有限簡約群

$G$ は自分自身に右から $x\cdot g:=g^{-1}xF(g)$ で作用する。実際 $(x\cdot g)\cdot h=h^{-1}g^{-1}xF(g)F(h)=x\cdot(gh)$ であり、$F$ が多項式で与えられるのでこの作用は代数的である。$L(g)=1\cdot g$ なので、示すべきことは $1$ の軌道が $G$ 全体であることである。
段 1（固定部分群の有限性）．任意の $x\in G$ について、$S_x:=\{g\in G\mid g^{-1}xF(g)=x\}$ が有限集合であることを示す。$f(g):=xF(g)x^{-1}$ とおくと、$g\in S_x$ は $f(g)=g$ と同値である。$x$ の成分は有限体に入るので、$x\in GL_n(\mathbb{F}_{q'^j})$ となる $j\ge1$ があり、$m$ を $mj$ に取り替えると（$F^{mj}=\sigma_{q'}^{\,j}=\sigma_{q'^j}$）、$F^m=\sigma_{q'}$ かつ $F^m(x)=x$ としてよい。$f$ を繰り返すと、帰納法により
$$ f^m(g)=y\,F^m(g)\,y^{-1},\qquad y:=x\,F(x)\,F^2(x)\cdots F^{m-1}(x) $$
である（$f^{i}(g)=x F(x)\cdots F^{i-1}(x)\,F^i(g)\,(xF(x)\cdots F^{i-1}(x))^{-1}$ に $f$ を施すと $i+1$ の式になる）。$F^m(x)=x$ から $F^m(F^i(x))=F^i(F^m(x))=F^i(x)$ なので $F^m(y)=y$ であり、$f^m$ をさらに繰り返すと $f^{mt}(g)=y^tF^{mt}(g)y^{-t}$（$t\ge1$）となる。$y$ は有限群 $GL_n(\mathbb{F}_{q'})$ の元なので、位数 $t$ をとると $y^t=1$ で、$f^{mt}(g)=F^{mt}(g)=\sigma_{q'^t}(g)$ である。$f(g)=g$ なら $f^{mt}(g)=g$ なので $g\in GL_n(\mathbb{F}_{q'^t})$ であり、$S_x$ は有限集合 $G\cap GL_n(\mathbb{F}_{q'^t})$ に含まれる。
段 2（軌道は $G$ 全体）．事実の 1 つ目により、閉じた軌道 $O=x\cdot G$ がある。軌道写像 $\varphi\colon G\to\overline{O}=O$、$g\mapsto x\cdot g$ の点 $x\cdot g$ の逆像は剰余類 $S_xg$ で、段 1 により有限、すなわち次元 $0$ である。$G$ は連結なので既約であり（代数群 の定理「連結な代数群は既約」）、その像の閉包 $O$ も既約である。事実の 2 つ目から $0\ge\dim G-\dim O$、すなわち $\dim O\ge\dim G$ である。$O$ は既約な $G$ の閉部分集合で次元が $\dim G$ 以上なので、$O=G$ である。とくに $1\in O$ であり、軌道は互いに交わらないので $1$ の軌道も $O=G$ である。$\square$

要点：$\sigma_{q'}$ は閉集合を閉集合に移す全単射で、$F^m=\sigma_{q'}$ から $F$ の逆写像が $F^{m-1}\circ\sigma_{q'}^{-1}$ と連続になる。

1：Borel 部分群 $B_0$ を一つとる。lem-frg-homeomorphism により $F(B_0)$ も Borel 部分群なので、Borel部分群 の定理「Borel 部分群の主定理」の 2 により $F(B_0)=gB_0g^{-1}$ となる $g\in G$ がある。thm-frg-lang により $y^{-1}F(y)=g^{-1}$ となる $y\in G$ をとり、$B:=yB_0y^{-1}$ とおく。$F(y)=yg^{-1}$ なので
$$ F(B)=F(y)F(B_0)F(y)^{-1}=yg^{-1}\cdot gB_0g^{-1}\cdot gy^{-1}=yB_0y^{-1}=B $$
である。$B$ は Borel 部分群の共役なので Borel 部分群である。
2：$B,B'$ を $F$ で保たれる Borel 部分群とする。同じ定理の 2 により $B'=gBg^{-1}$ となる $g\in G$ がある。$F$ を施すと $B'=F(g)BF(g)^{-1}$ なので、$g^{-1}F(g)$ は $B$ を正規化し、同じ定理の 3（$N_G(B)=B$）により $c:=g^{-1}F(g)\in B$ である。$F$ を $B$ に制限したものは、$B$ の Steinberg 自己準同型である（$F^m|_B=\sigma_{q'}|_B$、$\sigma_{q'}(B)=F^m(B)=B$）。$B$ は連結なので、thm-frg-lang を $B$ に適用して $a^{-1}F(a)=c$ となる $a\in B$ をとる。$x:=ga^{-1}$ とおくと
$$ F(x)=F(g)F(a)^{-1}=gc\cdot c^{-1}a^{-1}=ga^{-1}=x $$
なので $x\in G^F$ であり、$xBx^{-1}=ga^{-1}Ba\,g^{-1}=gBg^{-1}=B'$ である。$\square$

$F(gH)=F(g)F(H)=F(g)H$ なので作用は well-defined である。$gH$ が固定されるのは $g^{-1}F(g)\in H$ のときに限る。写像は well-defined（$h\in H^F$ なら $xhH=xH$）で、$x\in G^F$ なら $xH$ は固定される。単射：$x,x'\in G^F$ で $xH=x'H$ なら $x^{-1}x'\in H\cap G^F=H^F$ である。全射：$gH$ が固定されるとし、$c:=g^{-1}F(g)\in H$ とおく。$F|_H$ は $H$ の Steinberg 自己準同型で $H$ は連結なので、thm-frg-lang により $a^{-1}F(a)=c$ となる $a\in H$ がある。$x:=ga^{-1}$ は prf-frg-borel と同じ計算で $F(x)=x$ を満たし、$xH=gH$ である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら明らかなので $n\ge2$ とし、$W\neq0$ とする。
まず $W\supset E_1$ を示す。$\mathcal{U}$ の位数は $q^{n(n-1)/2}$ で $p$ の冪である。$\mathcal{U}$ は $W\setminus\{0\}$ に作用し、各軌道の大きさは $\lvert\mathcal{U}\rvert$ の約数なので、$1$ か $p$ の倍数である。$\lvert W\setminus\{0\}\rvert=q^{\dim W}-1$ は $p$ で割り切れないので、大きさ $1$ の軌道、すなわち $\mathcal{U}$ のすべての元で固定される $v\neq0$ が $W$ の中にある。$i< j$ について $I+E_{ij}\in\mathcal{U}$（$E_{ij}$ は行列単位）なので $(I+E_{ij})v=v+v_je_i=v$ から $v_j=0$（$j\ge2$）であり、$v\in E_1\setminus\{0\}$、よって $E_1=\mathbb{F}_qv\subset W$ である。
次に $\bar V:=\mathbb{F}_q^n/E_1$ を基底 $\bar e_2,\dots,\bar e_n$ で $\mathbb{F}_q^{n-1}$ と同一視する。$u\in\mathcal{U}$ は $E_1$ を保つので $\bar V$ に作用し、その行列は $u$ から第 1 行と第 1 列を除いた行列である。この対応 $\mathcal{U}\to U_{n-1}(\mathbb{F}_q)$ は全射である（右下の $(n-1)$ 次のブロックに任意の上三角な冪単行列を置き、第 1 行の残りを $0$ にすればよい）。$W/E_1\subset\bar V$ は $U_{n-1}(\mathbb{F}_q)$ のすべての元で保たれるので、帰納法の仮定により $\langle\bar e_2,\dots,\bar e_i\rangle$ の形であり、$W=E_i$ である。$\square$

1：一般線形群 の注意「上三角な単位三角行列とSylow部分群」である（$\lvert\Gamma\rvert=q^{n(n-1)/2}\prod_{i=1}^n(q^i-1)$ の $p$ 部分は $q^{n(n-1)/2}=\lvert\mathcal{U}\rvert$）。
2：$\mathcal{B}$ の元 $b$ は対角成分を取り出す準同型 $\mathcal{B}\to T_n(\mathbb{F}_q)$ の核 $\mathcal{U}$ を正規化するので、$\mathcal{B}\subset N_\Gamma(\mathcal{U})$ である。逆に $g\in N_\Gamma(\mathcal{U})$ とする。$u\in\mathcal{U}$ について $ugE_i=g(g^{-1}ug)E_i=gE_i$（$g^{-1}ug\in\mathcal{U}$ は $E_i$ を保つ）なので、$gE_i$ は $\mathcal{U}$ で保たれる $i$ 次元の部分空間であり、lem-frg-u-stable により $gE_i=E_i$ である。すべての $i$ で $gE_i=E_i$ なので、$g$ は上三角、すなわち $g\in\mathcal{B}$ である。
3：Sylowの定理 により Sylow $p$ 部分群はすべて $\mathcal{U}$ と共役で、その個数は $[\Gamma:N_\Gamma(\mathcal{U})]=[\Gamma:\mathcal{B}]$ である。$g\mathcal{U}g^{-1}$ に旗 $gE_\bullet$ を対応させると、2 によりこれは well-defined かつ単射であり（$g\mathcal{U}g^{-1}=g'\mathcal{U}g'^{-1}$ $\iff$ $g^{-1}g'\in\mathcal{B}$ $\iff$ $gE_\bullet=g'E_\bullet$）、$\Gamma$ は完全旗に推移的に作用するので全射である。$g\mathcal{U}g^{-1}$ は旗 $gE_\bullet$ を保ち、各段の商に自明に作用する元の全体である。個数は ex-frg-flags の計算から従う。$\square$