自明群
概要
自明群（trivial group）とは、単位元だけからなる群、すなわち位数 $1$ の群のことである。位数 $1$ の群は互いに一意な同型写像で同型なので、自明群は同型を除いて一意に定まり、$1$ や $\{e\}$、加法的には $0$ と書かれる。位数 $1$ の巡回群 $C_1$、対称群 $S_0$・$S_1$、交代群 $A_2$、$GL_1(\mathbb{F}_2)$、任意の体上の $SL_1(K)$・$PGL_1(K)$ はいずれも自明群と同型である。自明群は任意の群の部分群であり、群の圏の始対象かつ終対象（零対象）であり、準同型の核が自明であることは単射性と同値である。
定義
一元集合 $G=\{e\}$ に二項演算を $e\cdot e=e$ で定めると、$(G,\cdot)$ は $e$ を単位元とする群になる。この群を自明群（trivial group）という。単位元だけからなる群、すなわち位数 $1$ の群を総称して自明群と呼ぶこともあり、群 $G$ が自明であるとは $G$ が単位元だけからなることをいう。
位数 $1$ の群は互いに同型なので（prop-trivial-group-unique）、「自明群」は同型を除いて一意に定まる。記号としては $1$、$\{1\}$、$\{e\}$、加法的に書くときは $0$、$\{0\}$ が用いられる。
直感
自明群は「何もしない操作だけからなる群」であり、群の中で最も小さいものである。すべての群に部分群として含まれ、すべての群からの準同型の終点にもなるので、群の圏における基準点（零対象）の役割を果たす。群論の多くの主張は「自明でない群」について述べられ、自明群は退化した場合として除外されるか、別に扱われる。
例と反例
次の群はいずれも位数 $1$ であり、自明群と同型である（prop-trivial-group-unique）。
- 位数 $1$ の巡回群 $C_1$（一つの元 $g$ で生成され $g=g^0=e$ となる群）。
- $0$ 次の対称群 $S_0$（空集合の置換全体。空集合から空集合への写像は空写像ただ一つなので $S_0=\{\mathrm{id}_\emptyset\}$）と、$1$ 次の対称群 $S_1$（一点集合の置換は恒等写像のみ）。
- $2$ 次の交代群 $A_2$（$S_2=\{\mathrm{id},(1\,2)\}$ の偶置換全体。互換 $(1\,2)$ は奇置換なので $A_2=\{\mathrm{id}\}$）。
- $2$ 元体 $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ 上の $1$ 次一般線形群 $GL_1(\mathbb{F}_2)$。ここで体 $K$ 上の $1$ 次一般線形群 $GL_1(K)$ とは可逆な $1\times1$ 行列全体のなす群であり、$(a)\mapsto a$ により乗法群 $K^\times=K\setminus\{0\}$ と同型である。$\mathbb{F}_2^\times=\{1\}$ なので $GL_1(\mathbb{F}_2)$ は位数 $1$ である。
- 任意の体 $K$ に対する $1$ 次特殊線形群 $SL_1(K)$（行列式が $1$ の $1\times1$ 行列全体、すなわち $\{(1)\}$）。
- 任意の体 $K$ に対する $1$ 次射影一般線形群 $PGL_1(K)=GL_1(K)/Z(GL_1(K))$（$GL_1(K)$ は $K^\times$ と同型で可換なので中心は全体であり、商群は一元群）。
- 加法群 $\{0\}$、および任意の群 $G$ の商群 $G/G$。
次の例は「群 ⇒ 自明群」および「体 $K$ によらず $GL_1(K)$ は自明群」が成り立たないことを示す。位数 $2$ の群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0,1\}$ は $1\neq0$ なので自明でない。また、$1$ 次一般線形群 $GL_1(K)$（$K^\times$ と同型）は、$K=\mathbb{F}_3=\{0,1,2\}$ のとき $\mathbb{F}_3^\times=\{1,2\}$ で位数 $2$ なので自明でない。一般に $GL_1(K)$ が自明であるのは $K^\times=\{1\}$、すなわち $K$ がちょうど二つの元 $0,1$ を持つときに限る。そのような体は同型を除いて $\mathbb{F}_2$ ただ一つである（$1+1\in\{0,1\}$ であり、$1+1=1$ とすると $1=0$ となって矛盾するので $1+1=0$ となり、加法と乗法の表が定まる）。
性質
位数 $1$ の群は、単位元だけからなる。位数 $1$ の任意の二つの群は同型であり、同型写像は一意である。
群は単位元 $e$ を含むので、位数 $1$ の群は $\{e\}$ であり、演算は $e\cdot e=e$ に限る。$G=\{e\}$、$H=\{e'\}$ を位数 $1$ の群とすると、写像 $f\colon G\to H$ は $f(e)=e'$ ただ一つであり、$f(e\cdot e)=f(e)=e'=e'\cdot e'=f(e)f(e)$ なので準同型、また全単射である。$\square$
$1$ を自明群とする。任意の群 $G$ に対し、群準同型 $1\to G$ はただ一つ存在し（単位元を単位元に写す写像）、群準同型 $G\to1$ もただ一つ存在する（すべての元を $e$ に写す写像）。すなわち自明群は群の圏の始対象かつ終対象（零対象）である。
群準同型は単位元を単位元に写すので、$1=\{e\}\to G$ の準同型は $e\mapsto e_G$ に限り、この写像は $f(e\cdot e)=e_G=e_Ge_G$ を満たすので準同型である。$G\to1$ の写像は定数写像 $g\mapsto e$ に限り、$f(gh)=e=e\cdot e=f(g)f(h)$ なので準同型である。$\square$
任意の群 $G$ について、$\{e_G\}$ は $G$ の部分群であり（自明な部分群）、$G$ の任意の部分群に含まれる。$\{e_G\}$ は $G$ の正規部分群であり、商群 $G/\{e_G\}$ は $G$ と同型である。
$e_Ge_G=e_G$、$e_G^{-1}=e_G$ なので $\{e_G\}$ は部分群であり、任意の部分群は単位元を含む。任意の $g\in G$ について $ge_Gg^{-1}=e_G$ なので正規部分群である。商群 $G/\{e_G\}$ の各剰余類は $g\{e_G\}=\{g\}$ であり、$g\mapsto\{g\}$ は全単射な準同型である。$\square$
群準同型 $f\colon G\to H$ について、$f$ が単射であることと核 $\ker f=\{g\in G\mid f(g)=e_H\}$ が自明であることとは同値である。また、$f$ の像 $f(G)$ が自明であることと $f$ が定数写像 $g\mapsto e_H$ であることとは同値である。
$f$ が単射なら、$f(g)=e_H=f(e_G)$ から $g=e_G$ なので $\ker f=\{e_G\}$ である。逆に $\ker f=\{e_G\}$ とし、$f(g)=f(h)$ とすると $f(gh^{-1})=f(g)f(h)^{-1}=e_H$ なので $gh^{-1}=e_G$、すなわち $g=h$ である。後半：$f(G)=\{e_H\}$ とは、すべての $g$ について $f(g)=e_H$ ということである。$\square$
補足：自明群の扱い
- 「非自明な群」「自明でない部分群」という言い方は、位数 $1$ でないことを意味する。多くの定義は自明群を明示的に除外する。たとえば単純群とは、$G\neq\{e_G\}$ であって正規部分群が $\{e_G\}$ と $G$ に限る群のことであり、$G\neq\{e_G\}$ という条件を落とすと自明群まで単純群に含まれてしまう。群・準同型・商群の基本事項とこれらの用語法については DF04 第 1 章・第 3 章を参照。
- 自明群は可換群・巡回群であり、任意の素数 $p$ について $p$ 群（位数が $p$ の冪 $p^k$、$k\ge0$ である有限群）でもある。位数 $1$ の群としてこれらのクラスの最小の例になる。巡回群であることは ex-trivial-group-isomorphic の 1 から、可換であることは元が一つしかないことから、$p$ 群であることは $1=p^0$ から従う。
- 群の圏の零対象としての性質（prop-trivial-group-zero-object）と、他の圏（環の圏など）での始対象・終対象の様子については 零対象 を参照。
