普遍要素
概要
普遍要素（universal element）とは、関手 $F\colon\mathcal C\to\mathbf{Set}$ と対象 $A\in\mathcal C$、元 $u\in F(A)$ の組であって、任意の対象 $X$ と任意の元 $x\in F(X)$ に対し $F(f)(u)=x$ を満たす射 $f\colon A\to X$ がただ一つ存在するもののことをいう。$F$ が普遍要素を持つことと、$F$ が表現可能関手であって $(A,u)$ がその普遍元を与えることは同値であり、普遍要素は「関手の元の圏における始対象」として圏論的に統一的に捉えられる。積・テンソル積・自由対象など、数学の様々な構成に現れる普遍性の言明を共通の言葉で記述する、圏論の基礎的な概念である。
前提知識: 圏, 関手, 自然変換, 米田の補題, 表現可能関手
定義
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathbf{Set}$ に対し、対象が組 $(X,x)$（$X\in\mathcal C$、$x\in F(X)$）、射 $(X,x)\to(X',x')$ が $\mathcal C$ の射 $f\colon X\to X'$ であって $F(f)(x)=x'$ を満たすものからなる圏を、$F$ の元の圏（category of elements）と呼び、$\int_{\mathcal C}F$（あるいは単に $\int F$）と書く。
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathbf{Set}$ の普遍要素（universal element）とは、def-category-of-elementsの意味での元の圏 $\int F$ の始対象、すなわち組 $(A,u)$（$A\in\mathcal C$、$u\in F(A)$）であって、任意の $(X,x)\in\int F$ に対し $\int F$ の射 $(A,u)\to(X,x)$ がただ一つ存在するもののことをいう。$\int F$ の射の定義を具体的に書けば、これは：任意の対象 $X$ と任意の元 $x\in F(X)$ に対し、$F(f)(u)=x$ を満たす射 $f\colon A\to X$ が $\mathcal C$ の中にただ一つ存在する、ということに他ならない。
直感
普遍要素は、数学の様々な場面に現れる「普遍性」（universal property）——ある性質を持つ対象の中で最良・最小・最も一般的なもの——を圏論的に定式化したものである。関手 $F$ を「対象 $X$ に付随するある構造の集合」とみなすとき、普遍要素 $(A,u)$ は「あらゆる構造 $x\in F(X)$ が、固定された $u\in F(A)$ からただ一つの射 $f\colon A\to X$ を通じて回収できる」ことを述べる——$u$ は $F$ のすべての元を生成する「雛型」であり、$A$ はその雛型を担う唯一の対象である。def-category-of-elementsの言葉では、これは「元の圏 $\int F$ が始対象を持つ」という、圏の言葉で表現された普遍性の統一的な捉え方である（標準的な参考文献としてMac98を参照）。
性質
(1)⟹(2): (1)を書き下すと、各 $X$、各 $x\in F(X)$ に対し $F(f)(u)=x$ を満たす $f\colon A\to X$ がただ一つ存在するとは、写像 $\eta_X\colon f\mapsto F(f)(u)$ が全射（存在性）かつ単射（一意性）である、すなわち全単射であることに他ならない。$\eta$ の自然性は、任意の $g\colon X\to X'$ に対し $\eta_{X'}(g\circ f)=F(g\circ f)(u)=F(g)(F(f)(u))=F(g)(\eta_X(f))$ となることから直接確かめられる（$F$ が関手であることのみを用いる）。
(2)⟹(1): $\eta$ が各 $X$ で全単射であるとする。任意の $X$、$x\in F(X)$ に対し、$\eta_X$ の全射性より $\eta_X(f)=x$ となる $f\colon A\to X$ が存在し、単射性よりそのような $f$ は一意である。$\eta_X(f)=F(f)(u)$ の定義を代入すれば、これはちょうど「$F(f)(u)=x$ を満たす $f\colon A\to X$ がただ一つ存在する」ことであり、(1)の主張そのものである。$\blacksquare$
関手 $F$ が普遍要素 $(A,u)$、$(A',u')$ を2つ持つならば、一意な同型 $\varphi\colon A\xrightarrow{\cong}A'$ で $F(\varphi)(u)=u'$ を満たすものが存在する。
始対象は（存在すれば）一意な同型を除いて一意である、という圏の一般的な事実を、def-category-of-elementsの元の圏 $\int F$ に適用すればよい。$(A,u)$、$(A',u')$ はともに $\int F$ の始対象であるから、$\int F$ における一意な同型 $(A,u)\xrightarrow{\cong}(A',u')$ が存在する。これは定義により $\mathcal C$ の同型 $\varphi\colon A\to A'$ であって $F(\varphi)(u)=u'$ を満たすものである。$\blacksquare$
thm-universal-element-representabilityは、米田の補題の系として得られる事実の言い換えでもある：米田の補題により自然変換 $\operatorname{Hom}(A,-)\Rightarrow F$ の全体は $F(A)$ の元と一対一に対応し（対応 $\eta\mapsto\eta_A(\operatorname{id}_A)$）、この対応で $\eta$ が自然同型になる（すなわち $F$ が $A$ で表現される）ことと、対応する元 $u:=\eta_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)$ が普遍要素であることが一致する。表現可能関手で導入した「普遍元」という語は、本記事の普遍要素と同じ概念を指す。
例
圏 $\mathcal C$ の対象 $A_1,A_2$ に対し、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上の関手 $F$ を $F(X):=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,A_1)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,A_2)$ で定めるとき、$F$ の普遍要素とは、対象 $P$ と元 $(\pi_1,\pi_2)\in F(P)$ の組であって、任意の対象 $X$ と任意の対 $(f_1,f_2)\in\operatorname{Hom}(X,A_1)\times\operatorname{Hom}(X,A_2)$ に対し $\pi_1\circ h=f_1$、$\pi_2\circ h=f_2$ を満たす $h\colon X\to P$ がただ一つ存在することを意味する。これはちょうど $(P,\pi_1,\pi_2)$ が $A_1,A_2$ の積（product）であることの定義そのものであり、積の普遍性は $F$ の普遍要素という言葉で過不足なく言い換えられる。
