副正規部分群

$H=H_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq H_s=K$ と $K=K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_t=G$ をつなげた列 $H_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq H_s=K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_t$ は、隣り合う項がすべて正規部分群の関係にあるので、$H$ が $G$ の副正規部分群であることを示す。$\square$

$H=H_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq H_r=G$ をとり、各項を $K$ と交わらせた列 $H_0\cap K\le H_1\cap K\le\cdots\le H_r\cap K=K$ を考える。$x\in H_{i+1}\cap K$、$h\in H_i\cap K$ に対し、$H_i\trianglelefteq H_{i+1}$ より $xhx^{-1}\in H_i$、$K$ が部分群なので $xhx^{-1}\in K$、よって $x(H_i\cap K)x^{-1}\subset H_i\cap K$ である。$x^{-1}$ についても同じなので等号が成り立ち、$H_i\cap K\trianglelefteq H_{i+1}\cap K$ である。$\square$

$n=2$ の場合を示せば、帰納法で一般の $n$ に従う。prop-subnormal-subgroup-intersection-subgroup を $H=H_1$、$K=H_2$ に適用して $H_1\cap H_2\trianglelefteq\trianglelefteq H_2$、これと $H_2\trianglelefteq\trianglelefteq G$ に prop-subnormal-subgroup-transitive を適用して $H_1\cap H_2\trianglelefteq\trianglelefteq G$ を得る。$\square$

$H=H_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq H_r=G$ をとる。準同型による部分群の像は部分群であり、$\varphi(H_i)\le\varphi(H_{i+1})$ である。$y\in\varphi(H_{i+1})$ を $y=\varphi(x)$（$x\in H_{i+1}$）と書くと、$y\varphi(H_i)y^{-1}=\varphi(xH_ix^{-1})=\varphi(H_i)$ なので $\varphi(H_i)\trianglelefteq\varphi(H_{i+1})$ である。$\varphi(H_r)=\varphi(G)=G'$ だから、列 $\varphi(H_0)\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq\varphi(H_r)=G'$ が $\varphi(H)$ の副正規性を示す。後半は自然な全射 $\pi\colon G\to G/N$ に適用し、$\pi(H)=HN/N$ に注意すればよい。$\square$

$\sigma\tau\sigma^{-1}$ を $\sigma(i_j)$ に施すと $\sigma(\tau(i_j))=\sigma(i_{j+1})$（添字は $k$ を法として読む）である。$y$ が $\sigma(i_1),\dots,\sigma(i_k)$ のいずれでもなければ $\sigma^{-1}(y)$ は $i_1,\dots,i_k$ のいずれでもなく、$\tau$ はそれを動かさないので $\sigma\tau\sigma^{-1}(y)=y$ である。よって $\sigma\tau\sigma^{-1}$ は $\sigma(i_1)\mapsto\sigma(i_2)\mapsto\cdots\mapsto\sigma(i_k)\mapsto\sigma(i_1)$ と巡回させ他を固定する置換、すなわち右辺に等しい。積については $\sigma(\tau_1\tau_2)\sigma^{-1}=(\sigma\tau_1\sigma^{-1})(\sigma\tau_2\sigma^{-1})$ から従い、$\sigma$ が単射なので互いに素な巡回置換は互いに素な巡回置換に写る。$\square$

$a=(1\,2)(3\,4)$、$b=(1\,3)(2\,4)$、$c=(1\,4)(2\,3)$ とおく。直接計算により $a^2=b^2=c^2=e$、$ab=ba=c$、$bc=cb=a$、$ca=ac=b$ である（たとえば $ab$ は $1\mapsto3\mapsto4$、$4\mapsto2\mapsto1$、$2\mapsto4\mapsto3$、$3\mapsto1\mapsto2$ で $(1\,4)(2\,3)=c$）。よって $V$ は積と逆元で閉じたアーベル群である。$V\setminus\{e\}$ は $\{1,2,3,4\}$ を二つの二元集合に分ける分け方 $3$ 通りに対応する「互いに素な二つの互換の積」の全体であり、lem-subnormal-subgroup-conjugation により $S_4$ の任意の元による共役はこの形を保つので、$\sigma V\sigma^{-1}\subset V$、すなわち $V\trianglelefteq S_4$ である。$V$ はアーベル群なので $H\trianglelefteq V$ である。一方 $\sigma=(1\,3)$ とすると lem-subnormal-subgroup-conjugation により $\sigma a\sigma^{-1}=(3\,2)(1\,4)=(1\,4)(2\,3)=c\notin H$ なので $H$ は $S_4$ の正規部分群でない。よって $H$ の深度は $1$ ではなく、列 $H\trianglelefteq V\trianglelefteq S_4$ により $2$ である。$\square$

$H\le K\le S_3$ なる部分群 $K$ について、Lagrange の定理により $|K|$ は $2$ で割り切れ $6$ を割るので $|K|\in\{2,6\}$、すなわち $K=H$ または $K=S_3$ である。$H=H_0\trianglelefteq H_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq H_r=S_3$ という列があったとすると、各 $H_i$ は $H$ を含むので $H$ か $S_3$ であり、$H_i=S_3$ となる最小の $i$ をとると $i\ge1$ で $H_{i-1}=H$、よって $H\trianglelefteq S_3$ となる。しかし $\sigma=(1\,3)$ について lem-subnormal-subgroup-conjugation により $\sigma(1\,2)\sigma^{-1}=(3\,2)=(2\,3)\notin H$ なので $H$ は $S_3$ の正規部分群でなく、矛盾する。$\square$