Eastonの定理
概要
Eastonの定理（Easton's theorem）とは、一般連続体仮説を満たすZFCの可算推移モデルと、正則基数の集合の上の関数 $E$ で単調性と $\operatorname{cf}(E(\kappa))>\kappa$ を満たすものが与えられたとき、基数と共終数を保つジェネリック拡大で、すべての $\kappa\in\operatorname{dom}E$ について $2^\kappa=E(\kappa)$ となるものがあるという定理である。この二つの条件はZFCで証明できる $2^\kappa$ の制約（冪の単調性とKönigの定理）であり、正則基数の冪はそれ以外には自由に選べる。この拡大は、台の大きさを制限した直積の強制概念（Easton強制）によって作られる。特異基数の冪はこれと違い、Silverの定理などのZFCの制約を受ける。
Easton の定理とは
Easton の定理（Easton's theorem）は、正則基数 $\kappa$ の冪 $2^\kappa$ について ZFC から証明できる制約が、単調性 $\kappa\le\lambda\Rightarrow2^\kappa\le2^\lambda$ と $\operatorname{cf}(2^\kappa)>\kappa$（Königの定理）の二つだけであることを示す定理である。W. B. Easton が 1970 年に強制法で示した。たとえば「すべての $n<\omega$ で $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+3}$」は ZFC と無矛盾である（ZFC が無矛盾なら）。
正確には、一般連続体仮説（GCH、すべての無限基数 $\kappa$ で $2^\kappa=\kappa^+$）を満たす可算推移モデル $M$ と、正則基数の集合の上の関数 $E$ で二つの制約を満たすものが与えられたとき、基数を一つも潰さずに $2^\kappa=E(\kappa)$ を実現するジェネリック拡大がある。条件を座標ごとに並べた直積の強制概念を、台の大きさを「Easton 台」に制限して使う。
一方、特異基数 $\kappa$ の $2^\kappa$ は、それより小さい基数の冪からかなり制約される（Silver の定理、Shelah の pcf 理論）。Easton の定理は正則基数についての主張である。
二つの制約と主張
ZFC のもとで、無限基数 $\kappa,\lambda$ について次が成り立つ。
- $\kappa\le\lambda$ ならば $2^\kappa\le2^\lambda$。
- $\operatorname{cf}(2^\kappa)>\kappa$。
1：$\kappa\subset\lambda$ なので、$\kappa$ の部分集合はそのまま $\lambda$ の部分集合であり、$\mathcal P(\kappa)\subset\mathcal P(\lambda)$ である。2 は Königの定理 の定理「冪の基数の共終数」で底を $2$ とした場合である。$\square$
- 関数 $E$ が指標関数であるとは、$\operatorname{dom}E$ が正則基数からなる集合であり、各 $\kappa\in\operatorname{dom}E$ について $E(\kappa)$ が $\kappa$ 以上の基数であることをいう。
- 指標関数 $E$ が Easton 関数であるとは、次の二条件を満たすことをいう。
- (a) すべての $\kappa\in\operatorname{dom}E$ で $\operatorname{cf}(E(\kappa))>\kappa$。
- (b) $\kappa<\kappa'$（$\kappa,\kappa'\in\operatorname{dom}E$）なら $E(\kappa)\le E(\kappa')$。
(a)(b) は prop-easton-constraints の二つの制約を書き写したものである。
$M$ を ZFC＋GCH の可算推移モデル、$E\in M$ を $M$ の中の Easton 関数とし、$\mathbb P=\mathbb P(E)^M$ を def-easton-forcing の強制概念とする。$G$ を $M$ 上 $\mathbb P$-ジェネリックなフィルターとすると、次が成り立つ。
- $\mathbb P$ は共終数を保つ。特に $M$ と $M[G]$ の基数は同じである。
- $M[G]$ ですべての $\kappa\in\operatorname{dom}E$ について $2^\kappa=E(\kappa)$ である。
- より一般に、$M[G]$ で任意の無限基数 $\theta$ について $2^\theta=E^*(\theta)$ である。ここで $E'(\theta)=\max\bigl(\theta^+,\ \sup\{E(\kappa)\mid\kappa\in\operatorname{dom}E,\ \kappa\le\theta\}\bigr)$ とし、$\operatorname{cf}(E'(\theta))>\theta$ なら $E^*(\theta)=E'(\theta)$、そうでなければ $E^*(\theta)=E'(\theta)^+$ とおく。
1・2 は下で証明する（prop-easton-cofinality・prop-easton-lower・prop-easton-upper）。強制法の一般論から引用する補題（直積強制、閉じた強制概念と近似、良い名前）を使う。3 は Kun80 Chapter VIII の Theorem 4.7（pp. 265–267）であり、この記事では証明しない（$\theta\in\operatorname{dom}E$ の場合が 2 である）。$\operatorname{dom}E$ が真のクラス（たとえば正則基数全体）の場合も、強制概念を真のクラスにして同じ結論が得られる。これは Easton による結果で、一般のクラス強制とは違い、この場合は ZFC が保たれる（Kun80 p. 267 の注意。この記事では証明しない）。
- $E(\aleph_n)=\aleph_{n+3}$（$n<\omega$）は Easton 関数である。$M[G]$ では $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+3}$ であり、$\theta\ge\aleph_\omega$ では $E'(\theta)=\theta^+$ なので $2^\theta=\theta^+$ である。これにより、ZFC が無矛盾なら ZFC＋「$2^{\aleph_n}=\aleph_{n+3}$（$n<\omega$）」＋「$\theta\ge\aleph_\omega$ で $2^\theta=\theta^+$」も無矛盾である（Kun80 Corollary 4.8、p. 267）。
- $E(\aleph_0)=\aleph_{\omega_1}$ だけからなる $E$ は Easton 関数である（$\operatorname{cf}(\aleph_{\omega_1})=\aleph_1$）。$M[G]$ では $2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega_1}$ である。$\theta=\aleph_1$ では $E'(\aleph_1)=\aleph_{\omega_1}$ の共終数が $\aleph_1$ で $\aleph_1$ を超えないので、$2^{\aleph_1}=\aleph_{\omega_1+1}$ となる。単調性から $2^{\aleph_1}\ge\aleph_{\omega_1}$ であり、prop-easton-constraints の 2 から $2^{\aleph_1}\ne\aleph_{\omega_1}$ なので、これは最小の可能な値である。
Easton 強制
$\kappa$ を正則基数、$I$ を集合とし、$\operatorname{Fn}(I,2,{<}\kappa)$ を、$I$ の濃度 $\kappa$ 未満の部分集合から $\{0,1\}$ への関数全体を延長で順序づけた強制概念とする（$p\le q\iff p\supset q$。強制法 の Cohen 強制は $I=\omega$、$\kappa=\omega$ の場合）。
指標関数 $E$ について、$\mathbb P(E)$ を次の $p$ 全体とする。
- $p$ は $\operatorname{dom}E$ を定義域とする関数で、各 $\kappa$ について $p(\kappa)\in\operatorname{Fn}(E(\kappa),2,{<}\kappa)$。
- Easton 台：$\operatorname{supp}(p)=\{\kappa\mid p(\kappa)\ne\emptyset\}$ とおくと、任意の正則基数 $\lambda$ について $|\operatorname{supp}(p)\cap\lambda|<\lambda$。
順序は座標ごとに $p\le q\iff(\forall\kappa)\ p(\kappa)\supset q(\kappa)$ で定め、最大元 $\mathbf 1$ はすべての座標が $\emptyset$ の関数とする。
$\lambda=\mu^+$ が後続基数なら $\lambda$ 未満の基数は高々 $|\mu|$ 個なので、Easton 台の条件は自動的に成り立つ。条件が効くのは $\lambda$ が弱到達不能基数（極限の正則基数）のときだけである（到達不能基数）。$\operatorname{dom}E=\{\kappa\}$ なら $\mathbb P(E)$ は $\operatorname{Fn}(E(\kappa),2,{<}\kappa)$ と同じものであり、Δ-システムと強制法の鎖条件 の $\mathrm{Add}(\kappa,\lambda)$ と同じく $\kappa$ の部分集合を $E(\kappa)$ 個加える。
以下、基数 $\lambda$ について $E^{\le\lambda}=E{\restriction}\{\kappa\mid\kappa\le\lambda\}$、$E^{>\lambda}=E{\restriction}\{\kappa\mid\kappa>\lambda\}$ とおく。
$p\mapsto(p{\restriction}\operatorname{dom}E^{\le\lambda},\ p{\restriction}\operatorname{dom}E^{>\lambda})$ は $\mathbb P(E)$ から直積 $\mathbb P(E^{\le\lambda})\times\mathbb P(E^{>\lambda})$（座標ごとの順序）への順序同型である。
制限した関数は Easton 台の条件を満たし、逆に二つの関数を合わせた関数の台は二つの台の和集合なので、任意の正則基数 $\lambda'$ について $|\operatorname{supp}\cap\lambda'|$ は $\lambda'$ 未満の二つの基数の和で $\lambda'$ 未満である。よって写像は全単射で、順序はどちらも座標ごとである。$\square$
$\lambda$ を $2^{<\lambda}=\lambda$ を満たす正則基数、$E$ を $\operatorname{dom}E\subset\lambda^+$（すべての $\kappa\in\operatorname{dom}E$ が $\kappa\le\lambda$）の指標関数とする。このとき $\mathbb P(E)$ は $\lambda^+$-鎖条件をもつ。すなわち、互いに両立しない条件の集合はすべて濃度 $\lambda$ 以下である。
要点：各条件の「使った座標」の集合 $d(p)$ は濃度 $\lambda$ 未満である。$\lambda^+$ 個の条件の $d(p)$ を一般化された Δ-システム補題で根 $r$ をもつ形にそろえ、$r$ の上の値まで一致する $\lambda^+$ 個を選ぶと、その二つは和をとって両立する。
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$p\in\mathbb P(E)$ に対し $d(p)=\{(\kappa,i)\mid\kappa\in\operatorname{dom}E,\ i\in\operatorname{dom}p(\kappa)\}$ とおく。$\kappa\le\lambda$ なので、Easton 台の条件を $\lambda$ に当てはめると、$\operatorname{supp}(p)$ は $\lambda$ 未満の $\kappa$ について $\lambda$ 未満個、$\kappa=\lambda$ を加えても $\lambda$ 未満個である。各 $\kappa$ で $|\operatorname{dom}p(\kappa)|<\kappa\le\lambda$ なので、$\lambda$ の正則性（正則基数 の命題「小さな集合の合併による判定」）から $|d(p)|<\lambda$ である。
$\{p_\alpha\mid\alpha<\lambda^+\}$ を相異なる条件とし、両立する二つがあることを示す。ある集合 $D$ が $\lambda^+$ 個の $\alpha$ で $d(p_\alpha)=D$ となるなら、その $\alpha$ の集合を $X$、$r=D$ とする。そうでなければ $\{d(p_\alpha)\}$ は濃度 $\lambda^+$ の族であり、Δ-システム の定理「一般化された Δ-システム補題」を基数 $\lambda^+$ と $\lambda$ に当てはめられる。その仮定の 2 は、$\theta\le\lambda$ について $\theta^{<\lambda}\le\lambda^{<\lambda}=(2^{<\lambda})^{<\lambda}=\lambda$ による（Δ-システムと強制法の鎖条件 の補題「2 の κ 未満乗の冪」）。こうして、濃度 $\lambda^+$ の $X\subset\lambda^+$ と根 $r$ で、$\alpha\ne\beta\in X$ なら $d(p_\alpha)\cap d(p_\beta)\subset r$ となるものが得られる。
$|r|<\lambda$ なので、$r$ から $\{0,1\}$ への関数は $2^{|r|}\le2^{<\lambda}=\lambda$ 個しかない。$\lambda^+$ は正則なので、濃度 $\lambda^+$ の $Y\subset X$ で、$\alpha,\beta\in Y$ なら $r$ の上で $p_\alpha$ と $p_\beta$ の値が一致するものがある。このとき $q(\kappa)=p_\alpha(\kappa)\cup p_\beta(\kappa)$ は関数で、$|q(\kappa)|<\kappa$ であり、$\operatorname{supp}(q)=\operatorname{supp}(p_\alpha)\cup\operatorname{supp}(p_\beta)$ は Easton 台の条件を満たす。$q$ は $p_\alpha,p_\beta$ の共通の強化である。$\square$
強制概念が $\lambda^+$-閉であるとは、長さ $\gamma<\lambda^+$ の減少列 $p_0\ge p_1\ge\cdots$（$\xi<\eta<\gamma\Rightarrow p_\eta\le p_\xi$）がつねに下界をもつことをいう。
$E$ を $\operatorname{dom}E\cap\lambda^+=\emptyset$（すべての $\kappa\in\operatorname{dom}E$ が $\kappa>\lambda$）の指標関数とする。このとき $\mathbb P(E)$ は $\lambda^+$-閉である。
要点：減少列の座標ごとの和集合が下界になる。各座標の大きさと台の大きさは、$\kappa>\lambda$ と正則基数の性質で抑えられる。
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$\langle p_\xi\mid\xi<\gamma\rangle$（$\gamma<\lambda^+$、したがって $|\gamma|\le\lambda$）を減少列とし、$q(\kappa)=\bigcup_{\xi<\gamma}p_\xi(\kappa)$ とおく。減少列なので $q(\kappa)$ は関数である。$\kappa>\lambda\ge|\gamma|$ は正則なので $|q(\kappa)|<\kappa$ である。正則基数 $\lambda'$ について、$\lambda'\le\lambda$ なら $\operatorname{dom}E\cap\lambda'=\emptyset$ である。$\lambda'>\lambda$ なら $\operatorname{supp}(q)\cap\lambda'=\bigcup_\xi(\operatorname{supp}(p_\xi)\cap\lambda')$ は $\lambda'$ 未満の濃度の集合 $|\gamma|$ 個の和なので、濃度は $\lambda'$ 未満である。よって $q\in\mathbb P(E)$ であり、$q$ は列の下界である。$\square$
定理の証明
以下 $M$、$E$、$\mathbb P$、$G$ は thm-easton のとおりとする。次の四つの一般的な事実を引用する（この記事では証明しない）。
- 直積強制：$\mathbb P_0,\mathbb P_1\in M$ について、$\mathbb P_0\times\mathbb P_1$-ジェネリックなフィルターは $G_0\times G_1$ の形であり、$G_1$ は $M$ 上 $\mathbb P_1$-ジェネリック、$G_0$ は $M[G_1]$ 上 $\mathbb P_0$-ジェネリックで、$M[G_0\times G_1]=M[G_1][G_0]$ である（Kun80 Chapter VIII の Theorem 1.4、p. 253）。
- 閉性：$M$ で $\lambda^+$-閉な強制概念は、定義域の濃度が $\lambda$ 以下の関数で値が $M$ の集合に入るものを新しく加えない（同 Chapter VII の Theorem 6.14、p. 214）。
- 近似：$M$ で $\lambda^+$-鎖条件をもつ強制概念の拡大に属する $f\colon\lambda\to\theta$ に対して、$f(\alpha)\in F(\alpha)$ かつ $M$ で $|F(\alpha)|\le\lambda$ となる $F\in M$ がある（同 Lemma 6.8、p. 212。可算鎖条件 の補題「近似補題」の一般化）。
- 良い名前：拡大の中の $\lambda$ の部分集合は、$\bigcup_{\xi<\lambda}\{\check\xi\}\times A_\xi$（各 $A_\xi$ は反鎖）という形の名前をもつ（同 Lemma 5.12、p. 208）。
$M$ を ZFC＋GCH の可算推移モデル、$E\in M$ を $M$ の中の指標関数とする。このとき $\mathbb P(E)^M$ は共終数と基数を保つ。$E$ が Easton 関数なら、これは thm-easton の 1 である。
$\theta$ が $M$ で正則、$M[G]$ で特異とし、$\lambda=\operatorname{cf}(\theta)^{M[G]}<\theta$ とおく。$\lambda$ は $M[G]$ で正則なので $M$ でも正則である。lem-easton-factor により $\mathbb P\cong\mathbb P_0\times\mathbb P_1$（$\mathbb P_0=\mathbb P(E^{\le\lambda})$、$\mathbb P_1=\mathbb P(E^{>\lambda})$）であり、直積強制により $M[G]=M[G_1][G_0]$ と書ける。
lem-easton-closed により $\mathbb P_1$ は $M$ で $\lambda^+$-閉なので、閉性により $M[G_1]$ は長さ $\lambda$ 以下の新しい列をもたない。特に $M[G_1]$ の $\mathbb P_0$ は $M$ のものと同じで、GCH から $M[G_1]$ でも $2^{<\lambda}=\lambda$ である。lem-easton-chain を $M[G_1]$ の中で使うと、$\mathbb P_0$ は $M[G_1]$ で $\lambda^+$-鎖条件をもつ。
$M[G]$ の中の共終写像 $f\colon\lambda\to\theta$ をとる。近似により、$f(\alpha)\in F(\alpha)$ かつ $M[G_1]$ で $|F(\alpha)|\le\lambda$ となる $F\in M[G_1]$ がある。各 $F(\alpha)$ は長さ $\lambda$ 以下の列の値域なので、閉性により $M$ に属し、$F\in M$ で、$M$ でも $|F(\alpha)|\le\lambda$ である。すると $\bigcup_{\alpha<\lambda}F(\alpha)\in M$ は $M$ で濃度 $\lambda$ 以下の、$\theta$ の共終部分集合となり、$\theta$ が $M$ で正則であることに反する。共終数を保てば基数を保つ（可算鎖条件 の補題「共終数を保てば基数を保つ」）。$\square$
prop-easton-cofinality の仮定のもとで、$G$ を $M$ 上 $\mathbb P(E)^M$-ジェネリックとすると、$M[G]$ ですべての $\kappa\in\operatorname{dom}E$ について $2^\kappa\ge E(\kappa)$ である。
$M$ の中で全単射 $h\colon E(\kappa)\times\kappa\to E(\kappa)$ をとり、$\alpha< E(\kappa)$ について
$$
A_\alpha=\{\xi<\kappa\mid(\exists p\in G)\ p(\kappa)(h(\alpha,\xi))=1\}
$$
とおく。$\langle A_\alpha\mid\alpha< E(\kappa)\rangle\in M[G]$ である。$\alpha\ne\beta$ について、ある $\xi$ で $p(\kappa)$ が $h(\alpha,\xi)$ と $h(\beta,\xi)$ に異なる値をとる条件 $p$ の全体 $D\in M$ は稠密である。実際、条件 $p$ の $\operatorname{dom}p(\kappa)$ は濃度 $\kappa$ 未満なので、$h(\alpha,\xi),h(\beta,\xi)\notin\operatorname{dom}p(\kappa)$ となる $\xi<\kappa$ があり、そこに $1$ と $0$ を置けばよい（台に $\kappa$ が一つ加わっても Easton 台の条件は保たれる）。$p\in G\cap D$ をとり、$p(\kappa)(h(\alpha,\xi))=1$、$p(\kappa)(h(\beta,\xi))=0$ とする（逆の値でも同様）。$\xi\in A_\alpha$ である。$\xi\in A_\beta$ とすると $q(\kappa)(h(\beta,\xi))=1$ となる $q\in G$ があり、$q$ と $p$ が両立しなくなって $G$ がフィルターであることに反する。よって $A_\alpha\ne A_\beta$ である。よって $M[G]$ に $\kappa$ の相異なる部分集合が $|E(\kappa)|^{M[G]}$ 個ある。基数は保たれるので $|E(\kappa)|^{M[G]}=E(\kappa)$ であり、$2^\kappa\ge E(\kappa)$ である。$\square$
thm-easton の仮定のもとで、$M[G]$ ですべての $\lambda\in\operatorname{dom}E$ について $2^\lambda\le E(\lambda)$ である。したがって prop-easton-lower と合わせて $2^\lambda=E(\lambda)$ であり、thm-easton の 2 が成り立つ。
$\lambda\in\operatorname{dom}E$ とする。$E(\lambda)\ge\lambda^+$（$\operatorname{cf}(E(\lambda))>\lambda$ による）と単調性から $E'(\lambda)=E(\lambda)=E^*(\lambda)$ である。$\lambda$ で分解し、$\mathbb P_0,\mathbb P_1,G_0,G_1$ を上と同じにとる。
$M$ の中で、$\kappa\le\lambda$ について $|\operatorname{Fn}(E(\kappa),2,{<}\kappa)|\le E(\kappa)^{<\kappa}\le E(\lambda)^\lambda$ であり、座標は $\lambda$ 個以下なので $|\mathbb P_0|\le(E(\lambda)^\lambda)^\lambda=E(\lambda)^\lambda$ である。GCH と $\operatorname{cf}(E(\lambda))>\lambda$ から $M$ で $E(\lambda)^\lambda=E(\lambda)$ である（Kun80 Chapter I の Lemma 10.42 (3)、p. 34）。閉性と prop-easton-cofinality により $M[G_1]$ でもこれらの等式は保たれ、$\mathbb P_0$ は $\lambda^+$-鎖条件をもつ。よって $M[G_1]$ で、反鎖は高々 $E(\lambda)^\lambda=E(\lambda)$ 個、良い名前は高々 $E(\lambda)^\lambda=E(\lambda)$ 個である。良い名前の事実から $M[G_1][G_0]=M[G]$ の $\lambda$ の部分集合はすべてこれらの名前の値なので、$M[G]$ で $2^\lambda\le E(\lambda)$ である。$\square$
条件を外したときの反例
thm-easton の 2 の仮定を一つずつ外す。2・3 行目では $M$ は ZFC＋GCH の可算推移モデルで、$E$ は指標関数だが Easton 関数ではない。prop-easton-cofinality と prop-easton-lower は指標関数で成り立つので、$M[G]$ で基数は保たれ、$2^\kappa\ge E(\kappa)$ である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $M$ で GCH が成り立つこと | $M\models2^{\aleph_0}=\aleph_2$ の可算推移モデル、$E(\aleph_0)=\aleph_1$ | $2^{\aleph_0}=E(\aleph_0)$ |
| 単調性 (b) | $E(\aleph_0)=\aleph_3$、$E(\aleph_1)=\aleph_2$ | $2^{\aleph_1}=E(\aleph_1)$ |
| 共終数の条件 (a) | $E(\aleph_0)=\aleph_\omega$ | $2^{\aleph_0}=E(\aleph_0)$ |
1 行目：$E$ は Easton 関数で、$\mathbb P(E)=\operatorname{Fn}(\aleph_1,2,{<}\omega)$ は可算鎖条件をもつ（可算鎖条件 の定理「有限部分関数の強制の ccc」）ので基数を保つ。$M$ の $\aleph_2$ 個の相異なる実数は $M[G]$ でも相異なり、$\aleph_2^M$ は $M[G]$ でも $\aleph_2$ なので、$M[G]$ で $2^{\aleph_0}\ge\aleph_2>E(\aleph_0)$ である。
2 行目：$M[G]$ で $2^{\aleph_1}\ge2^{\aleph_0}\ge E(\aleph_0)=\aleph_3>\aleph_2=E(\aleph_1)$ である（prop-easton-constraints の 1）。
3 行目：$M[G]$ で $2^{\aleph_0}\ge\aleph_\omega$ であり、prop-easton-constraints の 2 と $\operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\aleph_0$ から $2^{\aleph_0}\ne\aleph_\omega$ なので、$2^{\aleph_0}>\aleph_\omega$ である。
特異基数との違い
Easton の定理の構成では、特異基数 $\theta$ の冪は $E^*(\theta)$、すなわち単調性と prop-easton-constraints の 2 が許す最小の値になる（thm-easton の 3）。特異基数の冪には、この二つのほかにも ZFC の制約がある。たとえば Silver の定理は、$\theta$ が非可算な共終数をもつ特異基数で、すべての $\kappa<\theta$ で $2^\kappa=\kappa^+$ なら $2^\theta=\theta^+$ であることを述べる。特異基数 $\theta$ で $2^\theta$ を $E^*(\theta)$ より大きくするには、巨大基数に関わる仮定が要る（Kun80 pp. 267–268）。詳しくは 特異基数 を参照。
関連項目
参考文献
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