角谷の定理(内積空間)

1：$\|g_j\|=1$ で $E^*$ は有限次元なので、ノルム空間 の系「有限次元ノルム空間の性質」の 3 により $(g_j)$ は収束する部分列をもつ。その極限を $g$ とすると、各 $y$ で $g(y)=\lim g_j(y)\le\|y\|$ であり、$|g_j(x)-g_j(x_j)|\le\|x-x_j\|$ から $g(x)=\lim g_j(x_j)=1$ である。$x$ が滑らかなら、収束する部分列の極限はどれも $f_x$ である。$(g_j)$ が $f_x$ に収束しないとすると、$\|g_j-f_x\|\ge\delta>0$ となる項からなる部分列がとれ、その部分列の収束する部分列の極限は $f_x$ と異なるので矛盾する。

2：$k$ が小さいとき $p+k\ne0$ である。$(p+k)/\|p+k\|$ での支持汎関数 $g_k$ を 1 つとると、$g_k(p+k)=\|p+k\|$、$g_k(p)\le\|p\|=1$ なので $\|p+k\|-1\le g_k(k)$ である。一方 $\|p+k\|\ge f_p(p+k)=1+f_p(k)$ である。合わせて $$0\le\|p+k\|-1-f_p(k)\le(g_k-f_p)(k)\le\|g_k-f_p\|\,\|k\|$$ である。$k\to0$ のとき $(p+k)/\|p+k\|\to p$ なので、1 により $\|g_k-f_p\|\to0$ となる。

3：$E$ の基底を 1 つ選び、その座標による Euclid の内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ と長さ $|\cdot|$ を入れる。開単位球を $U=\{x:\|x\|<1\}$ とする。$p\in S$ と $0<\varepsilon<1$ をとり、$q=(1-\varepsilon)p$ とおくと $q\in U$ である。$U$ は開集合なので、$q$ から閉集合 $E\setminus U$ への Euclid の距離 $\rho$ は正であり、ある $p'\in E\setminus U$ で $|p'-q|=\rho$ と達成される（$E\setminus U$ と、$q$ を中心とする半径 $|p-q|$ の閉球との共通部分は、$p$ を含む空でないコンパクト集合である）。$p\notin U$ なので $\rho\le|p-q|=\varepsilon|p|$ である。$q$ を中心とする半径 $\rho$ の開球は $U$ に含まれるので、その閉包 $D$ は $U$ の閉包、すなわち閉単位球に含まれる（$\|x\|=1$ なら $(1-1/n)x\in U$ は $x$ に収束する）。よって $p'\in D$ から $\|p'\|\le1$ で、$p'\notin U$ から $\|p'\|=1$ である。$f$ を $p'$ での支持汎関数とし、$f(y)=\langle a,y\rangle$（$a\ne0$）と書く。$D\subset\{f\le1\}$ で $f(p')=1$ なので、$p'$ は $D$ 上での $f$ の最大点である。Cauchy–Schwarz の不等式（等号の条件を含む）により、$D$ 上の $\langle a,y\rangle$ の最大値は $\langle a,q\rangle+\rho|a|$ で、それを達成する点は $q+\rho a/|a|$ だけである。よって $a$ は $p'-q$ の正の定数倍で、その定数は $f(p')=1$ で決まる。すなわち $p'$ での支持汎関数はただ 1 つで、$p'$ は滑らかな点である。$|p'-p|\le|p'-q|+|q-p|\le2\varepsilon|p|$ なので、$\varepsilon\to0$ とすればよい。$\square$

段 0（記法）。$B$、$U$、$S$ を $W$ の閉単位球・開単位球・単位球面とする。$W$ の基底を 1 つ選び、座標による Euclid の内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ と長さ $|\cdot|$ を入れ、$W^*$ も双対基底の座標で $\mathbb R^3$ と同一視する。線形写像の収束は行列の成分ごとの収束とする。ノルム空間 の定理「有限次元ではすべてのノルムが同値」により、定数 $0< c\le C$ で $c|x|\le\|x\|\le C|x|$ となるものがある。以下「平面」「直線」は原点を通る 2 次元・1 次元の部分空間を指す。平面は $0$ でない $\xi\in W^*$ により $X=\ker\xi$ と書け、$\xi$ は $0$ でない定数倍を除いて決まる。平面の列 $X_j=\ker\xi_j$ が $X=\ker\xi$ に収束するとは、代表を選び直して $\xi_j\to\xi$ とできることとし、直線の列 $\mathbb Rv_j$ が $\mathbb Rv$ に収束することも同様に定める。代表を長さ $1$ に選べば、平面の列・直線の列はどれも収束する部分列をもつ。仮定により、各平面 $X$ にはノルム 1 の射影 $P$ がある。その核は直線で、$W=X\oplus\ker P$ である。$|Px|\le\|Px\|/c\le\|x\|/c\le(C/c)|x|$ なので、ノルム 1 の射影の行列の成分は $X$ によらない定数で抑えられる。

極限についての注意。平面 $X_j=\ker\xi_j$ が $X=\ker\xi$ に収束し（$\xi_j\to\xi$）、$P_j$ が $X_j$ へのノルム 1 の射影で、$P_j\to P$ とする。このとき $P$ は $X$ へのノルム 1 の射影である。実際、$\xi(Px)=\lim\xi_j(P_jx)=0$ から $P(W)\subset X$ で、$\|Px\|=\lim\|P_jx\|\le\|x\|$ である。$y\in X$ とし、$\xi(e)\ne0$ となる $e$ を 1 つとる。$j$ が大きいと $\xi_j(e)\ne0$ で、$y_j=y-\frac{\xi_j(y)}{\xi_j(e)}e$ は $X_j$ に属し、$\xi_j(y)\to\xi(y)=0$ から $y_j\to y$ である。$P_jy_j=y_j$ と $|P_j(y-y_j)|\le(C/c)|y-y_j|$ から $P_jy\to y$、すなわち $Py=y$ である。

段 1（核の一意性）。平面 $X$ へのノルム 1 の射影の核はただ 1 つであることを示す。$P_1$、$P_2$ を $X$ へのノルム 1 の射影とし、核 $L_1$、$L_2$ が異なるとして矛盾を導く。$L_i\not\subset X$ なので $S'=L_1+L_2$ は $X$ と異なる平面で、$l_0=S'\cap X$ は直線である。$z\in l_0$、$\|z\|=1$ をとる。$W$ のノルムを $X$ に制限したノルム空間に lem-kak-smooth の 3 を使い、$X$ の単位球面の滑らかな点 $p$ で $\|p-z\|<1$ となるものをとる。$X$ での $p$ の支持汎関数を $g\in X^*$ とすると、$g(z)\ge g(p)-\|p-z\|>0$ である。$g_i=g\circ P_i\in W^*$ とおくと、$g_i(y)\le\|P_iy\|\le\|y\|$、$g_i(p)=g(p)=1$ なので $g_i$ は $W$ での $p$ の支持汎関数であり、$g_i|_X=g$、$g_i(L_i)=0$ である。$g_1=g_2$ とすると $\ker g_1\supset L_1+L_2=S'$ で、次元を比べて $\ker g_1=S'$ となり、$\ker g=\ker g_1\cap X=l_0\ni z$ となって $g(z)>0$ に反する。よって $g_1\ne g_2$ である。

次に、$p$ を含み $X$ と異なる平面 $X'$ と、$X'$ へのノルム 1 の射影 $P'$ をとり、$L'=\ker P'$ が $X$ に含まれることを示す。$L'\not\subset X$ とすると $X\cap L'=0$ なので、$P'|_X\colon X\to X'$ は単射で、次元が等しいので全単射である。$k\in(X')^*$ を $X'$ での $p$ の支持汎関数とすると、$x\in X$ について $k(P'x)\le\|P'x\|\le\|x\|$、$k(P'p)=k(p)=1$ なので、$k\circ P'|_X$ は $X$ での $p$ の支持汎関数であり、$g$ に等しい。よって $k=g\circ(P'|_X)^{-1}$ と決まり、$X'$ での $p$ の支持汎関数はただ 1 つである。ところが $g_1|_{X'}$、$g_2|_{X'}$ はどちらも $X'$ での $p$ の支持汎関数なので等しく、$g_1-g_2$ は $X'$ の上でも $X$ の上でも $0$ になる。$X+X'=W$ なので $g_1=g_2$ となり、前段に反する。よって $L'\subset X$ である。

最後に、$X=\mathbb Rp+\mathbb Ra$ と書き、$b\notin X$ をとって $X'_j=\mathbb Rp+\mathbb R(a+b/j)$ とおく。$X'_j$ は $p$ を含み $X$ と異なる平面なので、$X'_j$ へのノルム 1 の射影 $P_j$ の核は $X$ に含まれる。核を張る $v_j\in X$ を $|v_j|=1$ にとる。部分列に移って $P_j\to P$、$v_j\to v$ としてよく、$v\in X$、$|v|=1$ である。$P_jp=p$ から $Pp=p$ である。$P_j(a+b/j)=a+b/j$ と $|P_jb|/j\le(C/c)|b|/j\to0$ から $P_ja\to a$、すなわち $Pa=a$ である。よって $P$ は $X$ 上で恒等である。一方 $|Pv-P_jv_j|\le|(P-P_j)v|+(C/c)|v-v_j|\to0$ と $P_jv_j=0$ から $Pv=0$ となり、$Pv=v\ne0$ に反する。以上で核の一意性が示された。以下、平面 $X$ へのノルム 1 の射影の核を $L_X$ と書き、写像 $\varphi\colon X\mapsto L_X$ を考える。

段 2（$\varphi$ の連続性）。平面 $X_j$ が $X$ に収束するとき $L_{X_j}\to L_X$ であることを示す。$L_{X_j}$、$L_X$ を張る長さ $1$ のベクトル $v_j$、$v$ をとる。$L_{X_j}\to L_X$ でないとすると、ある $\delta>0$ と部分列で $|v_j-v|\ge\delta$ かつ $|v_j+v|\ge\delta$ となる。さらに部分列に移って、$X_j$ へのノルム 1 の射影 $P_j$ が $P$ に、$v_j$ が $v'$ に収束するとしてよい。極限についての注意により $P$ は $X$ へのノルム 1 の射影で、$Pv'=\lim P_jv_j=0$ である。段 1 により $\ker P=L_X$ なので $v'=\pm v$ となり、矛盾する。

段 3（$\varphi$ の単射性）。異なる平面 $X_0$、$X_1$ で $L_{X_0}=L_{X_1}=L_0$ となるとして矛盾を導く。$P_0$、$P_1$ を $L_0$ に沿った $X_0$、$X_1$ へのノルム 1 の射影とし、$K_0=B\cap X_0$ とする。$K_0$ の端点、すなわち $K_0$ の異なる 2 点 $a,b$ と $0< s<1$ で $(1-s)a+sb$ と書けない $K_0$ の点で、$X_1$ に含まれないものをとる。$X_0\cap X_1$ は直線なので、$X_0$ 上の線形汎関数 $\lambda\ne0$ で $\ker\lambda=X_0\cap X_1$ となるものがある。コンパクト集合 $K_0$ 上の $\lambda$ の最大値を $M$ とすると、$K_0$ は $X_0$ の中で $0$ の近傍を含むので $M>0$ である。最大点の集合 $F$ は直線 $\{\lambda=M\}$ の上の空でないコンパクト凸集合、すなわち線分（1 点でもよい）であり、その端の点 $p$ をとる。$p=(1-s)a+sb$（$a,b\in K_0$、$0< s<1$）なら、$\lambda(a),\lambda(b)\le M$ でその重み付き平均が $M$ だから $a,b\in F$ で、$p$ は $F$ の端の点なので $a=b=p$ である。よって $p$ は端点で、$\lambda(p)=M>0$ から $p\notin X_1$ である。

$q=P_1p$ とおく。$\|q\|\le\|p\|\le1$、$q\in X_1$ なので $q\ne p$ で、$P_1(q-p)=0$ から $q-p$ は $L_0$ を張る。$r=(p+q)/2$ とおく。まず、平面 $X$ が直線 $p+L_0$ とちょうど 1 点 $r$ で交わるなら $L_X=L_0$ であることを示す。このとき $X\cap L_0=0$ である（$L_0\subset X$ なら $r\in X$ から $p+L_0=r+L_0\subset X$ となる）。$P$ を $X$ へのノルム 1 の射影とし、$L_X\ne L_0$ とすると、$P(q-p)\ne0$ なので $Pp\ne Pq$ である。$r\in X$ から $r=Pr=(Pp+Pq)/2$ で、$r-p\in L_0$、$p\in X_0$ から $P_0r=p$ である。よって $p=(P_0Pp+P_0Pq)/2$ である。$P_0Pp$、$P_0Pq$ はノルムが $1$ 以下で $X_0$ に属するので $K_0$ の点であり、$P_0|_X$ は単射（$X\cap L_0=0$）なので互いに異なる。これは $p$ が端点であることに反する。よって $L_X=L_0$ である。

$p\in X_0$ と $X_0\cap L_0=0$ から $p\notin L_0$ なので、$X^*=\mathbb Rp+L_0$ は平面である。$X^*=\ker\xi$ と書く。$r$ と $q-p$ は線形独立である（$r\in L_0$ なら $p=r-(q-p)/2\in L_0$ となる）。$\eta\in W^*$ を $\eta(r)=0$、$\eta(q-p)=1$ となるようにとり、$X_j=\ker(\xi+\eta/j)$ とおく。$\xi(p)=\xi(q-p)=0$、$\eta(p)=\eta(r)-\eta(q-p)/2=-1/2$ なので、$(\xi+\eta/j)(p+t(q-p))=(t-1/2)/j$ であり、$X_j$ は直線 $p+L_0$ とちょうど 1 点 $r$ で交わる。前段により $L_{X_j}=L_0$ である。$X_j\to X^*$ なので段 2 により $L_{X^*}=L_0$ となるが、$L_0\subset X^*$ であり、$X^*$ への射影の核は $X^*$ と $0$ でしか交わらないので矛盾する。

段 4（同じ直線を含む平面の像）。直線 $\ell$ を含む平面たちの $\varphi$ による像が、ある 1 つの平面に含まれることを示す。まず $\ell$ が滑らかな点 $p$ を含む場合、$\ell$ を含む平面 $X$ は $p$ を含むので、考え方で述べたとおり $L_X\subset\ker f_p$ である。一般の $\ell$ では、$p\in\ell\cap S$ をとり、lem-kak-smooth の 3 により滑らかな点の列 $p_j\to p$ をとる。$\ell$ を含む 3 つの平面 $X_i=\mathbb Rp+\mathbb Ra_i$（$i=1,2,3$、$a_i\notin\ell$）をとる。$j$ が大きいと $p_j$ と $a_i$ は線形独立で、$X_{i,j}=\mathbb Rp_j+\mathbb Ra_i$ は $X_i$ に収束する（法線ベクトル $p_j\times a_i$ が $p\times a_i\ne0$ に収束する。$\times$ は座標によるベクトル積）。段 2 により、$L_{X_{i,j}}$ を張るベクトル $v_{i,j}$ を、$L_{X_i}$ を張るベクトル $v_i$ に収束するように選べる。$v_{1,j},v_{2,j},v_{3,j}$ はどれも平面 $\ker f_{p_j}$ に含まれるので $\det(v_{1,j},v_{2,j},v_{3,j})=0$ で、極限で $\det(v_1,v_2,v_3)=0$ となる。$\ell$ を含む異なる 2 平面 $X_1$、$X_2$ を固定すると、段 3 により $L_{X_1}\ne L_{X_2}$ で、$Y=L_{X_1}+L_{X_2}$ は平面である。$\ell$ を含む任意の平面 $X_3$ について、$\det(v_1,v_2,v_3)=0$ から $v_3\in Y$ である。この $Y$ を $\psi(\ell)$ と書く。

段 5（射影幾何の基本定理の適用）。平面 $\ker\xi$ を $\mathbb P(W^*)$ の点 $[\xi]$ と、直線 $\mathbb Rv$ を $\mathbb P(W)$ の点 $[v]$ と同一視し（射影幾何学 の節「双対原理」）、$\varphi$ を写像 $\bar\varphi\colon\mathbb P(W^*)\to\mathbb P(W)$ とみる。$\mathbb P(W^*)$ の直線は 2 次元部分空間 $N\subset W^*$ による $\mathbb P(N)$ であり、$\ell=\bigcap_{\xi\in N}\ker\xi$ は直線で、$\mathbb P(N)$ の点は $\ell$ を含む平面にほかならない。$\mathbb P(W)$ の直線は平面 $Y$ による $\mathbb P(Y)$ である。段 4 により $\bar\varphi(\mathbb P(N))\subset\mathbb P(\psi(\ell))$ である。$\bar\varphi$ は段 3 により単射で、段 2 により連続である。

(i) $\bar\varphi(\mathbb P(N))=\mathbb P(Y)$（$Y=\psi(\ell)$）を示す。$N=\mathbb Ra+\mathbb Rb$ とすると、$\theta\mapsto[\cos\theta\,a+\sin\theta\,b]$ は $[0,\pi]$ から $\mathbb P(N)$ の上への連続写像で、$[0,\pi)$ で単射であり、$\theta=0$ と $\theta=\pi$ で同じ点を与える。$\mathbb P(Y)$ のある点 $[d]$ が像に入らないとし、$Y=\mathbb Re+\mathbb Rd$ とする。$[d]$ 以外の $\mathbb P(Y)$ の点は $[e+td]$（$t\in\mathbb R$）とただ一通りに書けるので、$\bar\varphi([\cos\theta\,a+\sin\theta\,b])=[e+G(\theta)d]$ により関数 $G\colon[0,\pi]\to\mathbb R$ が定まる。$[e+t_jd]\to[e+td]$ なら、$\lambda_j(e+t_jd)\to e+td$ となる数 $\lambda_j$ について $e$ の係数から $\lambda_j\to1$、よって $t_j\to t$ なので、$G$ は連続である。$G(0)=G(\pi)$ で、$G$ は $[0,\pi)$ で単射である。$0<\theta_1<\pi$ をとると $G(\theta_1)\ne G(0)$ であり、$G(0)$ と $G(\theta_1)$ の間の値 $\gamma$ について、中間値の定理 により $(0,\theta_1)$ と $(\theta_1,\pi)$ のそれぞれに $G=\gamma$ となる点があり、単射性に反する。

(ii) $\bar\varphi$ は全射である。像がある直線 $\mathbb P(Y)$ に含まれるとすると、(i) によりどの直線 $\mathbb P(N)$ の像も $\mathbb P(Y)$ 全体になる（$\mathbb P(Y')\subset\mathbb P(Y)$ なら $Y'\subset Y$ で、次元から $Y'=Y$）。$\mathbb P(N)$ に含まれない点の像も $\mathbb P(Y)=\bar\varphi(\mathbb P(N))$ に入り、単射性に反する。よって一直線上にない 3 点 $a'=\bar\varphi(a)$、$b'=\bar\varphi(b)$、$c'=\bar\varphi(c)$ がある。$a,b,c$ も一直線上にない（一直線上なら像も一直線上にある）。$y'\ne a'$ を $\mathbb P(W)$ の点とする。$a'$ は直線 $b'c'$ にないので、直線 $a'y'$ と直線 $b'c'$ は異なり、1 点 $z'$ で交わる（$W$ の異なる 2 平面の共通部分は直線である）。(i) により直線 $bc$ の像は直線 $b'c'$ なので、$z'=\bar\varphi(z)$ となる $z$ が直線 $bc$ の上にある。$z'\ne a'$ なので $z\ne a$ で、(i) により直線 $az$ の像は $a'$ と $z'$ を通る直線、すなわち直線 $a'y'$ であり、$y'$ を含む。

(iii) 以上により $\bar\varphi$ は全単射で、どの直線の像も直線である。線形同型 $\beta\colon\mathbb R^3\to W^*$、$\gamma\colon\mathbb R^3\to W$ をとると、$\bar\gamma^{-1}\circ\bar\varphi\circ\bar\beta$ は $\mathbb P^2(\mathbb R)$ の全単射で直線を直線に写すので、射影幾何学 の定理「射影幾何の基本定理（実数体）」により射影変換 $\bar A_0$ である。$A=\gamma A_0\beta^{-1}\colon W^*\to W$ は線形同型で、$\bar\varphi([\xi])=[A\xi]$、すなわちすべての平面 $\ker\xi$ について $L_{\ker\xi}=\mathbb RA\xi$ である。

段 6（支持汎関数の線形性）。$x\in W$ について $(Fx)(w)=(A^{-1}w)(x)$（$w\in W$）とおくと、$F\colon W\to W^*$ は線形で、すべての $\xi\in W^*$ について $(Fx)(A\xi)=\xi(x)$ である。$Fx=0$ ならすべての $\xi$ で $\xi(x)=0$ なので $x=0$ であり、$F$ は線形同型である。滑らかな点 $p$ をとる。$\xi(p)=0$ となる $\xi\ne0$ について、平面 $\ker\xi$ は $p$ を含むので、段 4 の最初の場合により $A\xi\in L_{\ker\xi}\subset\ker f_p$、すなわち $f_p(A\xi)=0$ である。$\xi_0(p)=1$ となる $\xi_0$ を 1 つとり、$c_p=f_p(A\xi_0)$ とおく。任意の $\xi$ について $\xi-\xi(p)\xi_0$ は $p$ で $0$ になるので、$f_p(A\xi)=c_p\,\xi(p)=c_p(Fp)(A\xi)$ である。$A$ は全射なので $f_p=c_pFp$ であり、$f_p(p)=1$ から $(Fp)(p)\ne0$ で $$f_p=\frac{Fp}{(Fp)(p)}$$ となる。次に、任意の $p\in S$ について $(Fp)(p)\ne0$ で、$\alpha_p=Fp/(Fp)(p)$ が $p$ での支持汎関数であることを示す。lem-kak-smooth の 3 により滑らかな点の列 $p_j\to p$ をとる。$(Fp_j)(p_j)\,f_{p_j}=Fp_j$ で $\|f_{p_j}\|=1$ である。$(Fp)(p)=0$ なら左辺は $0$ に、右辺は $Fp\ne0$ に収束するので矛盾する。よって $(Fp)(p)\ne0$ で、$f_{p_j}\to\alpha_p$ となり、lem-kak-smooth の 1 により $\alpha_p$ は $p$ での支持汎関数である。

段 7（切り口は楕円）。平面 $X$ を 1 つとり、$\|\cdot\|$ を $X$ に制限したものを $N$、$G\colon X\to X^*$ を $Gx=(Fx)|_X$ とする。$x\in X\setminus\{0\}$ なら $p=x/N(x)$ について $(Gp)(p)=(Fp)(p)\ne0$ なので $(Gx)(x)\ne0$ であり、とくに $G$ は単射、よって線形同型である。$z\in X\setminus\{0\}$ について $$h(z)=\frac{N(z)}{(Gz)(z)}\,Gz\in X^*$$ とおく。$p=z/N(z)$ とすると $\alpha_p=N(z)Fz/(Fz)(z)$ なので $h(z)=\alpha_p|_X$ であり、すべての $y\in X$ で $h(z)(y)\le N(y)$、$h(z)(z)=N(z)$ である。$h$ は $X\setminus\{0\}$ で連続である。$z\ne0$、$z+k\ne0$ について $N(z+k)\ge h(z)(z+k)=N(z)+h(z)(k)$ と $N(z)\ge h(z+k)(z)=N(z+k)-h(z+k)(k)$ から $$0\le N(z+k)-N(z)-h(z)(k)\le\bigl(h(z+k)-h(z)\bigr)(k)$$ で、右辺は $o(|k|)$ である。よって $N$ は $X\setminus\{0\}$ で微分可能で、微分は $h(z)$ である。

$X$ の基底による座標の行列式を $\omega(x,y)$ と書く。$\omega$ は交代的で、$u\mapsto\omega(u,\cdot)$ は $X$ から $X^*$ への線形同型である。そこで線形同型 $V\colon X\to X$ を $\omega(Vx,y)=(Gx)(y)$（$x,y\in X$）で定めると、$(Gx)(Vx)=\omega(Vx,Vx)=0$ なので、$z\ne0$ で $h(z)(Vz)=0$ である。$X$ の座標で $V$ を行列とみて、$z\ne0$ について $\gamma(t)=e^{tV}z$ とおく（行列の指数関数）。$e^{tV}$ は正則なので $\gamma(t)\ne0$ で、同記事の定理「指数関数の微分と $x'=Ax$ の解」により $\gamma'(t)=V\gamma(t)$ である。連鎖律から $\frac d{dt}N(\gamma(t))=h(\gamma(t))(V\gamma(t))=0$ なので、すべての $t$ で $N(e^{tV}z)=N(z)$ である。

$V$ は実の固有値をもたない。実際、$Vv=\lambda v$（$v\ne0$、$\lambda\in\mathbb R$）なら、同記事の命題「相似・転置・固有ベクトル」により $e^{tV}v=e^{\lambda t}v$ で、$N(v)=N(e^{tV}v)=e^{\lambda t}N(v)$ がすべての $t$ で成り立つので $\lambda=0$ となり、$V$ が単射であることに反する。$\tau=\operatorname{tr}V$、$\delta=\det V$ とおくと、特性多項式 $x^2-\tau x+\delta$ が実根をもたないので $\beta=\sqrt{\delta-\tau^2/4}>0$ であり、Cayley–Hamilton の等式 $V^2-\tau V+\delta I=0$ から、$V'=V-\frac\tau2I$ は $V'^2=-\beta^2I$ を満たす。$p\in X$、$N(p)=1$ をとる。$p$ と $V'p$ は線形独立である（$V'p=\mu p$ なら $\mu^2=-\beta^2$ となる）。線形同型 $M\colon\mathbb R^2\to X$ を $M(s,u)=sp+uV'p/\beta$ で定めると、$V'M(s,u)=sV'p-u\beta p=M(-\beta u,\beta s)$ なので、$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ について $M^{-1}V'M=\beta J$ である。$V'$ と $\frac\tau2I$ は可換なので、同記事の定理「可換な行列の指数法則」、命題「相似・転置・固有ベクトル」、例「回転と Euler の公式」により $$e^{tV}p=e^{\tau t/2}e^{tV'}p=e^{\tau t/2}Me^{\beta tJ}(1,0)=e^{\tau t/2}M(\cos\beta t,\sin\beta t)$$ である。$t=2\pi/\beta$ とすると $e^{tV}p=e^{\pi\tau/\beta}p$ で、$N$ を比べて $e^{\pi\tau/\beta}=1$、すなわち $\tau=0$ である。

よって $\{e^{tV}p:t\in\mathbb R\}$ は単位円の $M$ による像であり、その上で $N=1$ である。$x\in X\setminus\{0\}$ について、$y=x/|M^{-1}x|_2$（$|\cdot|_2$ は $\mathbb R^2$ の Euclid の長さ）は $|M^{-1}y|_2=1$ を満たすのでこの像に属し、$N(y)=1$、すなわち $N(x)=|M^{-1}x|_2$ である。したがって $X$ 上のノルムは内積 $(x,y)\mapsto M^{-1}x\cdot M^{-1}y$ から来て、$B\cap X$ は原点を中心とする楕円である。

段 8（結論）。$x,y\in W$ を含む平面 $X$ をとると、段 7 により $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$ である。よって Jordan–von Neumannの定理 により $W$ のノルムは内積から来る。$\square$

段 1（帰着）。$x,y\in E$ を含む 3 次元部分空間 $W$ をとる。$W$ の放射射影は $T|_W$ なので距離を増やさない。$W$ のすべての 2 次元部分空間にノルム 1 の射影があれば、thm-kak-core により $W$ のノルムは内積から来て、$x,y$ について平行四辺形の等式が成り立つ。よって Jordan–von Neumannの定理 により $E$ のノルムは内積から来る。以下 $W$ で考え、$v\in W$、$\|v\|=1$ での支持汎関数（def-kak-smooth）の全体を $J(v)$ とし、$g\in W^*$ に線形写像 $Q_gw=w-g(w)v$ を対応させる。

段 2（滑らかな点からの極限）。滑らかな点の列 $p_j\to v$ で $f_{p_j}$ が収束するものをすべて考え、その極限 $\lim f_{p_j}$ の全体を $\Sigma(v)$ とする。lem-kak-smooth の 3 により $v$ に収束する滑らかな点の列があり、$\|f_{p_j}\|=1$ なのでその部分列で $f_{p_j}$ は収束するから、$\Sigma(v)$ は空でない。同じ補題の 1 により $\Sigma(v)\subset J(v)$ である。$h=\lim f_{p_j}\in\Sigma(v)$ なら $\|Q_h\|\le1$ である。実際、同じ補題の 2 により $W$ のノルムは $p_j$ で（Gateaux の意味でも）微分可能で、微分は $f_{p_j}$ なので、prop-kak-smooth の 2 により $\|w-f_{p_j}(w)p_j\|\le\|w\|$ であり、$j\to\infty$ として $\|Q_hw\|\le\|w\|$ を得る。$Q_{(1-s)g_1+sg_2}=(1-s)Q_{g_1}+sQ_{g_2}$ なので、$Z=\{g\in W^*:\|Q_g\|\le1\}$ は凸で、$g\mapsto Q_g$ の連続性から閉である。よって $Z$ は、$\Sigma(v)$ を含む最小の閉凸集合 $C$ を含む。

段 3（$J(v)\subset C$）。$f\in J(v)$ と $w\in W$ をとり、まず $h\in\Sigma(v)$ で $h(w)\ge f(w)$ となるものをつくる。$t_j\downarrow0$ とし、$u_j=(v+t_jw)/\|v+t_jw\|$ とおく（$j$ が大きいと $v+t_jw\ne0$）。lem-kak-smooth の 3 により、滑らかな点 $p_j$ で $\|v+t_jw\|\,\|p_j-u_j\|\le t_j^2$ となるものをとり、$z_j=\|v+t_jw\|\,p_j$ とおく。$\|z_j-(v+t_jw)\|\le t_j^2$ で、$p_j\to v$ である。$h_j=f_{p_j}$ とおくと $h_j(z_j)=\|z_j\|$、$h_j(v)\le1$、$\|h_j\|=1$ なので $$t_jh_j(w)=h_j(v+t_jw)-h_j(v)\ge\|z_j\|-t_j^2-1\ge\|v+t_jw\|-2t_j^2-1\ge f(v+t_jw)-2t_j^2-1=t_jf(w)-2t_j^2$$ である。$t_j$ で割って $h_j(w)\ge f(w)-2t_j$ を得る。部分列に移って $h_j\to h$ とすると、$h\in\Sigma(v)$、$h(w)\ge f(w)$ である。さて $f\notin C$ とすると、$W^*$ に Hahn–Banachの定理 の系「閉凸集合と外の点の分離」を使い（有限次元の $W^*$ の双対は、$w\in W$ による値 $g\mapsto g(w)$ の全体である）、$w\in W$ で $f(w)>\sup_{g\in C}g(w)$ となるものがとれる。この $w$ について上でつくった $h\in\Sigma(v)\subset C$ は $h(w)\ge f(w)$ を満たすので矛盾する。よって $J(v)\subset C\subset Z$ である。

段 4（平面へのノルム 1 の射影）。$X$ を $W$ の 2 次元部分空間とし、$\ker\varphi=X$ となる $\varphi\in W^*$ を、閉単位球の上での最大値が $1$ になるように正規化する。閉単位球はコンパクトなので最大値はある $v$（$\|v\|\le1$）で達成される。$\varphi(y)\le\|y\|$（$y/\|y\|$ に使う）と $1=\varphi(v)\le\|v\|$ から $\|v\|=1$、$\varphi\in J(v)$ である。段 3 により $\|Q_\varphi\|\le1$ である。$Q_\varphi w=w-\varphi(w)v$ は $\varphi(Q_\varphi w)=0$ から $X$ に値をとり、$X$ の上で恒等なので、$X$ へのノルム 1 の射影である。段 1 により証明が終わる。$\square$