ベクトル束のSobolev空間

同義語：束値Sobolev空間Sobolev spaces of vector bundles

概要

前提知識: Sobolev空間の基本事項, 弱微分, ベクトル束, 1の分割

定義

ベクトル束の切断は、局所的な枠を選ぶとベクトル値関数である。そこで成分ごとに弱微分をとれば、切断のSobolev正則性を測れそうに見える。ただし、別の座標や枠を選ぶと、成分は変数変換と行列の乗算の両方で変わる。これらの操作が同じ階数の弱微分を保つことを確かめて初めて、束の上の空間を定義できる。
ベクトル束のSobolev空間（Sobolev spaces of vector bundles）は、この局所表示によって切断の弱微分の可積分性を定めた空間である。この記事では、整数階について局所定義の独立性を証明し、コンパクト多様体ではノルムの同値性、完備性、滑らかな切断の稠密性まで示す。最後の稠密性には指数が有限であることが必要になる。
以下、$M$ は境界のないHausdorffかつ第2可算な滑らかな$n$次元多様体、$n\ge1$ とし、$E\to M$ は階数$r\ge1$ の滑らかな実または複素ベクトル束とする。係数体を$\mathbb K$、$m$ を非負整数、$1\le p\le\infty$ とする。切断は可測な切断をほとんど至る所の一致で同一視する。どの滑らかな正の密度を用いても、局所の零集合は同じである。
座標$x:U\to\Omega\subset\mathbb R^n$ と滑らかな枠$e=(e_1,\ldots,e_r)$ を選ぶ。切断$s$ の成分列を$u:\Omega\to\mathbb K^r$ と書く約束は
$$ s(z)=e(z)u(x(z)) $$
である。枠を行ベクトル、成分を列ベクトルと考える。

局所Sobolev切断

切断$s$ が$W^{m,p}_{\mathrm{loc}}(M,E)$ に属するとは、自明化された座標近傍における各成分$u$ が$W^{m,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega;\mathbb K^r)$ に属することをいう。
右辺の意味は、任意の$\chi\in C_c^\infty(\Omega)$ に対し、$\chi u$ を$\mathbb R^n$ に零延長したものの全弱微分$D^\alpha(\chi u)$、$|\alpha|\le m$ が$L^p$ に属することである。$m=0$ は局所$L^p$ の条件である。

最初は一つの自明化された被覆についてこの条件を課せばよい。どの滑らかな座標と枠に替えても同じ条件になることを、thm-bundle-sobolev-local-independentで示す。局所空間は一般の$M$ で定まるが、大域ノルムの選択によらない空間を以下の形で得るためには、まず$M$ のコンパクト性を仮定する。

記法

記号	意味
$D^\alpha$	多重指数$\alpha$ の弱微分、$\lvert\alpha\rvert$ はその階数
$x=F(y)$	重なった座標の変換$x\circ y^{-1}$
$e_y=e_xg$	同じ点の二つの枠の関係。座標表示では$g=g(y)$
$\rho_i$	自明化された有限被覆に従う非負の滑らかな1の分割
$a_i(s)$	$(\rho_i s)$ の局所成分を$\mathbb R^n$ へ零延長したもの
$N_{\mathcal A}$	座標・枠・1の分割の組$\mathcal A$ によるノルム
$H^m(M,E)$	$W^{m,2}(M,E)$ の別表記

ベクトル値Euclidean空間では、$p<\infty$ に対し
$$ \|u\|_{m,p}^p=\sum_{|\alpha|\le m}\|D^\alpha u\|_{L^p}^p $$
とし、$p=\infty$ では有限個の$L^\infty$ ノルムの最大値を用いる。有限次元の成分ノルムの選択を替えても同値なノルムになる。

局所表示を移す二つの操作

まず変数変換と行列乗数を別々に扱う。これにより、測度の変換を切断の係数の変換と取り違えずにすむ。

行列乗数と座標変換

$\Omega,\Omega'$ を$\mathbb R^n$ の開集合とする。

滑らかな行列関数$A$ の$m$ 階までの導関数が有界なら、$u\mapsto Au$ は$W^{m,p}(\Omega;\mathbb K^r)$ 上の有界作用素である。
$F:\Omega'\to\Omega$ が滑らかな微分同相で、$F,F^{-1}$ の$1$ 階から$\max(1,m)$ 階までの導関数が有界なら、$u\mapsto u\circ F$ は$W^{m,p}(\Omega)$ から$W^{m,p}(\Omega')$ への有界同型である。
局所版では、これらの有界性を関係するコンパクト集合の近傍でだけ仮定すればよい。

行列乗数． 分布としての積を試験関数へ移すと、一階の弱微分は
$$ \partial_j(Au)=(\partial_jA)u+A\partial_ju $$
である。成分ごとにこの公式を反復すると
$$ D^\alpha(Au)= \sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta} (D^\beta A)D^{\alpha-\beta}u . $$
各係数が有界なので、有限和の三角不等式で$\|Au\|_{m,p}\le C\|u\|_{m,p}$ を得る。ここでは$p=\infty$ も含め、滑らかな関数の強ノルム密度を使っていない。
零階の変数変換． $p<\infty$ なら
$$ \|v\circ F\|_{L^p(\Omega')}^p =\int_\Omega |v(x)|^p|\det DF^{-1}(x)|\,dx . $$
逆写像の一階微分が有界なので、行列式も有界である。$p=\infty$ では、微分同相と逆写像が零集合を零集合へ送るため、本質上限は一致する。零集合保存は、相対コンパクトな近傍で写像がLipschitzであることと、可算個のそのような近傍で開集合を覆うことから従う。
一階の連鎖則． 任意の試験関数$\psi\in C_c^\infty(\Omega')$ を固定する。その台の像の近くで$1$ になる切り落としを$u$ に掛け、軟化子で局所的に近似したものを$u_\varepsilon$ とする。$u\in W^{1,p}$ なら局所的に$u,\partial_i u$ は$L^1$ に属し、$u_\varepsilon,\partial_i u_\varepsilon$ はそれぞれ$L^1$ で収束する。これは$p=\infty$ の場合にも成立する。
滑らかな$u_\varepsilon$ について古典的な連鎖則と部分積分を用いると
$$ \int (u_\varepsilon\circ F)\partial_j\psi\,dy =-\int\sum_i(\partial_i u_\varepsilon\circ F) \partial_jF_i\,\psi\,dy . $$
試験関数の台の近傍では$DF$ と$\det DF^{-1}$ が有界なので、零階の変数変換を$L^1$ に適用して両辺の極限をとれる。したがって
$$ \partial_j(u\circ F)= \sum_i(\partial_i u\circ F)\partial_jF_i $$
が弱微分として成り立つ。右辺の$L^p$ 評価には先ほどの零階評価を使う。
高階への帰納． $m\ge2$ とし、$m-1$ 階までの主張を仮定する。$u\in W^{m,p}$ なら$\partial_i u\in W^{m-1,p}$ であり、帰納法から$\partial_i u\circ F$ もそうである。一階の連鎖則の右辺で、$\partial_jF_i$ を$m-1$ 階の行列乗数とみなせる。よって全一階微分が$W^{m-1,p}$ に属し、$u\circ F\in W^{m,p}$ となる。この再帰的条件は全$|\alpha|\le m$ の弱微分をもつ条件と同値である。弱微分の交換は試験関数の古典微分の交換から従う。
逆の$F^{-1}$ に同じ議論を適用すれば二方向の評価になる。局所版では、切り落とした台の近傍に現れる有限個の係数だけを評価すればよい。$\square$

この補題の一階の変数変換はBre11 Proposition 9.6（pp.270–271）に対応する。同書の仮定のJacはJacobian行列を表す。積分の測度変換に出る行列式とは役割が異なる。高階の結論は、上の弱積公式と帰納法によって得たものである。

同じ切断、同じ積分を追う

座標の重なりで$x=F(y)$、$e_y(y)=e_x(F(y))g(y)$ とする。同じ切断を両方で表すと
$$ e_x(F(y))u_x(F(y))=e_y(y)u_y(y) $$
なので
$$ u_y(y)=g(y)^{-1}u_x(F(y)). $$
この式を、切断から局所成分をとる写像$C_x,C_y$ の図式で表すと次のようになる。
$$ \begin{CD} s|_{U\cap V} @>{C_x}>> u_x\\ @V{\mathrm{id}}VV @VV{u\mapsto g^{-1}(u\circ F)}V\\ s|_{U\cap V} @>{C_y}>> u_y . \end{CD} $$
切断の成分には$|\det DF|$ を掛けない。一方、同じ正の密度$\mu$ と同じ束の計量を
$$ d\mu=w_x(x)|dx|=w_y(y)|dy|,\qquad |s|_h^2=u_x^*H_xu_x=u_y^*H_yu_y $$
と書くと、その変換式は
$$ w_y=(w_x\circ F)|\det DF|, \qquad H_y=g^*(H_x\circ F)g $$
である。ここで$*$ は実の場合は転置、複素の場合は共役転置である。この二つの式を使うと、同じ零階の幾何的積分$\int_M|s|_h^p\,d\mu$ がどちらの表示でも一致する。

局所定義の独立性

$W^{m,p}_{\mathrm{loc}}(M,E)$ は、滑らかな座標と枠の選び方によらない。局所成分のコンパクトな台をもつ切り落としから作る半ノルム族の位相も、選び方によらない。

同じ重なりの相対コンパクトな部分では、$F,F^{-1},g,g^{-1}$ の必要な導関数は有界である。したがってlem-bundle-sobolev-transferを$g^{-1}(u_x\circ F)$ に適用できる。
新しい座標近傍で$\chi$ を一つ固定する。その台はコンパクトなので、旧座標近傍の有限個で覆われる。重なりの内部に台をもつ滑らかな関数で$\chi$ を有限和に分ける。各項は旧座標で切り落とした成分から、上の移送と滑らかな乗数によって得られるため$W^{m,p}$ に属する。評価定数はこの有限個の項についてだけ必要である。逆向きに同じ操作を行うと、集合の一致と、各半ノルムを有限個の他の半ノルムで押さえる評価がともに得られる。$\square$

この局所結論には$M$ のコンパクト性を使わない。滑らかな正の密度や束の計量を局所ノルムに用いた場合も、コンパクト集合上で正の上限・下限をとれるので、同じ局所空間になる。ただし、それだけで無限遠を含む大域評価が得られたわけではない。

コンパクト多様体上の大域空間

ここから$M$ をコンパクトとする。有限個の自明化された座標近傍$U_i$ と、それに従う滑らかな1の分割$\rho_i$ を、$\operatorname{supp}\rho_i\Subset U_i$ となるようにとる。$\mathcal A$ はこの座標・枠・1の分割をまとめた記号とする。
$(\rho_i s)$ の局所成分を座標空間の外で$0$ としたものを$a_i(s)$ と書く。台が座標近傍の内部にあるため、零延長の弱微分には境界項が出ない。具体的には、台の近くで$1$ の切り落としを試験関数に掛けてから部分積分すれば、近傍内の弱微分の零延長が得られる。

大域Sobolevノルム

コンパクトな$M$ 上で、$s\in W^{m,p}_{\mathrm{loc}}(M,E)$ に対し
$$ N_{\mathcal A}(s)= \begin{cases} \bigl(\sum_i\|a_i(s)\|_{m,p}^p\bigr)^{1/p},&p<\infty,\\ \max_i\|a_i(s)\|_{m,\infty},&p=\infty \end{cases} $$
と定める。この空間を$W^{m,p}(M,E)$ と書く。$p=2$ では$H^m(M,E)$ とも書く。

有限個の切り落としの台はコンパクトなので、局所条件から各項は有限である。$\sum_i\rho_i=1$ により、$N_{\mathcal A}(s)=0$ なら$s=0$ である。三角不等式と斉次性も局所ノルムから従い、これは確かにノルムである。

ノルムの同値性と完備性

コンパクトな$M$ 上で、異なる有限の選択$\mathcal A,\mathcal B$ から得られるノルムは同値である。すなわち、ある$C\ge1$ が存在して、すべての$s$ について
$$ C^{-1}N_{\mathcal A}(s)\le N_{\mathcal B}(s)\le C N_{\mathcal A}(s) $$
が成り立つ。$W^{m,p}(M,E)$ はBanach空間であり、$p=2$ では上のノルムに対応する内積でHilbert空間になる。

ノルムの比較． $\mathcal B$ の1の分割を$\sigma_j$ とし、その座標・枠での局所成分を$b_j(s)$ とする。
$$ \sigma_js=\sum_i\sigma_j\rho_i s $$
を一項ずつ移す。$\operatorname{supp}\sigma_j\cap\operatorname{supp}\rho_i$ は、二つの座標近傍の重なりの中のコンパクト集合である。その近くで$1$ になり、重なりの内部に台をもつ切り落としを挿入する。この挿入は$\sigma_j\rho_i s$ を変えず、関係する変換と枠の導関数を有界な部分へ限定する。
lem-bundle-sobolev-transferから各項の$W^{m,p}$ ノルムは$C_{ij}\|a_i(s)\|_{m,p}$ 以下である。有限個の定数の最大をとると
$$ \|b_j(s)\|_{m,p}\le C_0\sum_i\|a_i(s)\|_{m,p}. $$
有限和のHölderの不等式から$N_{\mathcal B}\le C N_{\mathcal A}$ を得る。$p=1$ では和をそのまま評価し、$p=\infty$ では有限個の最大値で評価する。$\mathcal A,\mathcal B$ を入れ替えれば逆の評価になる。
局所空間の完備性． まずEuclidean空間で、$u_\nu$ が$W^{m,p}$ のCauchy列なら、各$D^\alpha u_\nu$ は$L^p$ で極限$v_\alpha$ をもつ。任意の試験関数$\varphi$ について
$$ \int u_\nu D^\alpha\varphi =(-1)^{|\alpha|}\int D^\alpha u_\nu\,\varphi $$
の極限をとると、$D^\alpha v_0=v_\alpha$ が分布として成り立つ。極限の操作には、コンパクトな台をもつ試験関数とHölderの不等式を使う。$p=\infty$ なら試験関数の$L^1$ ノルムで評価する。よって$W^{m,p}$ は完備である。
局所極限の貼り合わせ． $s_\nu$ を$N_{\mathcal A}$ のCauchy列とする。上の完備性から、各$a_i(s_\nu)$ は$W^{m,p}(\mathbb R^n;\mathbb K^r)$ で極限$a_i$ をもつ。極限も$\operatorname{supp}\rho_i$ の座標像に台をもつので、枠を用いて$M$ 上へ戻し、外で$0$ とした可測切断$A_i$ を作れる。
元の切断では$\rho_j(\rho_i s_\nu)=\rho_i(\rho_j s_\nu)$ である。枠・座標の移送は重なりのコンパクトな部分で零階$L^p$ に連続だから、極限でも
$$ \rho_jA_i=\rho_iA_j $$
が成り立つ。$s=\sum_i A_i$ とおけば
$$ \rho_js=\sum_i\rho_jA_i =\sum_i\rho_iA_j=A_j . $$
したがって$a_j(s)=a_j$ であり、$N_{\mathcal A}(s_\nu-s)\to0$ となる。単に局所極限を足すだけでなく、この重なりの等式を保つことが完備性の要点である。
$p=2$ では、有限個の全弱微分の$L^2$ 内積の和が$N_{\mathcal A}$ を与える。その内積で完備なのでHilbert空間である。$\square$

ノルムが同値というのは、数値として等しいという意味ではない。同じ切断の集合と収束の概念が得られるという意味である。座標、枠、1の分割の選択を記号から省略できるのは、この定理による。

滑らかな切断による近似

弱微分で定義した空間と、滑らかな切断をノルムで完成した空間の一致は、定義の独立性とは別に証明する必要がある。

有限指数での滑らかな密度

$M$ がコンパクト、$m\ge0$ が整数、$1\le p<\infty$ なら、$C^\infty(M,E)$ は$W^{m,p}(M,E)$ で稠密である。したがって、滑らかな切断の$N_{\mathcal A}$ による完成は、弱微分で定義した空間と一致する。

$s\in W^{m,p}(M,E)$ を固定する。前節の$a_i=a_i(s)$ はコンパクトな台をもち、その台は座標像の内部にある。標準的な軟化子$\eta_\varepsilon$ によって
$$ a_{i,\varepsilon}=\eta_\varepsilon*a_i $$
とおく。$\varepsilon$ が十分小さければ、その台は依然として同じ座標像の内部の、一つの固定コンパクト集合に含まれる。
全$|\alpha|\le m$ について
$$ D^\alpha a_{i,\varepsilon} =\eta_\varepsilon*D^\alpha a_i,\qquad \|D^\alpha a_{i,\varepsilon}-D^\alpha a_i\|_{L^p}\longrightarrow0 . $$
微分との交換は分布の定義から、収束は有限$p$ の$L^p$ における軟化近似から従う。有限個の弱微分を足せば$\|a_{i,\varepsilon}-a_i\|_{m,p}\to0$ である。
$a_{i,\varepsilon}$ を元の枠で切断へ戻し、近傍の外へ$0$ で延ばした滑らかな切断を$A_{i,\varepsilon}$ とする。台が近傍の内部にあるので、延長後も滑らかである。$s_\varepsilon=\sum_i A_{i,\varepsilon}$ とおくと$s_\varepsilon\in C^\infty(M,E)$ である。
各$i$ の差は固定したコンパクトな台をもつので、ノルム比較の証明で用いた局所移送評価により
$$ N_{\mathcal A}(s_\varepsilon-s) \le C\sum_i\|a_{i,\varepsilon}-a_i\|_{m,p}\longrightarrow0 . $$
最後は有限和である。前節の完備性と合わせると、完成との一致も従う。$\square$

特に$p=2$ の整数階空間は、局所的な全弱微分の二乗可積分性でも、滑らかな切断のHilbert空間としての完成でも記述できる。Wel08 Chapter IV §1（pp.109–110）は、局所自明化と1の分割から束のSobolevノルムを作り、滑らかな切断の完成を用いる。その整数階の部分と、ここでの弱微分による定義は上の定理で結ばれる。同書の任意の実数階のFourier定義については、この記事の結論には含めない。

反例：無限指数では滑らかな完成と異なる

円周の一点の近くに座標$x\in(-2,2)$ をとり、自明な実直線束を考える。$\chi\in C_c^\infty((-2,2))$ が$0$ の近くで$1$ となるように選ぶと
$$ u(x)=\chi(x)|x| $$
を座標近傍の外で$0$ とした切断は$W^{1,\infty}$ に属する。
もし滑らかな切断$u_\nu$ が$W^{1,\infty}$ ノルムで$u$ へ収束すれば、$0$ の近くでその導関数は$\operatorname{sgn}(x)$ に本質上限ノルムで収束する。ある$\nu$ について誤差が$1/2$ 未満なら、$x>0$ のほとんど至る所で$u_\nu'(x)>1/2$、$x<0$ のほとんど至る所で$u_\nu'(x)<-1/2$ となる。連続性により、それぞれの側の全点で弱い不等式が成立する。$x\to0$ の左右の極限が両立しない。よってそのような近似は存在しない。
この反例は、コンパクトな底空間、滑らかな束、整数階であっても、$p=\infty$ の空間全体を滑らかな切断の強ノルム完成と定義すると別の空間になることを示す。局所定義の独立性や完備性が壊れるわけではない。

接続を使ったノルム

成分を直接微分するかわりに、接続による共変微分を使うこともできる。$M$ に滑らかなRiemann計量、$E$ に滑らかな正定値の実またはHermite計量$h$、滑らかな接続$\nabla^E$ を固定する。反復共変微分$\nabla^j s$ には、$M$ のLevi-Civita接続と$\nabla^E$ の誘導接続を用いる。密度$d\mu$ は滑らかで正のものとする。
$p<\infty$ では
$$ G_{\nabla,m,p}(s)= \left(\sum_{j=0}^m\int_M|\nabla^j s|^p\,d\mu\right)^{1/p}, \qquad \nabla^0s=s $$
とし、$p=\infty$ では各$\nabla^j s$ の本質上限の最大値を用いる。一般の局所可積分切断には、接続の局所微分式を分布の意味で作用させる。

接続ノルムとの同値性

コンパクトな$M$ 上では、$G_{\nabla,m,p}(s)$ が有限となる切断はちょうど$W^{m,p}(M,E)$ の切断であり、$G_{\nabla,m,p}$ と$N_{\mathcal A}$ は同値である。滑らかな計量、正の密度、接続を別のものに選び直しても、同じ空間と同じノルム位相を得る。

局所枠では$\nabla^E=\partial+\Gamma$ と書ける。反復微分の成分は、最高階の通常微分に低階微分の項を加えた形
$$ \nabla^j u=\partial^j u+ \sum_{|\alpha|< j}B_{j,\alpha}D^\alpha u $$
になる。ここで$\partial^j$ は順序付きの全$j$ 階微分を並べたもの、$B_{j,\alpha}$ は滑らかな係数行列であり、底の接続の係数も含む。式は$j$ に関する帰納法で得られる。最高階の係数は恒等であり、逆向きにも低階から順に解いて
$$ \partial^j u=\nabla^j u+ \sum_{k< j}C_{j,k}\nabla^k u $$
という形になる。分布に対する滑らかな乗数の積公式により、これらの等式は弱微分にも使える。
$\rho_i s$ にこの式を適用する。各$\rho_i$ の台の近傍は相対コンパクトなので、必要な有限階の係数、逆の係数、$\rho_i$ の導関数はすべて有界である。束の計量と底のテンソル計量、密度の座標表示も、そこで正の上下限をもつ。よって局所Euclideanノルムと幾何的ノルムを双方から評価できる。
一方、Leibnizの公式から$\nabla^j(\rho_i s)$ は$\rho_i\nabla^j s$ と低階共変微分の有限和になるので、$N_{\mathcal A}(s)\le C G_{\nabla,m,p}(s)$ である。逆に$s=\sum_i\rho_i s$ の共変微分をとり、局所での最初の三角形の式を用いれば$G_{\nabla,m,p}(s)\le C' N_{\mathcal A}(s)$ を得る。すべて有限和であり、端点$p=1,\infty$ も同様である。
どの滑らかな選択についても同じ$N_{\mathcal A}$ と同値になるから、選択を替えた場合の主張も従う。$\square$

この命題は、コンパクト性が単なる座標の選び方の問題を、大域の有界性へ結びつける例である。計量が各点で正定値であることと、その比較定数が大域で一様であることは、非コンパクトな空間では別の条件になる。

条件を変えたときの境界

反例：滑らかな単位的枠でも大域評価は保たれない

$\mathbb R$ 上の自明な複素直線束で、$dx$ と標準Hermite計量を固定する。
$$ A(x)=e^{ix^3/3},\qquad u(x)=\frac1{1+x^2} $$
とおく。$u,u'$ は$L^2(\mathbb R)$ に属するが
$$ (Au)'=A(u'+ix^2u),\qquad |(Au)'|^2=|u'|^2+\frac{x^4}{(1+x^2)^2} $$
であり、最後の項は無限遠で$1$ に近づくため積分できない。したがって$u\in H^1(\mathbb R)$ でも$Au\notin H^1(\mathbb R)$ である。
枠$e_y=e_xA^{-1}$ を選ぶと、同じ切断の係数は$u_y=Au_x$ となる。枠の遷移自体は滑らかで単位的だが、$A'=ix^2A$ が大域で有界でない。局所Sobolev空間は変わらない一方、無制御の枠を使って成分の大域$H^1$ ノルムだけを比較すると空間が変わる。これは同じ固定接続による幾何的ノルムの座標不変性を否定する例ではない。
同様に、$h_0=1$ と$h_1=e^{2x^2}$ はともに自明実直線束の滑らかな正の計量だが、大域$L^2$ 空間は異なる。例えば$u=(1+x^2)^{-1}$ は$h_0$ で二乗可積分、$h_1$ では$e^{2x^2}/(1+x^2)^2$ の積分が発散する。局所では計量の比に上下限をとれるが、$\mathbb R$ 全体にはとれない。

反例：一階の座標変換を高階へそのまま使えない

$-1< y<1$、$0< c<1/3$ で
$$ F(y)=y+c|y|^{3/2} $$
とする。$F'$ は連続で
$$ 1-\frac{3c}{2}\le F'(y)\le1+\frac{3c}{2} $$
をみたすので、$F$ と逆写像は有界な一階微分をもつ$C^1$ 微分同相である。しかし
$$ F''(y)=\frac{3c}{4}|y|^{-1/2}\quad(y\ne0) $$
は$L^2((-1,1))$ に属さない。$F'$ は連続であり、この局所$L^1$ 関数がその弱微分になるので、$0$ に別の跳躍項はない。
像の有界区間上の関数$u(x)=x$ は$H^2$ に属するが、$u\circ F=F$ は$H^2$ に属さない。また、同じ変換で1形式$dx$ の係数は$F'(y)$ となり、それは$H^1$ に属さない。スカラー関数の一階変換に十分な$C^1$ 条件を、座標から誘導される枠や高階の定理へ流用できない。
この記事の主定理では座標と束を滑らかと仮定したため、この問題は生じない。有限正則性を考えるなら、座標変換$F$ に必要な階数と、枠の行列$g$ に必要な階数を別々に指定する。例えば局所の比較では、スカラーの$m$ 階に$F,F^{-1}$ の$C^{\max(1,m)}$ 正則性が十分であり、座標から誘導される余接束の枠には両写像の$C^{m+1}$ 正則性が十分である。大域比較には、補題と同様に必要な導関数の一様有界性も仮定する。

比較表

設定	保たれる結論	追加の条件または反例
一般の滑らかな$M$、局所空間	全整数階・全$p$ で座標と枠によらない	大域一様評価は含まない
コンパクトな$M$	有限座標ノルムの同値性、完備性、接続ノルムとの同値性	数値として同一のノルムとは限らない
コンパクトな$M$、$p<\infty$	滑らかな切断の完成と一致	$p=\infty$ は$\chi\lvert x\rvert$ が反例
非コンパクトな$M$	局所定義の独立性	単位的枠$e^{ix^3/3}$ でも大域$H^1$ は変わりうる
有限正則性の座標	仮定された階数までの移送	$C^1$ 変換$y+c\lvert y\rvert^{3/2}$ は$H^2$ を保たない

非コンパクト多様体でも、座標や枠の必要な導関数、計量・密度の比、被覆の重複数などを一様に制御すれば大域ノルムを比較できる。しかし、それらは局所滑らかさとは別の仮定である。この記事のコンパクト版を、仮定を追加せずに非コンパクト版と読み替えてはいけない。

参考文献

Bre11 Proposition 9.6（pp.270–271）と、その直後の高階$W^{m,p}$ の定義・完備性（p.271）。座標の一階変数変換と、Euclidean空間での整数階の基礎を参照した。
Wel08 Chapter IV §1, pp.109–110。局所自明化と1の分割による束のSobolevノルム、滑らかな切断の完成による定義。ここでは非負整数階について、弱微分による定義と結びつけた。