擬微分作用素

同義語：pseudodifferential operator擬微分作用素の理論パラメトリクスparametrix

概要

擬微分作用素（pseudodifferential operator）とは、Fourier 変換を使って $Pu(x)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\xi}p(x,\xi)\widehat u(\xi)\,d\xi$ と書かれる作用素で、表象 $p$ を $\xi$ で微分するごとに増大の階数が 1 ずつ下がるものである。微分作用素、$(1-\Delta)^{s/2}$、楕円型作用素の近似的な逆を含む。Sobolev 空間の間で階数の分だけ滑らかさを変え、合成の主表象は主表象の積になる。楕円型の微分作用素では、表象の逆から始めて補正を重ねると誤差がいくらでも滑らかなパラメトリクスが得られ、コンパクト多様体上の Fredholm 性と Hodge の定理の土台になる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 楕円型作用素, Fourier変換, 緩増加超関数とFourier変換, 楕円正則性

擬微分作用素（pseudodifferential operator）とは、Fourier 変換を使って
$$ Pu(x)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{ix\cdot\xi}\,p(x,\xi)\,\widehat u(\xi)\,d\xi $$
の形に書かれる作用素で、関数 $p(x,\xi)$（表象）が $\xi$ について「$m$ 次の多項式のようにふるまう」ものである。$p$ が $\xi$ の多項式なら $P$ は微分作用素であり、擬微分作用素は微分作用素を含み、さらに $(1-\Delta)^{s/2}$ のような分数階の作用素や、楕円型の微分作用素の「近似的な逆」を含む作用素のクラスである。
微分作用素の逆は微分作用素でない。たとえば $1-\Delta$ の逆は積分作用素で、その表象は $(1+|\xi|^2)^{-1}$ である。変数係数の楕円型作用素 $P$ についても、表象の逆 $1/p(x,\xi)$ を表象とする作用素は $P$ の逆を「滑らかさの階数を 1 つ上げる誤差」を除いて与え、補正を重ねると誤差はいくらでも滑らかにできる。この近似的な逆をパラメトリクスという。パラメトリクスは楕円正則性、楕円型作用素の Fredholm 性、Hodge の定理（Hodgeの定理）の解析的な土台であり、指数定理の出発点でもある。
この記事では $\mathbb R^n$ 上で表象のクラスを定め、Sobolev 空間の間の有界性、合成で主表象が積になること、一様に楕円型の微分作用素のパラメトリクスの構成を完全に証明する。多様体上への拡張と、無限に滑らかにする誤差までのパラメトリクスは、主張と文献の所在を述べる。

記号

$x,\xi\in\mathbb R^n$、$x\cdot\xi=\sum_jx_j\xi_j$、$\langle\xi\rangle:=(1+|\xi|^2)^{1/2}$ と書く。多重指数 $\alpha$ について $\partial^\alpha=\partial_x^\alpha$ とし、
$$ D_j:=-i\frac{\partial}{\partial x_j},\qquad D^\alpha:=D_1^{\alpha_1}\cdots D_n^{\alpha_n} $$
とおく。Fourier 変換は 楕円正則性 の記事と同じ正規化
$$ \widehat u(\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{-ix\cdot\xi}u(x)\,dx $$
をとる。急減少関数の空間を $\mathcal S=\mathcal S(\mathbb R^n)$ と書く。$u\in\mathcal S$ なら $\widehat{D^\alpha u}(\xi)=\xi^\alpha\widehat u(\xi)$ で、反転公式 $u(x)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\xi}\widehat u(\xi)\,d\xi$ が成り立つ（Fourier変換 の定理「Fourier反転公式」）。$D$ を使うのは、$\partial$ で書くと $\widehat{\partial^\alpha u}=(i\xi)^\alpha\widehat u$ となり $i$ の冪が表象に入るのを避けるためである。
実数 $s$ に対し、Sobolev ノルムを
$$ \|u\|_s^2:=\int_{\mathbb R^n}\langle\xi\rangle^{2s}|\widehat u(\xi)|^2\,d\xi $$
とし、Sobolev 空間 $H^s=H^s(\mathbb R^n)$ を 楕円正則性 の定義「Sobolev 空間 $H^s(\mathbb R^n)$」のとおりに定める。$\mathcal S$ は $H^s$ で稠密である。

表象と擬微分作用素

表象のクラス

$m$ を実数とする。$C^\infty$ 級の関数 $p\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb C$ で、すべての多重指数 $\alpha$、$\beta$ に対して定数 $C_{\alpha\beta}$ があり
$$ |\partial_x^\beta\partial_\xi^\alpha p(x,\xi)|\le C_{\alpha\beta}\,\langle\xi\rangle^{m-|\alpha|}\qquad(x,\xi\in\mathbb R^n) $$
をみたすものを $m$ 階の表象といい、その全体を $S^m$ と書く。$S^{-\infty}:=\bigcap_mS^m$ とおく。さらに、あるコンパクト集合 $K\subset\mathbb R^n$ について $x\notin K$ なら $p(x,\xi)=0$ となる $p\in S^m$ の全体を $S^m_{\mathrm c}$ と書く（$x$ についてコンパクトな台をもつ表象）。

$\xi$ で微分するたびに増大の階数が $1$ 下がることが、多項式に似たふるまいの要点である。$m\le m'$ なら $S^m\subset S^{m'}$ である。

擬微分作用素

$p\in S^m$ と $u\in\mathcal S$ に対し
$$ \operatorname{Op}(p)u(x):=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{ix\cdot\xi}\,p(x,\xi)\,\widehat u(\xi)\,d\xi $$
と定める。$\operatorname{Op}(p)$ を表象 $p$ の $m$ 階の擬微分作用素という。$p$ を $S^m/S^{m-1}$ で考えた類を $\operatorname{Op}(p)$ の主表象という。

$\widehat u$ は急減少で、$|\partial_x^\beta(e^{ix\cdot\xi}p(x,\xi))|\le C\langle\xi\rangle^{|m|+|\beta|}$ なので、積分の下で何回でも $x$ で微分でき、$\operatorname{Op}(p)u$ は $C^\infty$ 級である（Wel08 Ch. IV Lemma 3.3、p. 122）。$p\in S^m_{\mathrm c}$ なら $\operatorname{Op}(p)u$ は $K$ の外で $0$ なので、$\operatorname{Op}(p)u\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\subset\mathcal S$ である。定義から $\operatorname{Op}(p)+\operatorname{Op}(q)=\operatorname{Op}(p+q)$ で、反転公式により $\operatorname{Op}(1)$ は恒等作用素である。導関数がすべて有界な $C^\infty$ 級の $x$ だけの関数 $\phi$ を掛ける作用素は $\operatorname{Op}(\phi)$（$\phi\in S^0$）で、$\phi\operatorname{Op}(p)=\operatorname{Op}(\phi p)$ である。
主表象は、$p$ が $\xi$ について $m$ 次斉次な関数 $p_m(x,\xi)$ に近い場合、すなわち $0$ の近くで $0$、$|\xi|\ge1$ で $1$ になる $C^\infty$ 級関数 $\chi$ について $p-\chi(\xi)p_m\in S^{m-1}$ となる場合には、$p_m$ と同一視される。これは Wel08 Ch. IV Definition 3.1（p. 120）の $\sigma_m(p)$ である。

例
  1. 微分作用素．$b_\alpha$ を $C^\infty$ 級で、すべての導関数が有界な関数とし、$P=\sum_{|\alpha|\le m}b_\alpha(x)D^\alpha$ とおく。表象 $p(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\le m}b_\alpha(x)\xi^\alpha$ は $S^m$ に属し、$\widehat{D^\alpha u}=\xi^\alpha\widehat u$ と反転公式により $\operatorname{Op}(p)=P$ である。主表象は $p_m(x,\xi)=\sum_{|\alpha|=m}b_\alpha(x)\xi^\alpha$ である。
  2. Bessel ポテンシャル．実数 $s$ について $\langle\xi\rangle^s\in S^s$ である（下の lem-psido-bessel）。$\Lambda^s:=\operatorname{Op}(\langle\xi\rangle^s)$ は $\widehat{\Lambda^su}=\langle\xi\rangle^s\widehat u$ で与えられ、$\|\Lambda^su\|_t=\|u\|_{s+t}$ である。$s=2$ なら $\Lambda^2=1-\Delta$（$\Delta=\sum_j\partial_j^2$）で、$\Lambda^{-2}$ はその逆である。
  3. 無限に滑らかにする作用素．$K(x,y)$ が $C^\infty$ 級で、$x$ と $y$ の両方についてコンパクトな台をもつとき、積分作用素 $u\mapsto\int K(x,y)u(y)\,dy$ は表象 $p(x,\xi)=e^{-ix\cdot\xi}\int e^{iy\cdot\xi}K(x,y)\,dy\in S^{-\infty}$ の擬微分作用素である（$y$ についての部分積分で $\xi$ の任意の冪の減衰が出る。Wel08 Ch. IV、pp. 120–121、Definition 3.1 の後の例、Gil84 Lemma 1.2.4、p. 18）。
    1 と 楕円型作用素 の主表象の関係を注意しておく。同記事は $P=\sum a_\alpha\partial^\alpha$ の主表象を $\sigma_P(x,\xi)=\sum_{|\alpha|=m}a_\alpha\xi^\alpha$ と定める（$i$ を付けない流儀）。$\partial^\alpha=i^{|\alpha|}D^\alpha$ なので $b_\alpha=i^{|\alpha|}a_\alpha$ で、
    $$ p_m(x,\xi)=i^m\sigma_P(x,\xi) $$
    である。定数倍 $i^m$ の違いなので、どちらの主表象が可逆かという楕円性の条件は同じである。
Bessel ポテンシャルの表象

実数 $s$ と多重指数 $\alpha$ について、$|\partial_\xi^\alpha\langle\xi\rangle^s|\le C_{\alpha,s}\langle\xi\rangle^{s-|\alpha|}$ が成り立つ。とくに $\langle\xi\rangle^s\in S^s$ である。

要点：$\partial_\xi^\alpha\langle\xi\rangle^s$ が「次数の低い多項式 × $\langle\xi\rangle$ の冪」の和であることを帰納法で示す。

証明を開く

$|\alpha|$ についての帰納法で、$\partial_\xi^\alpha\langle\xi\rangle^s$ が有限和 $\sum_kP_{\alpha,k}(\xi)\langle\xi\rangle^{s-2k}$ で、各 $P_{\alpha,k}$ は次数 $2k-|\alpha|$ 以下の多項式（$2k-|\alpha|< 0$ なら $0$）であることを示す。$\alpha=0$ では $P_{0,0}=1$ である。$\partial_{\xi_j}\langle\xi\rangle^{s-2k}=(s-2k)\xi_j\langle\xi\rangle^{s-2k-2}$ なので、$P\langle\xi\rangle^{s-2k}$ を $\xi_j$ で微分すると $(\partial_{\xi_j}P)\langle\xi\rangle^{s-2k}+(s-2k)\xi_jP\langle\xi\rangle^{s-2(k+1)}$ で、前者の多項式の次数は $2k-|\alpha|-1$ 以下、後者は $2(k+1)-(|\alpha|+1)$ 以下である。これで帰納法が進む。$|P_{\alpha,k}(\xi)|\le C\langle\xi\rangle^{2k-|\alpha|}$ なので、各項は $C\langle\xi\rangle^{s-|\alpha|}$ 以下である。$\square$

表象の計算と Sobolev 空間での有界性

2 つの初等的な評価

Peetre の不等式

実数 $s$ と $\xi,\eta\in\mathbb R^n$ について
$$ \langle\xi+\eta\rangle^s\le2^{|s|/2}\langle\xi\rangle^s\langle\eta\rangle^{|s|} $$
が成り立つ。

$|\xi+\eta|^2\le2|\xi|^2+2|\eta|^2$ なので $1+|\xi+\eta|^2\le2(1+|\xi|^2)(1+|\eta|^2)$、すなわち $\langle\xi+\eta\rangle\le\sqrt2\langle\xi\rangle\langle\eta\rangle$ である。$s\ge0$ ならこれを $s$ 乗すればよい。$s< 0$ なら、同じ不等式を $\xi+\eta$ と $-\eta$ に当てて $\langle\xi\rangle\le\sqrt2\langle\xi+\eta\rangle\langle\eta\rangle$ を得て、$-s>0$ 乗して $\langle\xi+\eta\rangle^{s}\le2^{-s/2}\langle\xi\rangle^{s}\langle\eta\rangle^{-s}$ となる。$\square$

この不等式は Gil84 Lemma 1.1.8（p. 10）にある（$1+|\xi|$ を使う形）。$\xi$ をずらしても表象の大きさの階数が保たれることを、ずらし幅 $\eta$ の冪の損失で表している。

表象の計算規則

$p\in S^m$、$q\in S^{m'}$ とする。

  1. $pq\in S^{m+m'}$、$\partial_\xi^\alpha p\in S^{m-|\alpha|}$、$\partial_x^\beta p\in S^m$ である。
  2. $\chi\in C^\infty(\mathbb R^n)$ が $\xi$ の関数で、$1-\chi$ がコンパクトな台をもち、$\chi$ のすべての導関数が有界なら、$\chi p\in S^m$ かつ $(1-\chi)p\in S^{-\infty}$ である。
  3. （差の評価）$x,\xi,\eta\in\mathbb R^n$ について $|p(x,\xi+\eta)-p(x,\xi)|\le C\,|\eta|\,\langle\xi\rangle^{m-1}\langle\eta\rangle^{|m-1|}$ が成り立つ。$C$ は $p$ と $m$ で決まる。

要点：1・2 は Leibniz の公式、3 は平均値の定理と Peetre の不等式による。

証明を開く

1：Leibniz の公式で $\partial_x^\beta\partial_\xi^\alpha(pq)$ は $\partial_x^{\beta_1}\partial_\xi^{\alpha_1}p\cdot\partial_x^{\beta_2}\partial_\xi^{\alpha_2}q$（$\alpha_1+\alpha_2=\alpha$、$\beta_1+\beta_2=\beta$）の定数倍の和で、各項は $C\langle\xi\rangle^{m-|\alpha_1|}\langle\xi\rangle^{m'-|\alpha_2|}=C\langle\xi\rangle^{m+m'-|\alpha|}$ 以下である。$\partial_\xi^\alpha p$ の $\partial_x^\beta\partial_\xi^{\gamma}$ は $\partial_x^\beta\partial_\xi^{\alpha+\gamma}p$ で $C\langle\xi\rangle^{(m-|\alpha|)-|\gamma|}$ 以下である。$\partial_x^\beta p$ も同様である。

2：$\chi$ は $\xi$ だけの関数で、$\partial_\xi^\gamma\chi$（$\gamma\ne0$）はコンパクトな台をもつので $\chi\in S^0$ であり、1 から $\chi p\in S^m$ である。$(1-\chi)p$ の導関数は $|\xi|\le R$ の外で $0$ で、その中では有界なので、任意の $N$ について $C_N\langle\xi\rangle^{-N}$ 以下である。

3：平均値の定理により $p(x,\xi+\eta)-p(x,\xi)=\int_0^1\eta\cdot\nabla_\xi p(x,\xi+t\eta)\,dt$ である。$|\nabla_\xi p(x,\xi+t\eta)|\le C\langle\xi+t\eta\rangle^{m-1}$ に lem-psido-peetre を当て、$\langle t\eta\rangle\le\langle\eta\rangle$ を使うと $\le C2^{|m-1|/2}\langle\xi\rangle^{m-1}\langle\eta\rangle^{|m-1|}$ となる。$\square$

Sobolev 空間での有界性

$x$ についてコンパクトな台をもつ表象 $q\in S^{m}_{\mathrm c}$ に対し、$x$ についての Fourier 変換を
$$ \widehat q(\eta,\xi):=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{-ix\cdot\eta}q(x,\xi)\,dx $$
と書く。$\eta^\gamma\widehat q(\eta,\xi)$ は $D_x^\gamma q$ の $x$ についての Fourier 変換で（部分積分。$q$ は $x$ についてコンパクトな台をもつ）、$|D_x^\gamma\partial_\xi^\alpha q|\le C\langle\xi\rangle^{m-|\alpha|}$ を台 $K$ の上で積分すると、すべての $N$ と $\alpha$ について
$$ |\partial_\xi^\alpha\widehat q(\eta,\xi)|\le C_{N,\alpha}\,\langle\eta\rangle^{-N}\langle\xi\rangle^{m-|\alpha|}\qquad(1) $$
が成り立つ。

擬微分作用素の Fourier 変換

$q\in S^{m}_{\mathrm c}$、$u\in\mathcal S$ について
$$ \widehat{\operatorname{Op}(q)u}(\eta)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}\widehat q(\eta-\zeta,\zeta)\,\widehat u(\zeta)\,d\zeta $$
である。

要点：定義を代入して Fubini の定理で積分の順序を替える。

証明を開く

$\operatorname{Op}(q)u\in C_c^\infty$ の Fourier 変換は $$(2\pi)^{-n}\int\!\!\int e^{-ix\cdot\eta}e^{ix\cdot\zeta}q(x,\zeta)\widehat u(\zeta)\,d\zeta\,dx$$ である。$x$ は $q$ の台 $K$ を動き、$|q(x,\zeta)\widehat u(\zeta)|\le C\langle\zeta\rangle^{m}|\widehat u(\zeta)|$ は $K\times\mathbb R^n$ で可積分なので、積分の順序を交換でき、$x$ についての積分が $(2\pi)^{n/2}\widehat q(\eta-\zeta,\zeta)$ を与える。$\square$

Sobolev 空間での有界性

$p\in S^m_{\mathrm c}$ とする。すべての実数 $s$ について定数 $C$ があり
$$ \|\operatorname{Op}(p)u\|_s\le C\,\|u\|_{s+m}\qquad(u\in\mathcal S) $$
が成り立つ。したがって $\operatorname{Op}(p)$ は $H^{s+m}$ から $H^s$ への有界作用素に一意に延びる。とくに $p\in S^{-\infty}_{\mathrm c}$（$=\bigcap_mS^m_{\mathrm c}$）なら、$\operatorname{Op}(p)$ は任意の $H^t$ を任意の $H^s$ に写す。

要点：lem-psido-fourier により $\widehat{\operatorname{Op}(p)u}$ は $\widehat u$ と急減少な核の「畳み込み」であり、Peetre の不等式で重みを移して Young の不等式を使う。

証明を開く

(1) で $N=2k$ とし、lem-psido-peetre の $\langle\eta\rangle^s\le2^{|s|/2}\langle\zeta\rangle^s\langle\eta-\zeta\rangle^{|s|}$ を使うと $$\langle\eta\rangle^s|\widehat{\operatorname{Op}(p)u}(\eta)|\le C\int\langle\eta-\zeta\rangle^{|s|-2k}\,\langle\zeta\rangle^{s+m}|\widehat u(\zeta)|\,d\zeta=C\,(g*f)(\eta)$$ である。ここで $g(\eta):=\langle\eta\rangle^{|s|-2k}$、$f(\zeta):=\langle\zeta\rangle^{s+m}|\widehat u(\zeta)|$ で、$2k-|s|>n$ にとれば $g\in L^1$ である。$\|f\|_{L^2}=\|u\|_{s+m}$ である。Cauchy–Schwarz の不等式により $(g*f)(\eta)^2\le\|g\|_{L^1}\int g(\eta-\zeta)f(\zeta)^2d\zeta$ で、$\eta$ で積分すると $\|g*f\|_{L^2}\le\|g\|_{L^1}\|f\|_{L^2}$（Young の不等式）を得る。よって $\|\operatorname{Op}(p)u\|_s\le C\|g\|_{L^1}\|u\|_{s+m}$ である。$\mathcal S$ は $H^{s+m}$ で稠密なので、連続な延長は一意である。最後の主張は、$p\in S^{-\infty}_{\mathrm c}$ がすべての $m$ について $S^m_{\mathrm c}$ に入ることと $\|\cdot\|_t\le\|\cdot\|_{t'}$（$t\le t'$）による。$\square$

定理は Wel08 Ch. IV Theorem 3.4（pp. 123–124）、Gil84 Lemma 1.2.1（p. 12）にある。この記事でも Gil84（p. 12）と同じく、Sobolev 空間での評価は $x$ についてコンパクトな台をもつ表象に限って扱う。

合成と主表象

微分作用素どうしの合成は微分作用素で、主表象は積になる（楕円型作用素 の命題「主表象の乗法性」）。同じことが擬微分作用素でも成り立つ。まず左側が微分作用素の場合は、合成の表象が有限和で正確に書ける。

合成の表象
  1. $P=\sum_{|\alpha|\le m}b_\alpha(x)D^\alpha$ を、すべての導関数が有界な $C^\infty$ 級の係数をもつ微分作用素とし、その表象を $p$ とする。$q\in S^{m'}$ について
    $$ P\circ\operatorname{Op}(q)=\operatorname{Op}(r),\qquad r=\sum_{|\gamma|\le m}\frac1{\gamma!}\,\partial_\xi^\gamma p\cdot D_x^\gamma q $$
    であり、$r\in S^{m+m'}$、$r-pq\in S^{m+m'-1}$ である。
  2. $p\in S^m$、$q\in S^{m'}_{\mathrm c}$ とする。
    $$ r(x,\xi):=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{ix\cdot\eta}\,p(x,\xi+\eta)\,\widehat q(\eta,\xi)\,d\eta $$
    とおくと、$\operatorname{Op}(p)\circ\operatorname{Op}(q)=\operatorname{Op}(r)$（$\mathcal S$ の上で）であり、$r\in S^{m+m'}$、$r-pq\in S^{m+m'-1}$ である。
    とくにどちらの場合も、合成 $\operatorname{Op}(p)\circ\operatorname{Op}(q)$ は $m+m'$ 階の擬微分作用素で、その主表象は主表象の積 $pq$ の類である。
合成の表象の証明

1．多重指数 $\alpha$ と $C^\infty$ 級の関数 $f$ について、Leibniz の公式から
$$ D^\alpha\bigl(e^{ix\cdot\xi}f(x)\bigr)=e^{ix\cdot\xi}(\xi+D)^\alpha f=e^{ix\cdot\xi}\sum_{\gamma\le\alpha}\binom\alpha\gamma\xi^{\alpha-\gamma}D^\gamma f $$
である（$D_j(e^{ix\cdot\xi}f)=e^{ix\cdot\xi}(\xi_j+D_j)f$ を繰り返す）。$\partial_\xi^\gamma\xi^\alpha=\frac{\alpha!}{(\alpha-\gamma)!}\xi^{\alpha-\gamma}$ なので $\binom\alpha\gamma\xi^{\alpha-\gamma}=\frac1{\gamma!}\partial_\xi^\gamma\xi^\alpha$ であり、$b_\alpha$ を掛けて $\alpha$ について和をとると
$$ P_x\bigl(e^{ix\cdot\xi}q(x,\xi)\bigr)=e^{ix\cdot\xi}\sum_{|\gamma|\le m}\frac1{\gamma!}\partial_\xi^\gamma p(x,\xi)\,D_x^\gamma q(x,\xi)=e^{ix\cdot\xi}r(x,\xi) $$
を得る。$\operatorname{Op}(q)u$ は積分の下で微分できるので（節「表象と擬微分作用素」）、$P\operatorname{Op}(q)u=(2\pi)^{-n/2}\int P_x(e^{ix\cdot\xi}q)\,\widehat u\,d\xi=\operatorname{Op}(r)u$ である。lem-psido-calculus の 1 により $\partial_\xi^\gamma p\in S^{m-|\gamma|}$、$D_x^\gamma q\in S^{m'}$ なので、$\gamma$ の項は $S^{m+m'-|\gamma|}$ に属する。$\gamma=0$ の項が $pq$ で、残りは $S^{m+m'-1}$ に属する。
2．合成の式．$u\in\mathcal S$ とする。$\operatorname{Op}(q)u\in C_c^\infty\subset\mathcal S$ なので、lem-psido-fourier を代入して
$$ \operatorname{Op}(p)\operatorname{Op}(q)u(x)=(2\pi)^{-n}\int\!\!\int e^{ix\cdot\xi}\,p(x,\xi)\,\widehat q(\xi-\zeta,\zeta)\,\widehat u(\zeta)\,d\zeta\,d\xi $$
である。lem-psido-peetre により $|p(x,\xi)|\le C\langle\xi\rangle^m\le C'\langle\zeta\rangle^m\langle\xi-\zeta\rangle^{|m|}$ で、(1) により $|\widehat q(\xi-\zeta,\zeta)|\le C_N\langle\xi-\zeta\rangle^{-N}\langle\zeta\rangle^{m'}$ である。$N>n+|m|$ にとり、$\widehat u$ が急減少であることを使うと、被積分関数は $(\xi,\zeta)$ について可積分である。そこで $\xi=\zeta+\eta$ と変数を変え、Fubini の定理で $\eta$ の積分を先に行うと
$$ \operatorname{Op}(p)\operatorname{Op}(q)u(x)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\zeta}\,r(x,\zeta)\,\widehat u(\zeta)\,d\zeta $$
となる。
2．差の評価．各 $\xi$ で $q(\cdot,\xi)\in C_c^\infty$ なので、反転公式により $(2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\eta}\widehat q(\eta,\xi)\,d\eta=q(x,\xi)$ である。したがって
$$ r(x,\xi)-p(x,\xi)q(x,\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\eta}\bigl(p(x,\xi+\eta)-p(x,\xi)\bigr)\,\widehat q(\eta,\xi)\,d\eta $$
である。$\partial_x^\beta\partial_\xi^\alpha$ を積分の下で施すと、Leibniz の公式により、$\beta_1+\beta_2=\beta$、$\alpha_1+\alpha_2=\alpha$ について
$$ \int e^{ix\cdot\eta}(i\eta)^{\beta_1}\bigl(a(x,\xi+\eta)-a(x,\xi)\bigr)\,\partial_\xi^{\alpha_2}\widehat q(\eta,\xi)\,d\eta,\qquad a:=\partial_x^{\beta_2}\partial_\xi^{\alpha_1}p $$
の定数倍の和になる。lem-psido-calculus の 1 により $a\in S^{m-|\alpha_1|}$ で、同補題の 3 により $|a(x,\xi+\eta)-a(x,\xi)|\le C|\eta|\langle\xi\rangle^{m-|\alpha_1|-1}\langle\eta\rangle^{M}$（$M:=|m-|\alpha_1|-1|$）である。(1) により $|\eta^{\beta_1}\partial_\xi^{\alpha_2}\widehat q(\eta,\xi)|\le C_N\langle\eta\rangle^{-N}\langle\xi\rangle^{m'-|\alpha_2|}$ である。$N$ を十分大きくとると、$\eta$ について可積分な関数 $\langle\eta\rangle^{1+M-N}$ で押さえられ、各項は
$$ C\langle\xi\rangle^{m-|\alpha_1|-1}\langle\xi\rangle^{m'-|\alpha_2|}=C\langle\xi\rangle^{m+m'-1-|\alpha|} $$
以下である。同じ可積分な上界が $x,\xi$ について局所一様に成り立つので、積分の下での微分は正当である。よって $r-pq\in S^{m+m'-1}$ であり、$pq\in S^{m+m'}$ と合わせて $r\in S^{m+m'}$ である。$\square$

2 の証明は Gil84 Lemma 1.2.2（pp. 15–16）・Lemma 1.2.3（pp. 17–18）の議論を、主表象の水準に限って書いたものである。さらに Taylor 展開を高い次数まで進めると、漸近展開
$$ r\sim\sum_\gamma\frac1{\gamma!}\,\partial_\xi^\gamma p\cdot D_x^\gamma q $$
（右辺の $\gamma$ についての部分和との差が、いくらでも低い階数の表象になること）が得られる（Gil84 Lemma 1.2.3 (b)、p. 17。この記事では証明しない）。1 はこの展開が有限で切れる場合である。主表象が積になることは Wel08 Ch. IV Theorem 3.17 (a)（p. 134）にもある。
主表象が積になることから、$p\in S^m_{\mathrm c}$、$q\in S^{m'}_{\mathrm c}$ について、交換子 $[\operatorname{Op}(p),\operatorname{Op}(q)]$ は $m+m'-1$ 階の擬微分作用素である（2 を両方の順序に当て、スカラーの表象では $pq=qp$ であることを使う）。とくに $\phi\in C_c^\infty$ を掛ける作用素 $\operatorname{Op}(\phi)$ と $p\in S^m$ の交換子は $m-1$ 階であり、これが楕円正則性の局所化の議論で繰り返し使われる。

楕円型作用素のパラメトリクス

楕円型の表象

楕円型の表象とパラメトリクス
  1. $p\in S^m$ が（一様に）楕円型であるとは、定数 $R\ge1$、$c>0$ があって、$|\xi|\ge R$ のとき $|p(x,\xi)|\ge c\langle\xi\rangle^m$（$x\in\mathbb R^n$）となることをいう。
  2. $m$ 階の作用素 $P$ に対し、$-m$ 階の擬微分作用素 $Q$ で、$PQ-I$ と $QP-I$ がともに負の階数の擬微分作用素になるものを $P$ のパラメトリクスという。$PQ-I$ だけ（$QP-I$ だけ）についてそうなるものを右（左）パラメトリクスという。

2 の「負の階数」を「$-1$ 階」にとる流儀（Wel08 Ch. IV Definition 4.3、p. 136）と、「$S^{-\infty}$ の表象の作用素」、すなわち無限に滑らかにする作用素にとる流儀（Gil84 Lemma 1.3.1、p. 23）がある。コンパクトな多様体の上では前者で Fredholm 性が導かれ、正則性の議論では後者が便利である。以下で作る右パラメトリクス $\operatorname{Op}(q^{(N)})$ は誤差を $-N$ 階にするもので、$N$ を大きくとればどちらの目的にも足りる。
微分作用素 $P=\sum_{|\alpha|\le m}b_\alpha D^\alpha$ の表象 $p$ について、主表象 $p_m$ が $|p_m(x,\xi)|\ge c_0|\xi|^m$（$x,\xi\in\mathbb R^n$）をみたすなら、$p$ は 1 の意味で楕円型である。実際、$|p(x,\xi)-p_m(x,\xi)|\le C\langle\xi\rangle^{m-1}$ なので、$|\xi|$ が大きいところで $|p|\ge\frac{c_0}2|\xi|^m\ge c\langle\xi\rangle^m$ となる（楕円正則性 の補題「表象の逆の評価」と同じ議論）。これは $\sigma_P$ が $\xi\ne0$ で $0$ にならない（楕円型作用素 の意味で楕円型である）ことを、$x$ について一様にした条件である。
以下、$C^\infty$ 級の関数 $\chi\colon\mathbb R^n\to[0,1]$ を、$|\xi|\le R$ で $\chi(\xi)=0$、$|\xi|\ge2R$ で $\chi(\xi)=1$ となるように 1 つ固定する。

表象の逆

$p\in S^m$ が楕円型なら、$\chi\ne0$ の所で $q_0:=\chi(\xi)/p(x,\xi)$、$\chi=0$ の所で $q_0:=0$ と定めた関数は $S^{-m}$ に属し、$pq_0=\chi$ である。

要点：$1/p$ の導関数は「$p$ の導関数の積 $/p^{k+1}$」の和で、分子と分母の階数を数えればよい。

証明を開く

$|\xi|>R$ の開集合で $1/p$ は $C^\infty$ 級で、$\chi/p$ は $|\xi|< 2R$ の外で $1/p$ に等しく、$|\xi|\le R$ の近くで $0$ なので $C^\infty$ 級である。$(x,\xi)$ についての多重指数 $\mu=(\beta,\alpha)$ について、$\partial^\mu(1/p)$ は $\partial^{\mu_1}p\cdots\partial^{\mu_k}p/p^{k+1}$（$1\le k\le|\mu|$、$\mu_1+\cdots+\mu_k=\mu$、各 $\mu_i\ne0$）の定数倍の和である（$\partial(1/p^{k+1})=-(k+1)\partial p/p^{k+2}$ による帰納法）。$\mu_i=(\beta_i,\alpha_i)$ とすると $|\partial^{\mu_i}p|\le C\langle\xi\rangle^{m-|\alpha_i|}$、$|p|^{-(k+1)}\le c^{-k-1}\langle\xi\rangle^{-(k+1)m}$ なので、各項は $C\langle\xi\rangle^{km-|\alpha|-(k+1)m}=C\langle\xi\rangle^{-m-|\alpha|}$ 以下である。$|\xi|\le2R$ では $\chi/p$ の導関数は有界で、$\chi$ の導関数も有界なので、Leibniz の公式から $q_0\in S^{-m}$ を得る。$pq_0=\chi$ は定義から明らかである。$\square$

パラメトリクスの構成

楕円型の微分作用素のパラメトリクス

$P=\sum_{|\alpha|\le m}b_\alpha(x)D^\alpha$ を、すべての導関数が有界な $C^\infty$ 級の係数をもつ微分作用素とし、その表象 $p$ は楕円型であるとする。$q_0$ を lem-psido-inverse のものとする。このとき各 $N\ge1$ について、表象 $q^{(N)}\in S^{-m}$ と $r_N\in S^{-N}$ で
$$ P\circ\operatorname{Op}(q^{(N)})=I-\operatorname{Op}(r_N),\qquad q^{(N)}-q_0\in S^{-m-1} $$
をみたすものがある。さらに $\phi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について、$\phi\operatorname{Op}(q^{(N)})$ は $H^s$ から $H^{s+m}$ への、$\phi\operatorname{Op}(r_N)$ は $H^s$ から $H^{s+N}$ への有界作用素に延びる（$s$ は任意の実数）。

パラメトリクスの構成

$q^{(0)}:=0$、$r_0:=1\in S^0$ とおくと $P\operatorname{Op}(q^{(0)})=0=I-\operatorname{Op}(r_0)$ である。$k\ge0$ について、$q^{(k)}\in S^{-m}$、$r_k\in S^{-k}$ で $P\operatorname{Op}(q^{(k)})=I-\operatorname{Op}(r_k)$ となるものが得られたとして、
$$ q^{(k+1)}:=q^{(k)}+q_0r_k $$
とおく。lem-psido-calculus の 1 により $q_0r_k\in S^{-m-k}\subset S^{-m}$ である。thm-psido-composition の 1 を $q_0r_k$ に当てると
$$ P\operatorname{Op}(q_0r_k)=\operatorname{Op}\bigl(pq_0r_k\bigr)+\operatorname{Op}(t_k),\qquad t_k:=\sum_{1\le|\gamma|\le m}\frac1{\gamma!}\partial_\xi^\gamma p\cdot D_x^\gamma(q_0r_k) $$
であり、各項は $S^{m-|\gamma|}\cdot S^{-m-k}\subset S^{-k-1}$ に属するので $t_k\in S^{-k-1}$ である。lem-psido-inverse により $pq_0r_k=\chi r_k$ なので
$$ P\operatorname{Op}(q^{(k+1)})=I-\operatorname{Op}(r_k)+\operatorname{Op}(\chi r_k)+\operatorname{Op}(t_k)=I-\operatorname{Op}(r_{k+1}),\qquad r_{k+1}:=(1-\chi)r_k-t_k $$
となる。lem-psido-calculus の 2 により $(1-\chi)r_k\in S^{-\infty}$ なので $r_{k+1}\in S^{-k-1}$ である。帰納法により、すべての $N$ について $q^{(N)}$ と $r_N$ が得られる。$q^{(1)}=q_0$ で、$k\ge1$ の補正項 $q_0r_k$ は $S^{-m-1}$ に属するので $q^{(N)}-q_0\in S^{-m-1}$ である。
最後の主張：$\phi\operatorname{Op}(q^{(N)})=\operatorname{Op}(\phi q^{(N)})$ で $\phi q^{(N)}\in S^{-m}_{\mathrm c}$、$\phi\operatorname{Op}(r_N)=\operatorname{Op}(\phi r_N)$ で $\phi r_N\in S^{-N}_{\mathrm c}$ なので、thm-psido-sobolev による。$\square$

構成の中身は、「表象の逆 $q_0$ で近似的に解き、その誤差 $r_k$ をさらに $q_0$ で補正する」という Neumann 級数である。誤差は 1 回の補正ごとに 1 階ずつ滑らかになり、それは thm-psido-composition で $r-pq$ の階数が 1 下がることから来ている。$f$ に対して $u:=\operatorname{Op}(q^{(N)})f$ とおくと $Pu=f-\operatorname{Op}(r_N)f$ であり、方程式 $Pu=f$ が「$N$ 階だけ滑らかな誤差を除いて」解けたことになる。
無限に滑らかな誤差まで．表象 $q_0r_0,q_0r_1,\dots$ は階数が $-m,-m-1,\dots$ と下がるので、それらの「漸近和」$q\sim\sum_kq_0r_k$（差 $q-\sum_{k< K}q_0r_k$ が $S^{-m-K}$ に入る表象）が存在し、$P\operatorname{Op}(q)-I$ の表象は $S^{-\infty}$ に属する（Gil84 Lemma 1.2.8、p. 20 と Lemma 1.3.1 (a)、p. 23。この記事では証明しない）。同じ構成で左パラメトリクスも作れ、両者は $S^{-\infty}$ の差を除いて一致する。左パラメトリクス $Q$ があると、$u=QPu+(I-QP)u$ から、$Pu$ が滑らかな所で $u$ も滑らかであること（楕円正則性、楕円正則性 の定理「滑らかな係数の楕円型作用素の内部正則性」）が従う（Gil84 Lemma 1.3.1 (b)）。

例

Laplace 作用素と変数係数の作用素
  1. $P=1-\Delta=1+\sum_jD_j^2$ の表象は $\langle\xi\rangle^2$ で、$\operatorname{Op}(\langle\xi\rangle^{-2})$ は $P$ の厳密な逆である。$n=1$ では $\operatorname{Op}(\langle\xi\rangle^{-2})u(x)=\frac12\int e^{-|x-y|}u(y)\,dy$ で、$G(x)=\frac12e^{-|x|}$ は $(1-\frac{d^2}{dx^2})G=\delta$ をみたす基本解である。
  2. $P=-\Delta$ の表象は $|\xi|^2$ で、$q_0=\chi(\xi)|\xi|^{-2}$ である。係数が定数なので thm-psido-composition の 1 で $\gamma\ne0$ の項は $D_x^\gamma q_0=0$ で消え、$P\operatorname{Op}(q_0)=\operatorname{Op}(\chi)=I-\operatorname{Op}(1-\chi)$ である。誤差 $1-\chi$ ははじめから $S^{-\infty}$ に属し、1 回で無限に滑らかな誤差のパラメトリクスが得られる。これは 楕円正則性 の定義「定数係数の楕円型作用素のパラメトリクス」と同じものである。
  3. $a$ を $C^\infty$ 級で導関数がすべて有界、$a\ge c>0$ とし、$P=-a(x)\Delta$ とする。表象は $p=a(x)|\xi|^2$、$q_0=\chi(\xi)/(a(x)|\xi|^2)$ で、thm-psido-parametrix の証明の $t_0$ は $a$ が定数でなければ $0$ でない $-1$ 階の表象である。係数が変わることの効果が、補正の必要な理由である。
    計算を開く

    $\partial_{\xi_j}p=2a\xi_j$、$\partial_{\xi_j}^2p=2a$ で、それ以外の $\partial_\xi^\gamma p$（$|\gamma|\ge1$）は $0$ なので $t_0=\sum_j2a\xi_j\,D_{x_j}q_0+\sum_ja\,D_{x_j}^2q_0$ である。$D_{x_j}q_0=\chi(\xi)|\xi|^{-2}D_{x_j}(1/a)$ なので、第 1 項は $2\chi(\xi)|\xi|^{-2}\sum_ja\,\xi_jD_{x_j}(1/a)$ で、$a$ が定数でなければ $0$ でない $-1$ 階の表象である。第 2 項は $-2$ 階である。

多様体上の擬微分作用素

$X$ を $C^\infty$ 級の多様体、$E$、$F$ をベクトル束とする。線形写像 $L\colon C_c^\infty(X,E)\to C^\infty(X,F)$ が $m$ 階の擬微分作用素であるとは、座標近傍と $E$、$F$ の自明化をとるごとに、相対コンパクトな開集合に台をもつ切断への作用が、$S^m$ の表象を成分とする行列の擬微分作用素として書けることをいう（Wel08 Ch. IV Definition 3.6・3.7（p. 124）、Definition 3.12（p. 131））。この記事では証明しないが、次が成り立つ。

  • 座標変換で保たれる．$\mathbb R^n$ の開集合の微分同相で擬微分作用素を引き戻すと同じ階数の擬微分作用素になり、主表象は余接ベクトルの変換にしたがって変わる（Wel08 Ch. IV Theorem 3.9、p. 126）。したがって主表象は余接束から $0$ 切断を除いた $T^*X\setminus0$ の上の、$\operatorname{Hom}(E,F)$ に値をとる $m$ 次斉次の関数として定まる（同 Proposition 3.14・3.15、p. 132）。
  • 表象の完全列．$m$ 階の擬微分作用素の空間から $m$ 次の表象の空間への主表象の写像は全射で、核は $X$ がコンパクトなら $m-1$ 階の作用素からなる（同 Theorem 3.16、p. 132）。
  • 合成と随伴．$X$ がコンパクトなら、合成は階数の和の擬微分作用素で主表象は積になり、形式的随伴の主表象は主表象の随伴である（同 Theorem 3.17、p. 134）。
  • パラメトリクスと Fredholm 性．$X$ がコンパクトで $L$ が楕円型なら、主表象の逆を主表象にもつ擬微分作用素 $\tilde L$ をとると $L\tilde L-I$、$\tilde LL-I$ は $-1$ 階になり（同 Theorem 4.4、p. 136）、$-1$ 階の作用素は Rellich の定理（Rellichの定理）によりコンパクトなので（同 Proposition 4.5、p. 137）、$L$ は各 Sobolev 空間の間の Fredholm 作用素（Fredholm作用素）になる（同 Theorem 4.7、p. 139）。
    最後の結果を Laplace–de Rham 作用素（Laplace–de Rham作用素）に当てると、調和形式の空間が有限次元であることと、Hodge の直交分解が得られる。これが Wel08 Ch. IV の Hodge の定理の証明の筋であり、Hodgeの定理 の解析的な部分にあたる。

反例と注意

外す条件反例成り立たなくなること
表象が $\xi$ の多項式であること$n=1$、$\operatorname{Op}(\langle\xi\rangle^{-2})$台を広げないこと $\operatorname{supp}Pu\subset\operatorname{supp}u$
楕円性$\mathbb R^2$ 上の $D_1$、$u=\lvert x_2\rvert$左パラメトリクスの存在（$Pu$ が滑らかなら $u$ も滑らか）
楕円性の一様性（各点で主表象が可逆）$\mathbb R$ 上の $xD$、$u=$ Heaviside 関数$x=0$ の近くでの左パラメトリクスの存在
空間のコンパクト性$\mathbb R^n$ 上の $\operatorname{Op}(\langle\xi\rangle^{-1})\colon L^2\to L^2$$-1$ 階の作用素がコンパクトであること
右の表象 $q$ が $x$ によらないこと$n=1$、$p=\xi$、$q=\phi(x)$$\operatorname{Op}(p)\operatorname{Op}(q)=\operatorname{Op}(pq)$

1 行目は、擬微分作用素が微分作用素と違って台を広げうることを示す（台が離れた所への作用は無限に滑らかにする作用素になる。擬局所性、Gil84 Lemma 1.2.6・1.2.7、pp. 19–20）。2・3 行目は、楕円性を 1 方向・1 点でも外すとパラメトリクスが作れないことを示す。4 行目は、Fredholm 性の議論にコンパクト性が要ることを示す。5 行目は、thm-psido-composition の $r-pq$ が一般に $0$ でなく、それが 1 階低いというのが定理の主張であることを示す。

反例の確認

各行は直接の計算で確かめられる。

各行の確認を開く

1 行目：$u\ge0$ を $[0,1]$ に台をもつ $0$ でない $C_c^\infty$ 級関数とすると、ex-psido-laplace の 1 により $\operatorname{Op}(\langle\xi\rangle^{-2})u(x)=\frac12\int_0^1e^{-|x-y|}u(y)\,dy$ はすべての $x$ で正であり、台は $\mathbb R$ 全体である。

2 行目：$D_1$ の表象 $\xi_1$ は $\xi=(0,1)$ で $0$ になるので楕円型でない。$u(x)=|x_2|$ は $D_1u=0$ をみたし、右辺は滑らかだが $u$ は $x_2=0$ で滑らかでない。$I-QP$ が無限に滑らかにする作用素になる $Q$ があれば、$u=QPu+(I-QP)u$ と擬局所性から $u$ は滑らかになるはずなので、そのような $Q$ はない。破る含意は「$Pu$ が滑らかなら $u$ も滑らか」である。

3 行目：$xD=-ix\frac d{dx}$ の表象 $x\xi$ は $x\ne0$ では楕円型だが、$x=0$ で $0$ になる。Heaviside 関数 $H$ について $H'=\delta$ なので $xDH=-ix\delta=0$ で、右辺は滑らかだが $H$ は $0$ で滑らかでない。2 行目と同じ理由で $0$ の近くの左パラメトリクスはない。

4 行目：$v\in C_c^\infty$ を $0$ でない関数、$v_k(x):=v(x-ke_1)$ とすると $\|v_k\|_{L^2}=\|v\|_{L^2}$ で、$T:=\operatorname{Op}(\langle\xi\rangle^{-1})$ は平行移動と可換なので $Tv_k=(Tv)(\cdot-ke_1)$ である。$0\ne Tv\in L^2$ なので $|k-l|\to\infty$ のとき $\langle Tv_k,Tv_l\rangle_{L^2}\to0$、$\|Tv_k-Tv_l\|_{L^2}^2\to2\|Tv\|_{L^2}^2>0$ で、$(Tv_k)$ のどの部分列も Cauchy 列にならない。よって $T$ はコンパクトでない（Rellichの定理 の反例「全空間では平行移動で逃げる」と同じ現象）。

5 行目：$q=q(\xi)$ なら $\widehat{\operatorname{Op}(q)u}=q\widehat u$ なので $\operatorname{Op}(p)\operatorname{Op}(q)=\operatorname{Op}(pq)$ が正確に成り立つ。$p=\xi$（$P=D$）、$q=\phi(x)$（$\phi\in C_c^\infty(\mathbb R)$）とすると、$D(\phi u)=\phi Du+(D\phi)u$ なので合成の表象は $\phi\xi+D\phi$ で、$pq=\phi\xi$ とは $0$ 階の項 $D\phi$ だけ違う。

関連項目

参考文献

[1]
Raymond O. Wells, Jr., Differential Analysis on Complex Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 65, Springer, 2008, Ch. IV §3: Definition 3.1（p. 120）、pp. 120–121 の例、Lemma 3.3（p. 122）、Theorem 3.4（pp. 123–124）、Definition 3.6・3.7（p. 124）、Theorem 3.9（p. 126）、Definition 3.12（p. 131）、Proposition 3.14・3.15 と Theorem 3.16（p. 132）、Theorem 3.17（p. 134）；§4: Definition 4.3 と Theorem 4.4（p. 136）、Proposition 4.5（p. 137）、Theorem 4.7（p. 139）

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する

Mathpediaを支援する
擬微分作用素