忠実平坦加群

両方向の写像は
$$\Phi((a/s)\otimes n)=an/s,\qquad\Psi(n/s)=(1/s)\otimes n$$
である。分数 $a/s=a'/s'$ なら、ある $t\in S$ に対して $t(s'a-sa')=0$ なので $an/s=a'n/s'$ である。$A$ の釣合い関係も $\Phi((ar/s)\otimes n)=arn/s=\Phi((a/s)\otimes rn)$ となる。従って $\Phi$ は定義される。
$\Psi$ の分数への依存を確かめる。$n/s=n'/s'$ なら $t(s'n-sn')=0$ となる $t\in S$ がある。すると
$$\frac1s\otimes n-\frac1{s'}\otimes n'=\frac1{ss't}\otimes t(s'n-sn')=0.$$
共通分母を取る計算から加法性も従い、$\Psi$ は $A$ 線形である。合成は $\Phi\Psi(n/s)=n/s$ と $\Psi\Phi((a/s)\otimes n)=(1/s)\otimes an=(a/s)\otimes n$ で恒等になる。
単射 $i:N'\to N$ を取り、$n/s\in S^{-1}N'$ の像が零とする。ある $t\in S$ が $t i(n)=0$ を満たす。$i$ の単射性から $tn=0$ なので、源でも $n/s=0$ である。従って局所化は単射を保ち、テンソル表示によって $S^{-1}A$ の平坦性が得られる。$0\in S$ なら全ての分数が零になり、両表示と単射保存は同じ計算で成立する。この場合、非零環の忠実平坦性は成立しない。

1から2は非零巡回加群 $A/H$ をテンソルすることによる。自然同型 $(A/H)\otimes_AM\cong M/HM$ は、$\bar a\otimes m\mapsto am\bmod HM$ と $m\bmod HM\mapsto\bar1\otimes m$ が互いに逆であることから得られる。2から3は特別な場合である。
3から1を示す。非零 $N$ の非零元 $x$ を選び、$H=\operatorname{Ann}_A(x)$ とする。$H$ は真イデアルで、$Ax\cong A/H$ が $N$ に単射で入る。$H$ を含む極大イデアル $\mathfrak m$ を取ると、$M/HM$ は $M/\mathfrak mM$ に全射するので非零である。平坦性は単射 $Ax\to N$ のテンソルを単射に保つ。従って非零加群 $(Ax)\otimes_AM$ が $N\otimes_AM$ に単射で入り、後者も非零となる。$N$ 自身が有限生成であることは使わない。$A=0$ では単位的加群は全て零であり、三条件はそれぞれ空の条件として同値になる。$\square$

忠実平坦なら、各素イデアル $\mathfrak p$ の剰余体 $\kappa(\mathfrak p)$ は非零加群なので、$B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)$ は非零環である。その極大イデアルを一つ取り、局所化・商の自然写像を通して $B$ に縮約すれば、$\mathfrak p$ に縮約する素イデアルを得る。実際、このファイバーでは $\mathfrak p$ は零になり、$A\setminus\mathfrak p$ の全元は単元になるため、縮約はちょうど $\mathfrak p$ である。
逆にスペクトル写像が全射なら、各極大イデアル $\mathfrak m$ 上に素イデアル $P\subset B$ が存在する。$\mathfrak mB\subset P$ なので $B/\mathfrak mB\ne0$ である。前の判定から $B$ は忠実平坦 $A$ 加群となる。局所写像 $(A,\mathfrak m)\to(B,\mathfrak n)$ では $\mathfrak mB\subset\mathfrak n$ なので、終域が非零なら同じ剰余判定で忠実平坦となる。
零環の単位を保つ写像では、$A=0$ なら $B=0$ であり、両スペクトルは空である。この場合も判定は空の量化として成立する。$\square$

自然写像の核を $K$ とする。平坦性から $B\otimes_AK$ は、$B\otimes_AN\to B\otimes_AB\otimes_AN$ の核に等しい。この後者の写像は $b\otimes n\mapsto b\otimes1\otimes n$ であり、左逆 $b\otimes b'\otimes n\mapsto bb'\otimes n$ をもつ。従って核は零である。忠実性により $B\otimes_AK=0$ から $K=0$ を得る。
$N=A$ の場合は環写像の単射である。$N=A/H$ の場合は $A/H\to B/HB$ が単射となる。従って $a\in A$ の像が $HB$ に入るのは $a\in H$ のときに限り、縮約の等号を得る。一般のイデアルであり有限生成の仮定はない。$\square$

忠実平坦であるとする。$f:N\to N'$ のテンソルが零なら、平坦性と右完全性により $\operatorname{im}(f)\otimes_A M$ はテンソル後の写像の像に同型で、従って零である。零検出で $\operatorname{im}(f)=0$、すなわち $f=0$ を得る。二つの写像にはその差を使う。逆に関手が写像を忠実に検出し、$N\otimes_A M=0$ なら、$1_N$ と零写像の像は一致する。よって $1_N=0$ であり $N=0$ となる。

任意の $R$ 加群 $L$ に対して
$$L\otimes_R(R\otimes_A M)\simeq L\otimes_A M$$
である。両逆は $l\otimes(r\otimes m)\mapsto rl\otimes m$ と $l\otimes m\mapsto l\otimes(1\otimes m)$ である。$R$ の釣合い関係は前者の $rl$ へ移り、$A$ の関係は内側のテンソルの関係となるので、写像は定義される。単純テンソルに合成を施すと恒等である。
$R$ 加群の単射は $A$ 加群としても単射なので、$M$ の平坦性とこの同型から $R\otimes_A M$ の平坦性が従う。$L$ が非零なら、$A$ 加群として見ても非零であり、忠実性から $L\otimes_A M\ne0$ となる。従って零検出も成立する。ここで $R$ 自身の $A$ 上の平坦性は仮定していない。
次に $A\to B\to C$ が忠実平坦であるとする。任意の $A$ 加群 $N$ に対して
$$N\otimes_A C\simeq(N\otimes_A B)\otimes_B C$$
で、両逆は $n\otimes c\mapsto(n\otimes1)\otimes c$ と $(n\otimes b)\otimes c\mapsto n\otimes bc$ である。二つの完全関手の合成は完全であり、二つの零検出を順に適用すると非零加群を消さない。よって合成は忠実平坦である。

有限表示 $R^s\xrightarrow{U}R^t\xrightarrow{\varepsilon}Q\to0$ を取る。全射のもとで有限自由加群の各基底の像を持ち上げ、$f:R^t\to R^r$、$g:R^r\to R^t$ を $\pi f=\varepsilon$、$\varepsilon g=\pi$ となるように選ぶ。$h=\mathrm{id}_{R^r}-fg$ と置くと $\pi h=\pi-\varepsilon g=0$ なので、$h$ の像は $\ker\pi$ に入る。
$v\in\ker\pi$ なら $\varepsilon gv=\pi v=0$、従って $gv\in\operatorname{im}U$ である。$v=f(gv)+h(v)$ より $v\in\operatorname{im}(fU)+\operatorname{im}h$。逆に $\pi fU=\varepsilon U=0$ と $\pi h=0$ から、この二つの像は核に含まれる。よって
$$\ker\pi=\operatorname{im}(fU)+\operatorname{im}h.$$
右辺は $R^s$ の基底の $fU$ による像と $R^r$ の基底の $h$ による像、計 $s+r$ 個以下の元で生成される。零階数では空基底と零写像を用いれば同じ計算となる。$\square$

まず $B\otimes_A M$ の有限個の生成元を単純テンソルの有限和で表す。その有限個の表示に現れる $M$ の元全てで生成される部分加群を $N\subseteq M$ とする。$B\otimes_A N\to B\otimes_A M$ の像は選んだ生成元を含むので全射である。テンソルの右完全性から $B\otimes_A(M/N)=0$。忠実平坦性の零検出により $M/N=0$ だから、$M=N$ は有限生成である。
次に $B\otimes_A M$ が有限表示とする。特に有限生成なので、今の議論で $M$ も有限生成である。有限自由全射 $A^r\to M$ を取り、核を $K$ とする。平坦性から
$$0\to B\otimes_A K\to B^r\to B\otimes_A M\to0$$
は完全である。前補題を $R=B$ に適用すれば、その核 $B\otimes_A K$ は有限生成である。有限生成の下降を $K$ に適用し、$K$ も有限生成と分かる。$K$ の有限生成元の座標を列に持つ行列 $A^s\to A^r$ を作ると、$A^s\to A^r\to M\to0$ は有限表示となる。$\square$

任意のイデアル $I\subset A$ を取る。$IB$ は $B$ のイデアルなので、$B$ の Noether 性から有限生成である。この有限生成性を昇鎖条件から直接確認するには、有限生成でないイデアルから一つずつ新しい元を取り、有限生成イデアルの真の増大列を作れば矛盾する。
$IB=(b_1,\ldots,b_r)$ と書く。各 $b_j$ は $IB$ の定義から $I$ の元の有限和
$$b_j=\sum_{l=1}^{n_j} a_{jl}c_{jl},\qquad a_{jl}\in I,\ c_{jl}\in B$$
で表される。全ての表示に現れる有限個の $a_{jl}$ を集め、それらが $A$ 内で生成するイデアルを $J$ とする。各 $b_j$ は $JB$ に入るので $IB\subset JB$ である。一方 $J\subset I$ より $JB\subset IB$ であり、従って $IB=JB$ となる。
上で証明した忠実平坦性による縮約の等号を、$I$ と $J$ にそれぞれ適用すると
$$I=IB\cap A=JB\cap A=J$$
を得る。よって任意のイデアル $I$ が有限生成である。これは環の Noether 性を意味する。実際、増大列 $I_1\subset I_2\subset\cdots$ の合併 $I$ の有限生成元は一つの共通段階 $I_n$ に入り、従って $I=I_n$ で列は停止する。
$IB=0$ なら空の生成列を用い $J=0$ と取れる。縮約により $I=0$ となるので同じ証明が働く。$A$ が零環の場合は結論は自明である。一般の忠実平坦写像について、縮約を書く際の $A\subset B$ の同一視は、先の命題で既に証明した環写像の単射性による。$\square$