N$ だが、この元は $I$ に属さない。他の変数をすべて零にする写像 $A\to k[z_{N+1}]$ を考えると、$I$ の像は $(z_{N+1}^{N+1})$ となる。そのイデアルに $z_{N+1}^N$ は属さないためである。したがってどの $N$ についても $J^N\not\subset I$ となる。
これは 冪零根基 の「有限生成の場合」に現れる商環の例を、元の環での根基包含として読み直したものである。有限生成イデアルの冪判定の有限生成条件を取り除けないことが、同じ計算からわかる。
$A=\mathbb Q[t]$ とし、整数 $n\ge1$ に対して $I_n=(t-n)$ とする。これらは商が $\mathbb Q$ となる極大イデアルである。非零多項式は次数を超える個数の異なる根をもたないので、$\bigcap_{n\ge1}I_n=0$ である。
$S=A\setminus\{0\}$ で局所化すると $S^{-1}A=\mathbb Q(t)$ である。各 $t-n$ が単元となるため $S^{-1}I_n=S^{-1}A$ である。よって
$$
S^{-1}\Bigl(\bigcap_{n\ge1}I_n\Bigr)=0,
\qquad
\bigcap_{n\ge1}S^{-1}I_n=\mathbb Q(t).
$$
ここではすべての $I_n$ が根基であり、共通部分も根基である。それでも局所化との交換は失敗する。有限個の共通部分なら所属条件の分母を積でまとめられるが、無限個ではその積を環の元として作れない。
根基の素イデアルによる表示は、多くの場合無限の共通部分である。したがってその表示を局所化して、共通部分と局所化を無条件に交換する方法は正しくない。根基と局所化の等式を証明するには、本記事の元と指数を用いた証明のように、一つの元の所属に必要な有限の証拠を取り出す必要がある。
計算例と判定の手順
整数環で非零整数 $m$ を $|m|=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ と素因数分解すれば、$\sqrt{(m)}=(p_1\cdots p_r)$ となる。必要方向は $a^n$ が $m$ で割り切れるなら各 $p_i$ が $a$ を割ることから従う。十分方向は各 $p_i$ が $a$ を割る場合、$n\ge\max e_i$ として $m\mid a^n$ を得ることでわかる。$m=\pm1$ では空積を $1$ として根基は環全体である。$m=0$ は別に扱い、整数環が整域なので根基は $(0)$ である。
多項式環での計算は、生成元を一つずつ平方因子なしにするだけでは済まない。たとえば $(y,y-x^2)$ の二つの表示された生成元はそれぞれ素イデアルを生成するが、二つを同時に課すと $(y,x^2)$ となり冪零元が現れる。根基性は生成元の個別の因数分解だけでなく、生成元の間の関係を含むイデアル全体の性質である。
商が明示できる場合には、その被約性を調べる方法が有効である。以下の計算では $k$ を体とする。$k[x,y]/(xy)$ は被約である。実際 $(x)\cap(y)=(xy)$ であり、二つの素イデアルの共通部分だから $(xy)$ は根基である。交叉の等式は、$x$ で割り切れる多項式が同時に $y$ で割り切れるなら $xy$ で割り切れるという単項式の係数比較から従う。しかし $(x^2y)$ は根基でなく、その根基は $(xy)$ である。$xy$ の二乗は $(x^2y)$ に入る一方、$xy$ 自身はそこへ入らない。
根基の候補 $J$ を示すには、二つの異なる仕事をする。まず $I\subset J$ と $J$ の根基性を示せば $\sqrt I\subset J$ が従う。次に $J\subset\sqrt I$ を示す。$J$ が有限生成なら、この後半は各生成元の適切な冪が $I$ に入ることを示せば足りる。さらに一つの冪 $J^N\subset I$ を与えることもできる。この手順は、最初から未知の根基全体を生成する元を探す操作と比べ、提案された候補を検証しやすい。
局所的な計算を用いる場合にも、最終的に何を判定しているかを明確にする。全極大イデアルで根基性を確認すれば元の根基性が従う。しかし、一つの局所化でイデアルが環全体となったことは、その局所化から見える成分がなくなったことしか意味しない。また、すべての極大イデアル $\mathfrak m$ で $a/1\in I_{\mathfrak m}$ となることと、$a$ がすべての極大イデアルに属することは違う。前者は商加群の元 $a+I$ の消滅の判定であり、後者は $a$ が Jacobson 根基に属するという条件である。
| 問題 | 有効な判定 | 注意する条件 |
|---|---|---|
| $I$ が根基か | $A/I$ が被約か | 商の非零冪零元を調べる |
| $J\subset\sqrt I$ か | 有限生成 $J$ の冪が $I$ に入るか | 無限生成では共通指数がない場合がある |
| 根基の局所計算 | $\sqrt{S^{-1}I}=S^{-1}\sqrt I$ | 縮約では飽和が起こる |
| 環を変更した後の根基性 | 延長先の商の被約性 | 忠実平坦性だけでは保存されない |
| 同じ閉集合を定めるか | 根基が等しいか | イデアルや商環自身は異なりうる |
本記事の多くの主張は任意の可換環で成立する。Noether 性を使ったのは、二つのイデアルの根基の一致を冪の相互包含で比較するときと、根基全体に共通する冪を取るときである。この仮定の位置を区別すると、有限生成された個別のイデアルを扱う命題を、無限生成の場合へ誤って移すことを防げる。
関連項目
参考文献
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