Coxeter系

1. $B(e_{s},e_{s})=1$ に注意して
   $$B(\sigma_{s}v,\sigma_{s}v')=B(v,v')-2B(v',e_{s})B(v,e_{s})-2B(v,e_{s})B(v',e_{s})+4B(v,e_{s})B(v',e_{s})B(e_{s},e_{s})=B(v,v')$$
   である。$\sigma_{s}(e_{s})=e_{s}-2e_{s}=-e_{s}$ である。$B(\sigma_{s}v,e_{s})=B(v,e_{s})-2B(v,e_{s})B(e_{s},e_{s})=-B(v,e_{s})$ なので、$\sigma_{s}^{2}(v)=\sigma_{s}(v)-2B(\sigma_{s}v,e_{s})e_{s}=v-2B(v,e_{s})e_{s}+2B(v,e_{s})e_{s}=v$ である。$\sigma_{s}\neq\mathrm{id}$ なので位数は $2$ である。
2. $s\neq t$ とし、$m:=m(s,t)$、$V':=\mathbb{R}e_{s}\oplus\mathbb{R}e_{t}$ とおく。$\sigma_{s}$、$\sigma_{t}$ は $V'$ を保つ。
   $m<\infty$ の場合。$c:=\cos(\pi/m)$、$d:=\sin(\pi/m)$ とおくと $0\le c<1$、$d>0$ である。$y=ae_{s}+be_{t}\in V'$ に対し
   $$B(y,y)=a^{2}-2abc+b^{2}=(a-bc)^{2}+b^{2}d^{2}\ge0$$
   であり、等号は $b=0$ かつ $a=0$ のときに限るので、$B$ は $V'$ 上で正定値である。$u_{1}:=e_{s}$、$u_{2}:=(e_{t}+ce_{s})/d$ とおくと $B(u_{1},u_{1})=1$、$B(u_{1},u_{2})=(-c+c)/d=0$、$B(u_{2},u_{2})=(1-2c^{2}+c^{2})/d^{2}=1$ なので、$u_{1},u_{2}$ は $V'$ の $B$ に関する 正規直交基底 であり、$e_{t}=-cu_{1}+du_{2}$ である。$V'^{\perp}:=\{v\in V_{S}\mid B(v,e_{s})=B(v,e_{t})=0\}$ とおくと、$B|_{V'}$ が 非退化 なので $V_{S}=V'\oplus V'^{\perp}$ である（$v\in V_{S}$ に対し $v-B(v,u_{1})u_{1}-B(v,u_{2})u_{2}\in V'^{\perp}$）。$\sigma_{s}$、$\sigma_{t}$ は $V'^{\perp}$ の各点を固定する。$V'$ 上で、基底 $u_{1},u_{2}$ に関する行列は
   $$\sigma_{s}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad\sigma_{t}=I-2\begin{pmatrix}-c\\d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2c^{2}&2cd\\2cd&1-2d^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\cos\frac{2\pi}{m}&\sin\frac{2\pi}{m}\\ \sin\frac{2\pi}{m}&\cos\frac{2\pi}{m}\end{pmatrix}$$
   （$\sigma_{t}(v)=v-2B(v,e_{t})e_{t}$ で、$v$ の座標を $(v_{1},v_{2})$ とすると $B(v,e_{t})=-cv_{1}+dv_{2}$）であり、
   $$\sigma_{s}\sigma_{t}=\begin{pmatrix}\cos\frac{2\pi}{m}&-\sin\frac{2\pi}{m}\\ \sin\frac{2\pi}{m}&\cos\frac{2\pi}{m}\end{pmatrix}$$
   は角 $2\pi/m$ の回転の行列である。その位数はちょうど $m$ である（$k$ 乗は角 $2k\pi/m$ の回転で、$1\le k< m$ なら恒等でない）。$V'^{\perp}$ 上では恒等なので、$V_{S}$ 上でも $\sigma_{s}\sigma_{t}$ の位数はちょうど $m$ である。
   $m=\infty$ の場合。$B(e_{s},e_{t})=-1$ より $\sigma_{t}(e_{s})=e_{s}+2e_{t}$、$\sigma_{s}(e_{t})=e_{t}+2e_{s}$ である。$(\sigma_{s}\sigma_{t})^{k}(e_{s})=(2k+1)e_{s}+2ke_{t}$ を $k$ についての帰納法で示す。$k=0$ は明らかである。$\sigma_{t}((2k+1)e_{s}+2ke_{t})=(2k+1)(e_{s}+2e_{t})-2ke_{t}=(2k+1)e_{s}+(2k+2)e_{t}$、$\sigma_{s}((2k+1)e_{s}+(2k+2)e_{t})=-(2k+1)e_{s}+(2k+2)(e_{t}+2e_{s})=(2k+3)e_{s}+(2k+2)e_{t}$ である。よって $(\sigma_{s}\sigma_{t})^{k}\neq\mathrm{id}$（$k\ge1$）であり、位数は無限である。
3. 1 と 2 により $\sigma_{s}$ たちは $\widetilde{W}$ の定義関係式を満たすので、群の表示 の記事の命題（表示からの準同型）により準同型 $\sigma$ が定まる。$\widetilde{W}$ における $s$ の位数は $s^{2}=1$ より $2$ 以下で、$\sigma_{s}\neq\mathrm{id}$ より $1$ でないから $2$ である。$s\neq t$ なら $\sigma_{s}(e_{s})=-e_{s}\neq e_{s}-2B(e_{s},e_{t})e_{t}=\sigma_{t}(e_{s})$ なので $s\neq t$ が $\widetilde{W}$ でも成り立つ。$st$ の位数は $(st)^{m(s,t)}=1$ より $m(s,t)$ 以下（$m(s,t)<\infty$ のとき）で、$\sigma_{s}\sigma_{t}$ の位数が $m(s,t)$ なので $m(s,t)$ に等しい。$m(s,t)=\infty$ のときは $\sigma_{s}\sigma_{t}$ の位数が無限なので $st$ の位数も無限である。よって $\widetilde{W}$ における $st$ の位数は $m(s,t)$ であり、$\widetilde{W}$ の Coxeter 表示は $\widetilde{W}$ 自身の定義表示だから、$(\widetilde{W},S)$ は Coxeter 系である。$\square$

まず $\ell(ws)\neq\ell(w)$ を示す。$\varepsilon\colon W\to\{\pm1\}$ を $\varepsilon(s)=-1$（$s\in S$）で定める。$\{\pm1\}$ において $(-1)^{2}=1$ なので関係式 $(st)^{m(s,t)}=1$ はすべて満たされ、$\varepsilon$ は準同型として矛盾なく定まる。$w=s_{1}\cdots s_{h}$ ならば $\varepsilon(w)=(-1)^{h}$ なので、$w$ のどの表示についても長さの偶奇は $\varepsilon(w)$ で決まり、$\varepsilon(ws)=-\varepsilon(w)$ より $\ell(ws)\neq\ell(w)$ である。$\ell(ws)\le\ell(w)+1$、$\ell(w)\le\ell(ws)+1$ と合わせて $\ell(ws)=\ell(w)\pm1$ である。
「$\ell(ws)>\ell(w)$ ならば $w(e_{s})>0$」を $\ell(w)$ についての帰納法で示す。これが示されれば、$\ell(ws)<\ell(w)$ のとき $\ell((ws)s)=\ell(w)>\ell(ws)$ なので $ws(e_{s})>0$、すなわち $w(e_{s})=-ws(e_{s})<0$ となり、$\ell(ws)=\ell(w)\pm1$ と「$>0$ と $<0$ は同時に成り立たない」ことから四つの同値がすべて従う。また任意のルート $w(e_{s})$ について、$\ell(ws)>\ell(w)$ か $\ell(ws)<\ell(w)$ のいずれかが成り立つので、$R=R^{+}\sqcup R^{-}$ である。
$\ell(w)=0$ なら $w=1$、$w(e_{s})=e_{s}>0$ である。$\ell(w)\ge1$ とし、$\ell(ws)>\ell(w)$ を仮定する。$w$ の簡約表示の最後の文字を $t$ とすると $\ell(wt)=\ell(w)-1<\ell(w)$ であり、仮定より $t\neq s$ である。$I:=\{s,t\}$、$W_{I}:=\langle s,t\rangle\subset W$ とし、$W_{I}$ の $I$ に関する長さ関数を $\ell_{I}$ とする。$W_{I}$ の元は $S$ の元の積でもあるので $\ell(x)\le\ell_{I}(x)$（$x\in W_{I}$）である。
$$A:=\{v\in W\mid v^{-1}w\in W_{I},\ \ell(v)+\ell_{I}(v^{-1}w)=\ell(w)\}$$
とおく。$w\in A$ なので $A\neq\emptyset$ であり、$A$ の中で長さ最小の元 $v$ を取り、$v_{I}:=v^{-1}w\in W_{I}$ とおく。$wt\in A$ である（$(wt)^{-1}w=t\in W_{I}$、$\ell(wt)+\ell_{I}(t)=(\ell(w)-1)+1$）。よって $\ell(v)\le\ell(wt)<\ell(w)$ である。
$\ell(vs)>\ell(v)$ かつ $\ell(vt)>\ell(v)$ を示す。$\ell(vs)<\ell(v)$ と仮定すると、$(vs)^{-1}w=sv_{I}\in W_{I}$ であり、
$$\ell(w)\le\ell(vs)+\ell(sv_{I})\le\ell(vs)+\ell_{I}(sv_{I})\le(\ell(v)-1)+(\ell_{I}(v_{I})+1)=\ell(w)$$
なので等号が成り立ち $vs\in A$ となるが、$\ell(vs)<\ell(v)$ は $v$ の最小性に反する。$t$ についても同様である。$\ell(v)<\ell(w)$ なので帰納法の仮定により $v(e_{s})>0$ かつ $v(e_{t})>0$ である。
次に $\ell_{I}(v_{I}s)>\ell_{I}(v_{I})$ を示す。$\varepsilon$ の議論を $W_{I}$ と $I$ に対して行うと $\ell_{I}(v_{I}s)=\ell_{I}(v_{I})\pm1$ である。$\ell_{I}(v_{I}s)<\ell_{I}(v_{I})$ と仮定すると
$$\ell(ws)=\ell(vv_{I}s)\le\ell(v)+\ell(v_{I}s)\le\ell(v)+\ell_{I}(v_{I}s)\le\ell(v)+\ell_{I}(v_{I})-1=\ell(w)-1$$
となり、$\ell(ws)>\ell(w)$ に反する。
$W_{I}$ の元は、$s^{2}=t^{2}=1$ により、$s$ と $t$ が交互に並ぶ語（交代語）で表される。$v_{I}$ の $I$ に関する簡約表示は長さ $\ell_{I}(v_{I})$ の交代語であり、それが $s$ で終わるなら $v_{I}s$ はより短い表示を持ち $\ell_{I}(v_{I}s)<\ell_{I}(v_{I})$ となるので、$v_{I}$ の簡約表示は $t$ で終わる（$v_{I}=1$ の場合を含めて、$v_{I}=(st)^{k}$ または $v_{I}=t(st)^{k}$、$k\ge0$）。さらに $m:=m(s,t)<\infty$ のとき $\ell_{I}(v_{I})< m$ である。実際、$(st)^{m}=1$ より長さ $m$ の二つの交代語 $sts\cdots$ と $tst\cdots$ は $W_{I}$ において等しいので、長さ $m$ の交代語は $s$ で終わる表示も持ち、長さ $m$ を超える交代語は簡約でない。よって $\ell_{I}(v_{I})\le m$ であり、$\ell_{I}(v_{I})=m$ なら $v_{I}$ は $s$ で終わる簡約表示を持って $\ell_{I}(v_{I}s)<\ell_{I}(v_{I})$ となり矛盾する。
$v_{I}(e_{s})$ を計算する。$\theta:=\pi/m$（$m<\infty$）とおくと、thm-coxeter-system-geometric の証明の記号で $t(e_{s})=e_{s}+2\cos\theta\,e_{t}$、$t(e_{t})=-e_{t}$、$s(e_{s})=-e_{s}$、$s(e_{t})=e_{t}+2\cos\theta\,e_{s}$ である。$k$ についての帰納法で
$$(st)^{k}(e_{s})=\frac{\sin(2k+1)\theta}{\sin\theta}e_{s}+\frac{\sin2k\theta}{\sin\theta}e_{t},\qquad t(st)^{k}(e_{s})=\frac{\sin(2k+1)\theta}{\sin\theta}e_{s}+\frac{\sin(2k+2)\theta}{\sin\theta}e_{t}$$
が成り立つ。$k=0$ の第 1 式は明らかであり、第 1 式から第 2 式は $t$ を作用させて $2\cos\theta\sin(2k+1)\theta-\sin2k\theta=\sin(2k+2)\theta$（積和公式）により、第 2 式から $k+1$ の第 1 式は $s$ を作用させて $-\sin(2k+1)\theta+2\cos\theta\sin(2k+2)\theta=\sin(2k+3)\theta$ により従う。$v_{I}=(st)^{k}$ なら $\ell_{I}(v_{I})=2k< m$ より $0<(2k+1)\theta\le\pi$、$0\le2k\theta<\pi$ であり、$v_{I}=t(st)^{k}$ なら $2k+1< m$ より $0<(2k+1)\theta<\pi$、$0<(2k+2)\theta\le\pi$ である。いずれの場合も $v_{I}(e_{s})=ae_{s}+be_{t}$ と書くと $a,b\ge0$ かつ $(a,b)\neq(0,0)$ である。$m=\infty$ のときは thm-coxeter-system-geometric の証明の計算により $(st)^{k}(e_{s})=(2k+1)e_{s}+2ke_{t}$、$t(st)^{k}(e_{s})=(2k+1)e_{s}+(2k+2)e_{t}$ であり、やはり $a,b\ge0$、$(a,b)\neq(0,0)$ である。
以上より $w(e_{s})=v(v_{I}(e_{s}))=a\,v(e_{s})+b\,v(e_{t})$ であり、$v(e_{s})>0$、$v(e_{t})>0$、$a,b\ge0$、$(a,b)\neq(0,0)$ なので、$w(e_{s})$ の $e_{u}$（$u\in S$）に関する係数はすべて $0$ 以上である。$w(e_{s})\neq0$（$w$ は可逆）なので $w(e_{s})>0$ である。$\square$

$\sigma(w)=\mathrm{id}$ かつ $w\neq1$ と仮定する。$w$ の簡約表示の最後の文字を $s$ とすると $\ell(ws)<\ell(w)$ なので thm-coxeter-system-length-sign により $w(e_{s})<0$ であるが、$\sigma(w)=\mathrm{id}$ より $w(e_{s})=e_{s}>0$ となり矛盾する。$\square$

$\beta=\sum_{u\in S}c_{u}e_{u}\in R^{+}$、$\beta\neq e_{s}$ とする。$\beta=ce_{s}$（$c>0$）ならば $B(\beta,\beta)=c^{2}=1$ より $\beta=e_{s}$ となるので、$s$ と異なる $t\in S$ で $c_{t}>0$ となるものがある。$s(\beta)=\beta-2B(\beta,e_{s})e_{s}$ は $\beta$ と $e_{s}$ の係数だけが異なるので、$s(\beta)$ の $e_{t}$ の係数は $c_{t}>0$ である。$s(\beta)\in R$ は正ルートか負ルートなので（thm-coxeter-system-length-sign）、正ルートである。$s(\beta)=e_{s}$ なら $\beta=s(e_{s})=-e_{s}<0$ となるので $s(\beta)\neq e_{s}$ である。$s^{2}=\mathrm{id}$ なので $s$ は $R^{+}\setminus\{e_{s}\}$ の全単射であり、$s(e_{s})=-e_{s}$ と合わせて後半が従う。$\square$

後半を示す。$\beta\in R^{+}$、$\beta\neq e_{s}$ に対し、lem-coxeter-system-simple-reflection により $s(\beta)\in R^{+}\setminus\{e_{s}\}$ なので、$\beta\in R(ws)$ は $ws(\beta)<0$、すなわち $s(\beta)\in R(w)$、すなわち $\beta\in s(R(w))$ と同値である。$e_{s}\in R(ws)$ は $ws(e_{s})=-w(e_{s})<0$、すなわち $w(e_{s})>0$ と同値であり、このとき $e_{s}\notin R(w)$ なので $s(R(w))\subset R^{+}\setminus\{e_{s}\}$ である。$w(e_{s})<0$ のときは $e_{s}\in R(w)$、$e_{s}\notin R(ws)$ である。よって後半の二式が従う。
前半を $\ell(w)$ についての帰納法で示す。$w=1$ なら $R(w)=\emptyset$ である。$\ell(w)\ge1$ とし、$w=w's$（$s\in S$、$\ell(w')=\ell(w)-1$）と書く。thm-coxeter-system-length-sign により $w'(e_{s})>0$ なので、後半により $R(w)=s(R(w'))\sqcup\{e_{s}\}$ であり、帰納法の仮定により $R(w')$ は有限で $|R(w')|=\ell(w')$ だから $|R(w)|=\ell(w')+1=\ell(w)$ である。$\square$

$w$ は $B$ を保つので、$v\in V_{S}$ に対し
$$ws_{\beta}w^{-1}(v)=w\bigl(w^{-1}(v)-2B(w^{-1}(v),\beta)\beta\bigr)=v-2B(v,w(\beta))\,w(\beta)=s_{w(\beta)}(v)$$
である。$s_{-\beta}(v)=v-2B(v,-\beta)(-\beta)=s_{\beta}(v)$ である。$\beta=w(e_{s})$ に対し $s_{\beta}=ws_{e_{s}}w^{-1}=wsw^{-1}\in T$ であり、逆に $wsw^{-1}=s_{w(e_{s})}$ なので $T=\{s_{\beta}\mid\beta\in R\}$ である。$R=R^{+}\sqcup R^{-}$ かつ $s_{-\beta}=s_{\beta}$ から最後の主張が従う。$\square$

$\varepsilon(s_{\alpha})=\varepsilon(usu^{-1})=-1$（$s_{\alpha}=usu^{-1}$ と書ける）なので $\ell(ws_{\alpha})\neq\ell(w)$ である。「$\ell(ws_{\alpha})>\ell(w)$ ならば $w(\alpha)>0$」を $\ell(w)$ についての帰納法で示せば、$w$ を $ws_{\alpha}$ で置き換えて逆の主張も得られる（$ws_{\alpha}(\alpha)=-w(\alpha)$）。
$w=1$ なら $w(\alpha)=\alpha>0$ である。$\ell(w)\ge1$ とし、$w$ の簡約表示の最初の文字を $s$ とすると $\ell(sw)=\ell(w)-1$ である。$\ell(sws_{\alpha})\ge\ell(ws_{\alpha})-1>\ell(w)-1=\ell(sw)$ なので、帰納法の仮定により $sw(\alpha)>0$ である。$w(\alpha)<0$ と仮定すると、$s$ は $R^{-}\setminus\{-e_{s}\}$ を $R^{-}\setminus\{-e_{s}\}$ に写す（lem-coxeter-system-simple-reflection に $-1$ を掛ける）ので、$sw(\alpha)>0$ より $w(\alpha)=-e_{s}$ である。すると lem-coxeter-system-reflection-conjugate により $ws_{\alpha}w^{-1}=s_{w(\alpha)}=s_{-e_{s}}=s$、すなわち $ws_{\alpha}=sw$ であり、$\ell(ws_{\alpha})=\ell(sw)<\ell(w)$ となって仮定に反する。よって $w(\alpha)>0$ である。$\square$

lem-coxeter-system-reflection-conjugate により $t=s_{\alpha}$（$\alpha\in R^{+}$）と書け、lem-coxeter-system-reflection-length により $w(\alpha)<0$ である。$j=h,h-1,\dots,0$ に対し $\beta_{j}:=s_{j+1}\cdots s_{h}(\alpha)$ とおく（$\beta_{h}=\alpha>0$、$\beta_{0}=w(\alpha)<0$）。各 $\beta_{j}$ はルートなので正か負であり、$\beta_{i}>0$ かつ $\beta_{i-1}=s_{i}(\beta_{i})<0$ となる $i$（$1\le i\le h$）が存在する。lem-coxeter-system-simple-reflection により $s_{i}$ は $R^{+}\setminus\{e_{s_{i}}\}$ を保つので $\beta_{i}=e_{s_{i}}$ である。$u:=s_{i+1}\cdots s_{h}$ とおくと $u(\alpha)=e_{s_{i}}$ なので、lem-coxeter-system-reflection-conjugate により $us_{\alpha}u^{-1}=s_{e_{s_{i}}}=s_{i}$、すなわち $s_{\alpha}=u^{-1}s_{i}u$ である。よって
$$wt=ws_{\alpha}=(s_{1}\cdots s_{h})(s_{h}\cdots s_{i+1})\,s_{i}\,(s_{i+1}\cdots s_{h})=s_{1}\cdots s_{i}\,s_{i}\,s_{i+1}\cdots s_{h}=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots s_{h}$$
である。
一意性：$w=s_{1}\cdots s_{h}$ が簡約表示で、$i< j$ がともに条件を満たすとすると $s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots s_{h}=s_{1}\cdots\hat{s_{j}}\cdots s_{h}$ であり、左から $(s_{1}\cdots s_{i-1})^{-1}$、右から $(s_{j+1}\cdots s_{h})^{-1}$ を掛けて $s_{i+1}\cdots s_{j}=s_{i}\cdots s_{j-1}$ を得る。すると
$$w=s_{1}\cdots s_{i-1}(s_{i}\cdots s_{j-1})s_{j}\cdots s_{h}=s_{1}\cdots s_{i-1}(s_{i+1}\cdots s_{j})s_{j}\cdots s_{h}=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots\hat{s_{j}}\cdots s_{h}$$
となり、$w$ が長さ $h-2$ の表示を持つので $\ell(w)=h$ に反する。$\square$

$S\subset T$ なので、thm-coxeter-system-strong-exchange の $t=s\in S$ の場合である。$\square$

交換条件を仮定し、$w=s_{1}\cdots s_{h}$ を簡約でない表示とする。$\ell(s_{1}\cdots s_{k})\le k$ であり、$k$ を $1$ ずつ増やすと長さは高々 $1$ ずつしか変わらないので、$\ell(s_{1}\cdots s_{j})<\ell(s_{1}\cdots s_{j-1})$ となる最小の $j$ が存在し、$j$ の最小性から $s_{1}\cdots s_{j-1}$ は簡約表示（長さ $j-1$）である。$w':=s_{1}\cdots s_{j-1}$ に交換条件を適用すると $w's_{j}=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots s_{j-1}$ を満たす $i< j$ があり、$w=w's_{j}s_{j+1}\cdots s_{h}=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots\hat{s_{j}}\cdots s_{h}$ である。
消去条件を仮定し、$w=s_{1}\cdots s_{h}$ を簡約表示、$s\in S$、$\ell(ws)<\ell(w)$ とする。$ws=s_{1}\cdots s_{h}s$ は長さ $h+1$ の表示で $\ell(ws)=h-1$ なので簡約でなく、消去条件により二つの文字を消して $ws$ に等しい語が得られる。消される文字の一方が最後の $s$ ならば $ws=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots s_{h}$ であり、交換条件の結論を得る。そうでなければ $ws=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots\hat{s_{j}}\cdots s_{h}s$、よって $w=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots\hat{s_{j}}\cdots s_{h}$ となり、$w=s_{1}\cdots s_{h}$ が簡約表示であることに反する。$\square$

1 から 2 は cor-coxeter-system-exchange、2 と 3 の同値は lem-coxeter-system-exchange-deletion、3 から 1 は thm-coxeter-system-deletion-implies-coxeter である。$\square$

$S$ の元は位数 $2$ であり（ルート系 の記事の補題（鏡映の基本性質））、$W(R)$ を生成する（同記事の命題（Weyl群は単純鏡映で生成される））。$S$ に関する長さ関数は同記事の $\Delta$ に関する長さ関数と同じものである。同記事の系（指定した単純鏡映で終わる簡約表示）は、任意の簡約表示 $w=s_{1}\cdots s_{h}$ と $\alpha\in\Delta$ に対し、$w(\alpha)<0$ ならば $ws_{\alpha}=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots s_{h}$ となる $i$ が存在することを述べており、$w(\alpha)<0$ は同記事の系（長さの増減の判定）により $\ell(ws_{\alpha})<\ell(w)$ と同値である。よって $(W(R),S)$ は交換条件を満たし、cor-coxeter-system-characterization により Coxeter 系である。$\square$

1. まず、$w\in W_{I}$ と $s\in S\setminus I$ に対し $w(e_{s})>0$ を示す。$t\in I$ に対し $\sigma_{t}(v)-v$ は $e_{t}$ の実数倍なので、$W_{I}$ の元 $w$ に対し $w(e_{s})-e_{s}$ は $\{e_{t}\mid t\in I\}$ の線形結合である。よって $w(e_{s})$ の $e_{s}$ の係数は $1$ であり、$w(e_{s})$ はルートで正か負だから正である。thm-coxeter-system-length-sign により $\ell(ws)>\ell(w)$ である。
   $w\in W_{I}$ の簡約表示 $w=s_{1}\cdots s_{h}$ に対し $\ell(ws_{h})=h-1<\ell(w)$ なので、上により $s_{h}\in I$ である。すると $ws_{h}\in W_{I}$ で $s_{1}\cdots s_{h-1}$ はその簡約表示なので、$h$ についての帰納法によりすべての $s_{i}$ が $I$ の元である。$I$ の元の積は $S$ の元の積でもあるので $\ell(w)\le\ell_{I}(w)$ であり、$S$ に関する簡約表示が $I$ の元だけからなるので $\ell_{I}(w)\le\ell(w)$ である。
2. $s\in W_{I}\cap S$ とすると、$s$ 自身が $s$ の簡約表示（長さ $1$）なので 1 により $s\in I$ である。逆の包含は明らかである。$W_{I}\subset W_{J}$ なら $I=W_{I}\cap S\subset W_{J}\cap S=J$ であり、逆は明らかである。
3. $w\in W_{I}\cap W_{J}$ の簡約表示を一つ取ると、1 によりその文字はすべて $I$ の元でありかつ $J$ の元であるから $I\cap J$ の元であり、$w\in W_{I\cap J}$ である。逆の包含は明らかである。
4. $I$ の元は位数 $2$ で $W_{I}$ を生成する。$(W_{I},I)$ が交換条件を満たすことを示す。$w\in W_{I}$ の $I$ に関する簡約表示 $w=s_{1}\cdots s_{h}$ は 1 により $S$ に関する簡約表示でもあり、$s\in I$ が $\ell_{I}(ws)<\ell_{I}(w)$ すなわち $\ell(ws)<\ell(w)$ を満たすなら、cor-coxeter-system-exchange により $ws=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots s_{h}$ となる $i$ がある。よって cor-coxeter-system-characterization により $(W_{I},I)$ は Coxeter 系である。$st$（$s,t\in I$）の位数は $W$ で考えても $W_{I}$ で考えても同じなので、Coxeter 行列は $m$ の制限である。$\square$

長さは $0$ 以上の整数なので $W_{I}wW_{J}$ の中に長さ最小の元 $w_{0}$ が存在する。$W_{I}wW_{J}$ の任意の元 $z$ を $z=xw_{0}y$（$x\in W_{I}$、$y\in W_{J}$）と書き、$x$、$w_{0}$、$y$ の簡約表示（prop-coxeter-system-parabolic により $x$ のそれは $I$ の元、$y$ のそれは $J$ の元からなる）を並べた語を $\mathbf{u}$ とする。$\mathbf{u}$ の長さは $\ell(x)+\ell(w_{0})+\ell(y)$ である。$\mathbf{u}$ が簡約でなければ、消去条件（cor-coxeter-system-characterization）により $\mathbf{u}$ から二文字を消して $z$ に等しい語が得られる。消される文字が $w_{0}$ の部分に含まれると、$z=x'w'y'$（$x'\in W_{I}$、$y'\in W_{J}$、$\ell(w')<\ell(w_{0})$）となり、$w'=x'^{-1}zy'^{-1}\in W_{I}wW_{J}$ が $w_{0}$ の最小性に反する。消される二文字がともに $x$ の部分に含まれると、$x$ がより短い表示を持つことになり $x$ の簡約性に反する。$y$ についても同様である。よって消される文字は $x$ の部分と $y$ の部分から一つずつであり、$z=x_{1}w_{0}y_{1}$、$x_{1}\in W_{I}$、$y_{1}\in W_{J}$、$\ell(x_{1})\le\ell(x)-1$、$\ell(y_{1})\le\ell(y)-1$ と書ける。この操作を繰り返すと有限回で簡約な語に達し、$z=x'w_{0}y'$、$\ell(z)=\ell(x')+\ell(w_{0})+\ell(y')$ を得る。
一意性：$w_{1}$ も長さ最小なら $w_{1}=x'w_{0}y'$、$\ell(w_{1})=\ell(x')+\ell(w_{0})+\ell(y')$ と書け、$\ell(w_{1})=\ell(w_{0})$ より $x'=y'=1$、$w_{1}=w_{0}$ である。左剰余類・右剰余類の主張は $I=\emptyset$、$J=\emptyset$ の場合である。$\square$

$n=0$ の列により $v\le v$ である。列を連結すれば推移律が従う。$v\le w$ なら列に沿って長さが狭義に増加するので、$v\neq w$ ならば $\ell(v)<\ell(w)$ であり、とくに $v\le w$ かつ $w\le v$ なら $v=w$ である。$w\neq1$ に対し、簡約表示 $w=s_{1}\cdots s_{h}$ を取ると $1\to s_{1}\to s_{1}s_{2}\to\cdots\to w$ である（$s_{1}\cdots s_{k}$ は簡約表示なので長さは $k$ であり、$s_{k+1}\in S\subset T$）。よって $1\le w$ である。$\square$