Dirichlet密度

$s>1$ とする。Riemannゼータ関数 の定理「Euler 積」により $\zeta(s)=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ で、各因子は $1$ より大きい実数なので、対数をとって $\log\zeta(s)=\sum_p-\log(1-p^{-s})$ である。$0< u\le\frac12$ では $-\log(1-u)=\sum_{k\ge1}u^k/k$ で、$u\le-\log(1-u)\le u+u^2$ である（$\sum_{k\ge2}u^k/k\le\frac12\cdot\frac{u^2}{1-u}\le u^2$）。$u=p^{-s}$ とすると
$$ 0\le\log\zeta(s)-\sum_pp^{-s}\le\sum_pp^{-2s}\le\sum_{n\ge2}\frac1{n^2}<1 $$
である。一方、同記事の命題「実軸上の評価」により $\frac1{s-1}\le\zeta(s)\le\frac s{s-1}$ なので、$1< s\le2$ では $0\le\log\zeta(s)-\log\frac1{s-1}\le\log2$ である。2 つを合わせればよい。
代数体の場合は Chebotarevの密度定理 の補題「素イデアルにわたる和」である（$\zeta_K$ が $s=1$ に 1 位の極をもつこと、すなわち 解析的類数公式 を使う）。$\log\frac1{s-1}\to\infty$ なので、全体の密度は $1$ である。$\square$

1．$\Sigma_M(s)$ は $0$ 以上で全体の和以下なので、lem-dd-primes から従う。$\sum_{\mathfrak p\in M}N\mathfrak p^{-1}<\infty$ なら $s>1$ で $\Sigma_M(s)\le\sum_{\mathfrak p\in M}N\mathfrak p^{-1}$ は有界で、$\log\frac1{s-1}\to\infty$ で割ると $0$ に近づく。有限集合はその特別な場合である。
2．$\Sigma_{M_1}(s)\le\Sigma_{M_2}(s)$ による。3．$\Sigma_{M_1\cup M_2}=\Sigma_{M_1}+\Sigma_{M_2}$ で、極限の和をとればよい。補集合については、全体の密度が $1$ であること（lem-dd-primes）を使う。4．有限個の項の和は有界なので、1 と同じ理由で比の上極限・下極限は変わらない。
5．$\mathfrak p\in M_{\ge2}$ なら $N\mathfrak p=p^{f}\ge p^2$ である。素数 $p$ の上の素イデアルは高々 $[K:\mathbb Q]$ 個なので（代数体における素イデアルの分解 の定理「基本等式」）、$\sum_{\mathfrak p\in M_{\ge2}}N\mathfrak p^{-1}\le[K:\mathbb Q]\sum_pp^{-2}<\infty$ で、1 により $d(M_{\ge2})=0$ である。最後の主張は 2 と 3 の議論（有界な和は比を変えない）による。$\square$

和を積分で表す．$s>1$ と $y\ge1$ について $y^{-s}=s\int_y^\infty x^{-s-1}\,dx$ である。$\mathfrak p\in M$ について足し、和と積分の順序を入れ替えると（項はすべて $0$ 以上なので Tonelliの定理 による）
$$ \Sigma_M(s)=s\int_1^\infty\pi_M(x)\,x^{-s-1}\,dx $$
である。全体についても $\Sigma_K(s)=s\int_1^\infty\pi_K(x)\,x^{-s-1}\,dx$ である（$\Sigma_K$ は素イデアル全体の和）。
上からの評価．$\beta:=\overline\delta(M)$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。上極限の定義から、$X\ge1$ があって $x\ge X$ で $\pi_M(x)\le(\beta+\varepsilon)\pi_K(x)$ である。$x< X$ では $\pi_M(x)\le\pi_K(X)$ なので
$$ \Sigma_M(s)\le\pi_K(X)\,s\int_1^\infty x^{-s-1}\,dx+(\beta+\varepsilon)\,s\int_X^\infty\pi_K(x)\,x^{-s-1}\,dx\le\pi_K(X)+(\beta+\varepsilon)\Sigma_K(s) $$
である。両辺を $\log\frac1{s-1}$ で割り、lem-dd-primes により $\Sigma_K(s)/\log\frac1{s-1}\to1$ であることを使うと、$\overline d(M)\le\beta+\varepsilon$ を得る。$\varepsilon$ は任意なので $\overline d(M)\le\overline\delta(M)$ である。
下からの評価．$\alpha:=\underline\delta(M)$ とし、$\varepsilon>0$ について $x\ge X$ で $\pi_M(x)\ge(\alpha-\varepsilon)\pi_K(x)$ となる $X$ をとる。$\pi_K(x)\le\pi_K(X)$（$x< X$）から $s\int_1^X\pi_K(x)x^{-s-1}dx\le\pi_K(X)$ なので
$$ \Sigma_M(s)\ge(\alpha-\varepsilon)\,s\int_X^\infty\pi_K(x)\,x^{-s-1}\,dx\ge(\alpha-\varepsilon)\bigl(\Sigma_K(s)-\pi_K(X)\bigr) $$
であり、同様に $\underline d(M)\ge\alpha-\varepsilon$ を得る。$\square$

$x< p\le cx$ について $\frac1p=\frac1{cx}+\int_p^{cx}\frac{dt}{t^2}$ なので、足して順序を入れ替えると
$$ \sum_{x< p\le cx}\frac1p=\frac{\pi(cx)-\pi(x)}{cx}+\int_x^{cx}\frac{\pi(t)-\pi(x)}{t^2}\,dt $$
である。素数定理 により $\pi(t)=\frac t{\log t}(1+o(1))$ で、$x\le t\le cx$ では $\frac t{\log t}=\frac t{\log x}+O\bigl(\frac x{\log^2x}\bigr)$ なので、$t\in[x,cx]$ について一様に $\pi(t)-\pi(x)=\frac{t-x}{\log x}+o\bigl(\frac x{\log x}\bigr)$ である。代入すると、右辺は
$$ \frac1{\log x}\Bigl(1-\frac1c+\int_x^{cx}\frac{t-x}{t^2}\,dt\Bigr)+o\Bigl(\frac1{\log x}\Bigr)=\frac1{\log x}\Bigl(1-\frac1c+\log c-1+\frac1c\Bigr)+o\Bigl(\frac1{\log x}\Bigr) $$
となる。$\square$

自然密度．素数定理 から、$c>1$ を固定すると $\pi(cx)-\pi(x)=\frac{(c-1)x}{\log x}(1+o(1))$ である。$x_k:=2\cdot10^k$ では、$P_1$ は区間 $[10^k,2\cdot10^k)$ の素数をすべて含むので
$$ \frac{\pi_{P_1}(x_k)}{\pi(x_k)}\ge\frac{\pi(2\cdot10^k)-\pi(10^k)}{\pi(2\cdot10^k)}\to\frac{1}{2}\qquad(k\to\infty) $$
である。$y_k:=10^{k+1}$ では、$2\cdot10^k\le p<10^{k+1}$ の素数は $P_1$ に属さないので $\pi_{P_1}(y_k)\le\pi(2\cdot10^k)$ で、
$$ \frac{\pi_{P_1}(y_k)}{\pi(y_k)}\le\frac{\pi(2\cdot10^k)}{\pi(10^{k+1})}=\frac{2\cdot10^k}{10^{k+1}}\cdot\frac{\log10^{k+1}}{\log(2\cdot10^k)}(1+o(1))\to\frac15 $$
である。したがって $\underline\delta(P_1)\le\frac15<\frac12\le\overline\delta(P_1)$ である。
Dirichlet 密度．$I_j:=[10^j,2\cdot10^j)$、$S_j:=\sum_{p\in I_j}\frac1p$ とおく。$10^j$ と $2\cdot10^j$ は素数でないので、lem-dd-short-sum（$x=10^j$、$c=2$）により $S_j=\frac{\log2+\eta_j}{j\log10}$、$\eta_j\to0$ である。$1< s\le2$ とし、$u:=10^{-(s-1)}\in(0,1)$ とおく。$p\in I_j$ では $2^{-(s-1)}u^j\le p^{-(s-1)}\le u^j$ なので、$p^{-s}=p^{-1}p^{-(s-1)}$ を足して
$$ 2^{-(s-1)}\sum_{j\ge1}S_ju^j\le\Sigma_{P_1}(s)\le\sum_{j\ge1}S_ju^j $$
である。$\varepsilon>0$ について $j>J$ で $\lvert\eta_j\rvert\le\varepsilon$ となる $J$ をとると、$\sum_{j\ge1}u^j/j=\log\frac1{1-u}$ から
$$ \Bigl\lvert\sum_{j\ge1}S_ju^j-\frac{\log2}{\log10}\log\frac1{1-u}\Bigr\rvert\le\sum_{j\le J}\frac{\lvert\eta_j\rvert}{j\log10}+\frac{\varepsilon}{\log10}\log\frac1{1-u} $$
である。$s\to1+0$ のとき $1-u=1-e^{-(s-1)\log10}$ は $(s-1)\log10$ との比が $1$ に近づくので、$\log\frac1{1-u}=\log\frac1{s-1}+O(1)$ であり、$2^{-(s-1)}\to1$ である。よって $\Sigma_{P_1}(s)/\log\frac1{s-1}$ の上極限と下極限は、ともに $\frac{\log2}{\log10}$ から $\frac{\varepsilon}{\log10}$ 以内にある。$\varepsilon$ は任意なので $d(P_1)=\log_{10}2$ である。$\square$