開球

$\mathbb{R}$ に通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ を入れると、$B(x,r)=(x-r,x+r)$、$D(x,r)=[x-r,x+r]$ である。$|x-y|< r$ と $x-r< y< x+r$ は同値だからである。たとえば $B(2,0.5)=(1.5,2.5)$ である。
Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ に通常の距離 $\|y-x\|=\bigl(\sum_{i=1}^n(y_i-x_i)^2\bigr)^{1/2}$ を入れると、$B(x,r)$ は $n=2$ では円周を含まない円板の内部、$n=3$ では球面を含まない球の内部である。

$\mathbb{R}^2$ の点 $x=(x_1,x_2)$、$y=(y_1,y_2)$ に対し
$$ d_1(x,y):=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|,\quad d_2(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2},\quad d_\infty(x,y):=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\} $$
とおく。どれも距離である。原点 $0$ を中心とする半径 $1$ の開球は
$$ B_{d_1}(0,1)=\{|y_1|+|y_2|<1\},\quad B_{d_2}(0,1)=\{y_1^2+y_2^2<1\},\quad B_{d_\infty}(0,1)=(-1,1)\times(-1,1) $$
であり、それぞれひし形の内部、円板の内部、正方形の内部である。たとえば点 $(0.6,0.6)$ は $d_\infty$ では $\max\{0.6,0.6\}=0.6<1$ なので $B_{d_\infty}(0,1)$ に属するが、$d_2$ では $\sqrt{0.72}\approx0.85<1$ で $B_{d_2}(0,1)$ に属し、$d_1$ では $1.2\ge1$ なので $B_{d_1}(0,1)$ に属さない。
形は違うが、互いに入れ子になる。各 $a,b\ge0$ について $\max\{a,b\}\le\sqrt{a^2+b^2}\le a+b\le2\max\{a,b\}$ なので、$d_\infty\le d_2\le d_1\le2d_\infty$ であり、
$$ B_{d_1}(x,r)\subset B_{d_2}(x,r)\subset B_{d_\infty}(x,r)\subset B_{d_1}(x,2r) $$
が成り立つ。どの距離の開球の中にも他の距離の開球が収まるので、三つの距離は同じ開集合を定める。

集合 $X$ に離散距離（$x\ne y$ なら $d(x,y)=1$、$d(x,x)=0$）を入れると、
$$ B(x,r)=\begin{cases}\{x\}&(0< r\le1),\\X&(r>1)\end{cases} $$
である。したがって一点集合が開球になり、この距離が定める位相（位相空間）は離散位相である（距離空間 の記事の例「離散距離」）。
この例から、開球は中心も半径も決めないことが分かる。$X$ に $2$ 点以上あれば、$B(x,5)=B(y,2)=X$（$x\ne y$）であり、異なる中心・異なる半径の開球が同じ集合になる。また $B(x,5)\subset B(y,2)$ であるのに $5>2$ なので、「$B(x,r)\subset B(y,s)$ ならば $r\le s$」という含意は一般の距離空間では成り立たない。

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A$ に距離 $d$ を制限すると、$a\in A$ について
$$ B_A(a,r)=\{y\in A\mid d(a,y)< r\}=B_X(a,r)\cap A $$
である。たとえば $A=[0,\infty)\subset\mathbb{R}$ では $B_A(0,1)=[0,1)$ である。$[0,1)$ は $\mathbb{R}$ の開集合ではないが、$A$ の開球なので $A$ の開集合である（相対位相）。「開球である」「開である」は、どの空間の中で考えるかによる。

2 点以上をもつ集合 $X$ に離散距離を入れ、$x\in X$ をとる。ex-open-ball-discrete により $B(x,1)=\{x\}$ である。離散位相ではすべての部分集合が閉なので $\overline{B(x,1)}=\{x\}$ である。一方、閉球は $D(x,1)=\{y\mid d(x,y)\le1\}=X$ である。よって $\overline{B(x,1)}\ne D(x,1)$ である。
もっと身近な形でも起こる。$\mathbb{R}$ の部分空間 $X=[0,1]\cup\{2\}$ で $x=1$、$r=1$ とすると、$B(1,1)=(0,1]$、その $X$ での閉包は $[0,1]$ だが、$D(1,1)=[0,1]\cup\{2\}$ である。点 $2$ は中心からちょうど距離 $1$ にあるが、開球の点をいくら近づけても $2$ には近づけない。
満たす性質：$B(x,r)$ は開集合、$D(x,r)$ は閉集合で $\overline{B(x,r)}\subset D(x,r)$（prop-open-ball-closed-ball-closed）。満たさない性質：等号 $\overline{B(x,r)}=D(x,r)$。破る含意：「開球の閉包は同じ中心・同じ半径の閉球である」。この等号はノルム空間では成り立つ（prop-open-ball-normed）。

$\mathbb{R}$ 上で $\rho(x,y):=\min\{|x-y|,1\}$ とおくと $\rho$ は距離であり、$0< r\le1$ では $B_\rho(x,r)=(x-r,x+r)$ と通常の距離の開球に一致する。したがって $\rho$ と通常の距離は同じ開集合を定める（開集合の判定には小さい半径の開球だけを使えばよい。prop-open-ball-nesting の直後の段落）。しかし $r>1$ では $B_\rho(x,r)=\mathbb{R}$ であり、たとえば $B_\rho(0,2)=\mathbb{R}\ne(-2,2)$ である。
$\rho$ が距離であること：三角不等式以外は明らかである。$\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)$ は、右辺のどちらかの項が $1$ なら右辺が $1\ge\rho(x,z)$ となり、どちらも $1$ 未満なら右辺が $|x-y|+|y-z|\ge|x-z|\ge\rho(x,z)$ となることから従う。
満たす性質：$\rho$ と通常の距離は同じ位相を定める。満たさない性質：同じ中心・半径の開球が一致すること。破る含意：「同じ位相を定める距離は同じ開球をもつ」。開球は位相ではなく距離によって決まる。