Vitaliの被覆定理

$\Omega$ を、次の二条件を満たす部分族 $\mathcal H\subset\mathcal F$ 全体の集合とする。

1. $\mathcal H$ の相異な元は互いに交わらない。
2. 任意の $C\in\mathcal F$ に対して、次のどちらかが成り立つ。
   • すべての $D\in\mathcal H$ に対して $C\cap D=\emptyset$ である。
   • ある $D\in\mathcal H$ が存在し、$C\cap D\neq\emptyset$ かつ $\operatorname{diam}C\leq t\operatorname{diam}D$ である。
     $\emptyset\in\Omega$ なので $\Omega$ は空でない。$\Gamma\subset\Omega$ を包含関係に関する全順序部分集合とし、
     $$ \mathcal H_\Gamma:=\bigcup_{\mathcal H\in\Gamma}\mathcal H $$
     とおく。$D,D'\in\mathcal H_\Gamma$ なら、それぞれが属する $\Gamma$ の二元のうち一方は他方を含むので、$D,D'$ は同じ $\mathcal H\in\Gamma$ に属するとみなせる。よって相異なら交わらない。
     また $C\in\mathcal F$ を固定する。$\mathcal H_\Gamma$ のある元 $D$ が $C\cap D\neq\emptyset$ かつ $\operatorname{diam}C\leq t\operatorname{diam}D$ を満たせば条件2の後者が成り立つ。そのような $D$ がなければ、各 $\mathcal H\in\Gamma$ について条件2の後者は成り立たず、$\mathcal H\in\Omega$ より $C$ は $\mathcal H$ のすべての元と交わらない。したがって $C$ は $\mathcal H_\Gamma$ のすべての元と交わらない。ゆえに $\mathcal H_\Gamma\in\Omega$ であり、$\mathcal H_\Gamma$ は $\Gamma$ の上界である。
     Zornの補題により、$\Omega$ は包含関係に関する極大元 $\mathcal G$ をもつ。
     $\mathcal E$ を、$\mathcal G$ の元で支配されない集合の族、すなわち
     $$ \mathcal E:=\{C\in\mathcal F\mid \text{$C\cap D\neq\emptyset$ かつ $\operatorname{diam}C\leq t\operatorname{diam}D$ となる $D\in\mathcal G$ が存在しない}\} $$
     とする。$\mathcal E\neq\emptyset$ と仮定し、
     $$ s:=\sup_{C\in\mathcal E}\operatorname{diam}C $$
     とおく。$s\leq M<\infty$ である。$s>0$ なら、$t>1$ より $s/t< s$ なので、上限の定義から
     $$ \operatorname{diam}K>s/t $$
     となる $K\in\mathcal E$ をとれる。$s=0$ なら任意の $K\in\mathcal E$ をとる。いずれの場合も
     $$ \operatorname{diam}C\leq s\leq t\operatorname{diam}K \qquad(C\in\mathcal E) $$
     である。
     $K\in\mathcal E$ なので、$\mathcal G\in\Omega$ の条件2の後者は $C=K$ に対して成り立たない。したがって $K$ は $\mathcal G$ のすべての元と交わらない。ゆえに $\mathcal G\cup\{K\}$ の相異な元も互いに交わらない。
     $C\in\mathcal F$ をとる。$\mathcal G$ の元で $C$ を支配するものがあれば、$\mathcal G\cup\{K\}$ に対する条件2の後者が成り立つ。なければ $C\in\mathcal E$ であり、$\operatorname{diam}C\leq t\operatorname{diam}K$ である。$C\cap K\neq\emptyset$ なら $K$ が $C$ を支配する。$C\cap K=\emptyset$ なら、$\mathcal G\in\Omega$ かつ $C$ は $\mathcal G$ の元に支配されないので、$C$ は $\mathcal G$ のすべての元と交わらず、したがって $\mathcal G\cup\{K\}$ のすべての元と交わらない。よって $\mathcal G\cup\{K\}\in\Omega$ である。
     $K$ は空でなく、$\mathcal G$ のすべての元と交わらないから $K\notin\mathcal G$ である。したがって $\mathcal G\subsetneq\mathcal G\cup\{K\}$ となり、$\mathcal G$ の極大性に反する。ゆえに $\mathcal E=\emptyset$ である。
     したがって任意の $C\in\mathcal F$ は、ある $D\in\mathcal G$ に対して $C\cap D\neq\emptyset$ かつ $\operatorname{diam}C\leq t\operatorname{diam}D$ を満たす。$y\in C\cap D$ をとると、任意の $x\in C$ に対して
     $$ \operatorname{dist}(x,D)\leq d(x,y)\leq\operatorname{diam}C \leq t\operatorname{diam}D $$
     なので $x\in\widehat D$ である。ゆえに $C\subset\widehat D$ であり、合併の包含も従う。$\square$

$A=\emptyset$ なら $\mathcal G=\emptyset$ とすればよい。以下 $A\neq\emptyset$ とする。
$\mathcal F_\delta:=\{C\in\mathcal F\mid\operatorname{diam}C\leq\delta\}$ とおく。仮定 $(*)$ より、$\mathcal F_\delta$ は $A$ の各点を含む集合を持ち、また直径は $\delta$ 以下に一様に有界である。thm-vitali-covering-selection を $\mathcal F_\delta$ に適用し、その結論を満たす非交差族 $\mathcal G\subset\mathcal F_\delta$ をとる。結論1・2はすぐ従う。
$\mathcal G'\subset\mathcal G$ を有限部分族とし、
$$ x\in A\setminus\bigcup_{D\in\mathcal G'}D $$
をとる。$\mathcal G'$ の各元は閉集合なので、有限合併 $F':=\bigcup_{D\in\mathcal G'}D$ も閉集合である。$x\notin F'$ より、ある $\varepsilon\in(0,\delta)$ をとって
$$ B_\varepsilon(x)\subset X\setminus F' $$
とできる。仮定 $(*)$ から $x\in C$ かつ $\operatorname{diam}C<\varepsilon$ を満たす $C\in\mathcal F$ をとる。$z\in C$ なら
$$ d(x,z)\leq\operatorname{diam}C<\varepsilon $$
なので $C\subset B_\varepsilon(x)$ である。したがって $C\cap F'=\emptyset$ である。また $\operatorname{diam}C<\delta$ より $C\in\mathcal F_\delta$ である。
$\mathcal G$ の選択性質から、ある $D\in\mathcal G$ が存在して $C\cap D\neq\emptyset$ かつ $C\subset\widehat D$ である。$C$ は $\mathcal G'$ のどの元とも交わらないから $D\notin\mathcal G'$ である。したがって
$$ x\in C\subset\widehat D \subset\bigcup_{E\in\mathcal G\setminus\mathcal G'}\widehat E $$
となる。$x$ は任意だったので結論3の包含が従う。$\square$

$L:=\operatorname{diam}E$ とおく。$x,x'\in\widehat E$ と $\eta>0$ をとる。距離の下限の定義から、$y,y'\in E$ を
$$ d(x,y)<\operatorname{dist}(x,E)+\eta\leq tL+\eta, $$
$$ d(x',y')<\operatorname{dist}(x',E)+\eta\leq tL+\eta $$
となるようにとれる。$y,y'\in E$ より $d(y,y')\leq L$ なので、三角不等式から
$$ d(x,x')\leq d(x,y)+d(y,y')+d(y',x') <(2t+1)L+2\eta $$
である。$\eta>0$ は任意だから $d(x,x')\leq(2t+1)L$ である。$x,x'$ について上限をとれば結論を得る。$\square$

$\overline B(a,r)$ の直径は $2r$ 以下なので、$\mathcal F$ の直径は一様に有界である。thm-vitali-covering-selection を $t=2$ で適用し、非交差族 $\mathcal G$ をとる。$D=\overline B(a,r)\in\mathcal G$ と $x\in\widehat D$ に対して、任意の $\eta>0$ について $y\in D$ を
$$ d(x,y)<\operatorname{dist}(x,D)+\eta \leq2\operatorname{diam}D+\eta \leq4r+\eta $$
となるようにとれる。したがって
$$ d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)<5r+\eta $$
である。$\eta\to0$ とすれば $d(x,a)\leq5r$、すなわち $\widehat D\subset\overline B(a,5r)$ である。選択定理の合併の包含と合わせれば結論を得る。$\square$

$Q=\{q_0,q_1,q_2,\ldots\}\subset X$ を可算稠密部分集合とする。$\operatorname{int}D$ は空でない開集合なので $Q$ と交わる。各 $D\in\mathcal G$ に対して
$$ n(D):=\min\{n\in\mathbb N\mid q_n\in\operatorname{int}D\} $$
と定める。$D\neq D'$ なら $D\cap D'=\emptyset$ なので、同じ $q_n$ が $\operatorname{int}D$ と $\operatorname{int}D'$ の両方に属することはない。よって $D\mapsto n(D)$ は $\mathcal G$ から $\mathbb N$ への単射であり、$\mathcal G$ は高々可算である。$\square$