符号数(多様体)

1：$H^{2k}(M\sqcup N)=H^{2k}(M)\oplus H^{2k}(N)$ で、$[M\sqcup N]=[M]+[N]$ なので $Q_{M\sqcup N}=Q_M\oplus Q_N$ である。2：$[-M]=-[M]$ なので $Q_{-M}=-Q_M$ であり、$p$ と $q$ が入れ替わる。$\square$

$B$ を対角化する基底 $u_1,\dots,u_p,v_1,\dots,v_q$（$B(u_i,u_i)=1$、$B(v_j,v_j)=-1$、ほかの組は $0$）をとる（二次形式 の定理「平方完成による対角化」で係数を正規化したもの。非退化なので係数 $0$ は現れない）。
1：$V_+:=\operatorname{span}(u_i)$ 上で $B$ は正定値である。$x\in L\cap V_+$ なら $B(x,x)=0$ なので $x=0$ である。よって $\dim L+p\le\dim V=p+q$、すなわち $\dim L\le q$ である。$V_-:=\operatorname{span}(v_j)$ で同様にして $\dim L\le p$ である。
2：1 から $p+q=2\dim L\le2\min(p,q)$ なので $p=q$ である。
3：$p=q$ なら $L:=\operatorname{span}(u_i+v_i\mid i=1,\dots,p)$ とおくと、$B(u_i+v_i,u_j+v_j)=\delta_{ij}-\delta_{ij}=0$ なので等方的で、$\dim L=p=\dim V/2$ である。$\square$

係数はすべて $\mathbb{R}$ とし、$i\colon M\hookrightarrow W$ を包含、$L:=i^*H^{2k}(W)\subset H^{2k}(M)$ とおく。$D_M\colon H^{2k}(M)\to H_{2k}(M)$ を Poincaré 双対、$D_W\colon H^{2k+1}(W,M)\to H_{2k}(W)$、$D_W(\psi)=[W,M]\frown\psi$ を Lefschetz 双対とすると、どちらも同型である（Poincaré双対 の定理「閉多様体の Poincaré 双対」「Lefschetz 双対」）。
第 1 段：$L$ は等方的． $a,b\in H^{2k}(W)$ について、$[M]=\partial[W,M]$ と対の完全列での $i_*\circ\partial=0$ により
$$ Q_M(i^*a,i^*b)=\langle i^*(a\smile b),\partial[W,M]\rangle=\langle a\smile b,\,i_*\partial[W,M]\rangle=0 . $$
第 2 段：$D_W\circ\delta=i_*\circ D_M$． ここで $\delta\colon H^{2k}(M)\to H^{2k+1}(W,M)$ は対の連結準同型である。$[W,M]$ を代表する鎖 $w$ をとると $m:=\partial w$ は $M$ の鎖で $[M]$ を代表する。$x\in H^{2k}(M)$ を代表する余輪体 $\varphi$ を $W$ の余鎖 $\tilde\varphi$ に延ばすと（$M$ にない単体では $0$ とおく）、$\delta\tilde\varphi$ は $M$ の鎖の上で $\delta\varphi=0$ になる相対余輪体で、$\delta x$ を代表する。キャップ積の境界公式（Poincaré双対 の補題「キャップ積の境界公式」）を $k$ を $2k$ として使うと
$$ \partial(w\frown\tilde\varphi)=m\frown\tilde\varphi-w\frown\delta\tilde\varphi $$
であり、$m\frown\tilde\varphi$ は $M$ の鎖 $m\frown\varphi$ を $W$ で見たものなので、$D_W(\delta x)=[w\frown\delta\tilde\varphi]=i_*[m\frown\varphi]=i_*D_M(x)$ である。
第 3 段：次元． 第 2 段から $\delta=D_W^{-1}\circ i_*\circ D_M$ なので $\operatorname{rank}\delta=\operatorname{rank}\bigl(i_*\colon H_{2k}(M)\to H_{2k}(W)\bigr)$ である。体係数の普遍係数定理により $H^{2k}(-)=\operatorname{Hom}(H_{2k}(-),\mathbb{R})$ は自然に同型で、$i^*$ は $i_*$ の双対写像である。$H_{2k}(M)$ は有限次元なので、双対写像の階数は元の写像の階数に等しく、$\operatorname{rank}i^*=\operatorname{rank}i_*$ である。対の完全列 $H^{2k}(W)\xrightarrow{i^*}H^{2k}(M)\xrightarrow{\delta}H^{2k+1}(W,M)$ により $\ker\delta=L$ なので
$$ \dim H^{2k}(M)=\dim\ker\delta+\operatorname{rank}\delta=\dim L+\operatorname{rank}i^*=2\dim L $$
である。第 1 段と sig-lem-isotropic の 2 により $\sigma(M)=0$ である。$\square$

sig-thm-boundary と sig-prop-basic により $0=\sigma(M_0\sqcup(-M_1))=\sigma(M_0)-\sigma(M_1)$ である。境界の向きの規約が文献によって境界全体で $\pm1$ だけ異なっても、$\sigma(-X)=-\sigma(X)$ なので結論は変わらない。$\square$

sig-ex-basic の 2 と sig-prop-basic により、それぞれの符号数は $\pm1$、$\pm2$ で $0$ でない。sig-thm-boundary から従う。$\square$

$f_*\colon H_{4k}(M;\mathbb{Z})\to H_{4k}(N;\mathbb{Z})$ は $\mathbb{Z}$ の間の同型なので、基本類 の定義「閉多様体の間の写像度」の $\deg f$ は $\pm1$ である。$f^*\colon H^{2k}(N;\mathbb{R})\to H^{2k}(M;\mathbb{R})$ は同型で、
$$ Q_M(f^*a,f^*b)=\langle f^*(a\smile b),[M]\rangle=\langle a\smile b,f_*[M]\rangle=\deg f\cdot Q_N(a,b) $$
なので、$Q_M$ は $\deg f\cdot Q_N$ と同型である。慣性法則により $\sigma(M)=\deg f\cdot\sigma(N)$ である。最後の主張は $M=N$、$\deg f=-1$ とすると $\sigma(N)=-\sigma(N)$ となることによる。$\square$

$m=\dim M$、$n=\dim N$ とする。$\sigma(M)\sigma(N)\ne0$ なら $m,n$ はともに $4$ の倍数なので、$m+n$ が $4$ の倍数でなければ両辺は $0$ である。以下 $m+n=4k$ とする。非連結な場合は、$M\times N$ が成分の直積の非交和なので、sig-prop-basic の 1 により両辺が成分ごとの和に分かれる。そこで $M,N$ は連結としてよい。$A_p:=H^p(M)$、$B_q:=H^q(N)$ とおく。
第 1 段：形式の式． Künneth の同型により $V:=H^{2k}(M\times N)=\bigoplus_{p}V_p$、$V_p:=A_p\otimes B_{2k-p}$ である（$a\otimes b$ を $a\times b$ と同一視する）。$a\in A_p$、$b\in B_q$、$c\in A_{p'}$、$d\in B_{q'}$（$p+q=p'+q'=2k$）について
$$ Q_{M\times N}(a\times b,c\times d)=(-1)^{qp'}\bigl\langle(a\smile c)\times(b\smile d),[M\times N]\bigr\rangle $$
である。$p+p'\ne m$ なら $p+p'>m$ か $q+q'>n$ なので $(a\smile c)\times(b\smile d)=0$ である。$p+p'=m$ なら $q+q'=n$ で、$a\smile c=\phi_M(a,c)\,u_M$、$b\smile d=\phi_N(b,d)\,u_N$（$\phi_M(a,c):=\langle a\smile c,[M]\rangle$、$\phi_N$ も同様）なので
$$ Q_{M\times N}(a\times b,c\times d)=\kappa\,(-1)^{qp'}\phi_M(a,c)\,\phi_N(b,d) $$
である。よって $V_p$ と $V_{p'}$ は $p'\ne m-p$ なら直交する。
第 2 段：直交分解． $V$ は、$p< m/2$ についての $W_p:=V_p\oplus V_{m-p}$ と、$m$ が偶数のときの $V_{m/2}$ の直交直和である。$Q_{M\times N}$ は非退化なので（Poincaré双対 の系「体係数の非退化対」）、各成分の上でも非退化である（成分の中で成分全体と直交する元は $V$ 全体と直交する）。各成分の対角化の基底を並べれば $V$ の対角化の基底になるので、$\sigma(M\times N)$ は各成分の符号数の和である。
第 3 段：対になる成分． $p< m/2$ なら $p\ne m-p$ なので $V_p$ は $W_p$ の等方部分空間である。Poincaré 双対の非退化対 $A_p\times A_{m-p}\to\mathbb{R}$、$B_q\times B_{n-q}\to\mathbb{R}$ により $\dim A_p=\dim A_{m-p}$、$\dim B_q=\dim B_{n-q}$ で、$m-p$ に対応する $B$ の次数は $2k-(m-p)=n-(2k-p)$ なので、$\dim W_p=2\dim V_p$ である。sig-lem-isotropic の 2 により $W_p$ の上の符号数は $0$ である。$m$（したがって $n$）が奇数なら成分はこれだけで、$\sigma(M\times N)=0=\sigma(M)\sigma(N)$ である。
第 4 段：中央の成分． $m=2i$、$n=2j$ とすると $i+j=2k$ なので $i,j$ の偶奇は等しく、$V_{m/2}=A_i\otimes B_j$ の上で $Q_{M\times N}(a\times b,c\times d)=\kappa(-1)^{ij}\phi_M(a,c)\phi_N(b,d)$ である。

• $i,j$ が偶数（$m,n$ が $4$ の倍数）のとき：$\phi_M=Q_M$、$\phi_N=Q_N$ である。$Q_M$ を対角化する基底 $e_s$（$Q_M(e_s,e_s)=\varepsilon_s=\pm1$）と $Q_N$ を対角化する基底 $f_t$（係数 $\varepsilon'_t$）をとると、$e_s\times f_t$ は $V_{m/2}$ の基底で、$Q_{M\times N}$ をこの基底で書くと対角成分 $\kappa\varepsilon_s\varepsilon'_t$ の対角行列になる。$\kappa>0$ なので、正の係数の個数から負の係数の個数を引くと $\bigl(\sum_s\varepsilon_s\bigr)\bigl(\sum_t\varepsilon'_t\bigr)=\sigma(M)\sigma(N)$ である。
• $i,j$ が奇数（$m,n$ が $4$ で割って $2$ 余る）のとき：次数付き可換性により $a\smile a=(-1)^{i^2}a\smile a=-a\smile a$ なので $\phi_M$ は非退化な交代形式であり、双線形形式 の定理「体の上の交代形式の標準形」により基底 $e_1,\dots,e_r,f_1,\dots,f_r$ で $\phi_M(e_s,e_{s'})=0$ となるものがある。$L:=\operatorname{span}(e_s)\otimes B_j$ は等方的で $\dim V_{m/2}=2\dim L$ なので、sig-lem-isotropic の 2 により $V_{m/2}$ の上の符号数は $0$ であり、$\sigma(M)=\sigma(N)=0$ と一致する。
  以上を第 2 段で足し合わせて $\sigma(M\times N)=\sigma(M)\sigma(N)$ を得る。$\square$