指数関数・対数関数のグラフと逆関数
概要
指数関数・対数関数のグラフと逆関数（graphs of exponential and logarithmic functions）とは、$a>0$、$a\ne1$ のとき $y=a^x$ と $y=\log_ax$ が互いに逆関数で、2 つのグラフが直線 $y=x$ に関して対称であることと、底による違いを扱う話題である。逆関数のグラフは、点 $(p,q)$ を $(q,p)$ に移したものである。$a>1$ なら両方とも増加、$0<a<1$ なら両方とも減少する。$y=(1/a)^x$ は $y=a^x$ と $y$ 軸に関して対称で、$\log_{1/a}x=-\log_ax$ である。$a>1$ なら 2 つのグラフの共有点は $a^x=x$ の解に対応する直線 $y=x$ 上の点だけだが、$a=1/16$ では $(1/2,1/4)$、$(1/4,1/2)$ でも交わる。
前提知識: 指数関数と対数関数はどう定義するか, グラフの平行移動と対称移動
高校での出発点：値の表を入れ替える
教科書では、$y=2^x$ のグラフを値の表から描き、次に $y=\log_2x$ のグラフを「$y=2^x$ のグラフを直線 $y=x$ で折り返したもの」として描く。この記事では、なぜ折り返せばよいのかを証明し、底 $a$ が $1$ より大きいか小さいかでグラフがどう変わるかを整理する。まず値の表を 2 つ作る。
$y=2^x$ の値は次のとおりである。
$$
2^{-2}=\frac14,\quad 2^{-1}=\frac12,\quad 2^0=1,\quad 2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8
$$
$y=\log_2x$ の値は、「$2$ を何乗すると $x$ になるか」なので次のとおりである。
$$
\log_2\frac14=-2,\quad \log_2\frac12=-1,\quad \log_21=0,\quad \log_22=1,\quad \log_24=2,\quad \log_28=3
$$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $2^x$ | $\frac14$ | $\frac12$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
| $x$ | $\frac14$ | $\frac12$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
| :-- | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $\log_2x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
2 つの表は、上の行と下の行を入れ替えたものである。$y=2^x$ のグラフは点 $(3,8)$ を通り、$y=\log_2x$ のグラフは点 $(8,3)$ を通る。座標を入れ替えた点が、もう一方のグラフに乗っている。
底を $\dfrac12$ にすると、$\left(\dfrac12\right)^x=\dfrac1{2^x}=2^{-x}$ なので、値は次のとおりである。
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\left(\frac12\right)^x$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\frac12$ | $\frac14$ |
$x$ が大きくなると値は小さくなる。$\left(\dfrac12\right)^{-3}=8=2^3$ なので、$y=\left(\dfrac12\right)^x$ の $x=-3$ での値は、$y=2^x$ の $x=3$ での値と等しい。$x$ の符号を変えると、2 つの関数の値が入れ替わる。
この記事で答える問いは次の 4 つである。
- $y=a^x$ と $y=\log_ax$ のグラフが直線 $y=x$ に関して対称なのはなぜか。→ thm-egl-inverse-graph、cor-egl-main
- 底 $a$ が $1$ より大きいときと小さいときで、グラフの何が変わるのか。→ prop-egl-monotone、prop-egl-reciprocal-base、prop-egl-asymptote
- $y=a^x$ と $y=\log_ax$ のグラフの交点は、いつも直線 $y=x$ の上にあるのか。→ prop-egl-increasing-meet、ex-egl-sixteenth
- 大学数学では、指数関数と対数関数の関係は何と呼ばれるのか。→ rem-egl-isomorphism
高校の言葉 この記事の言葉 大学の言葉 表の上下を入れ替える 点 $(p,q)$ と $(q,p)$ は $y=x$ に関して対称（lem-egl-swap） 座標の入れ替えは直線 $y=x$ に関する鏡映 $\log_ax$ は $a^x$ の逆関数 逆関数のグラフは $y=x$ で折り返したもの（thm-egl-inverse-graph） 全単射の逆写像のグラフ 底が $1$ より小さいと減少 $\left(\frac1a\right)^x=a^{-x}$（prop-egl-reciprocal-base） 符号を変える写像との合成 指数法則 $a^{x+y}=a^xa^y$ 和を積に移す（rem-egl-isomorphism） 群の同型 $(\mathbb{R},+)\cong(\mathbb{R}_{>0},\times)$
指数関数と対数関数
認めて使う事実
$a>0$ のとき、$a^x$ はすべての実数 $x$ について定まる。有理数の指数から実数の指数へ広げる方法は 指数関数と対数関数はどう定義するか で扱った。この記事では、そこで示した次の事実を認めて使う（大学の教科書では Leb26 §5.4 の Proposition 5.4.2 と、その後の $a^x$ の定義にあたる）。
$a>0$、$b>0$ とし、$x,y$ を実数とする。
(i) 指数法則：$a^{x+y}=a^xa^y$、$(a^x)^y=a^{xy}$、$a^0=1$、$a^x>0$ である。
(ii) 単調性：$a>1$ なら、$x< y$ のとき $a^x< a^y$ である（狭義単調増加）。
(iii) 値のとり方：$a>1$ なら、どの正の実数 $c$ にも $a^x=c$ となる実数 $x$ がある。
(ii) と (iii) は $a>1$ の場合だけを述べている。$0< a<1$ の場合は、次の節で (i)〜(iii) から導く。
指数関数
$a>0$、$a\ne1$ とする。実数 $x$ に $a^x$ を対応させる関数 $y=a^x$ を、$a$ を底とする指数関数という。定義域は実数全体 $\mathbb{R}$ である。
底 $a=1$ を除くのは、$1^x=1$ がどの $x$ でも同じ値になり、次に定義する対数が作れないからである（ex-egl-cx-one）。底を正に限る理由は ex-egl-cx-negative で見る。
$a>0$、$a\ne1$ とする。
- $a>1$ なら、$y=a^x$ は狭義単調増加である。$0< a<1$ なら、狭義単調減少である。
- どちらの場合も、$y=a^x$ のとる値の全体は正の実数全体 $\mathbb{R}_{>0}=\{\,c\in\mathbb{R}:c>0\,\}$ である。
要点：$a>1$ の場合は rem-egl-facts そのものである。$0< a<1$ の場合は、$b=\dfrac1a>1$ とおくと指数法則から $a^x=b^{-x}$ である。$x< y$ なら $-x>-y$ なので $b^{-x}>b^{-y}$、つまり $a^x>a^y$ となる。正の数 $c$ に対しては $b^t=c$ となる $t$ をとり、$x=-t$ とすれば $a^x=c$ である。
詳しい証明を開く
段 1（$a>1$ の場合）。1 は rem-egl-facts の (ii) である。2 について、(i) から $a^x>0$ なので値はすべて正であり、(iii) からどの正の実数も値としてとる。よって値の全体は $\mathbb{R}_{>0}$ である。
段 2（書きかえ）。$0< a<1$ とし、$b=\dfrac1a$ とおく。$a<1$ の両辺を正の数 $a$ で割ると $1<\dfrac1a=b$ なので $b>1$ である。$b^{-1}=\dfrac1b=a$ なので、指数法則 (i) の $(b^s)^t=b^{st}$ を $s=-1$、$t=x$ で使うと
$$a^x=\left(b^{-1}\right)^x=b^{-x}$$
である。
段 3（減少すること）。$x< y$ とすると $-x>-y$ である。$b>1$ なので、段 1 により $b^{-x}>b^{-y}$ である。段 2 により、これは $a^x>a^y$ ということである。よって $y=a^x$ は狭義単調減少である。
段 4（値の全体）。$a^x=b^{-x}>0$ なので値はすべて正である。正の実数 $c$ をとる。段 1 により $b^t=c$ となる実数 $t$ がある。$x=-t$ とおくと、段 2 により $a^x=b^{-x}=b^t=c$ である。よって値の全体は $\mathbb{R}_{>0}$ である。$\square$
- $a=\dfrac13$、$b=3$ とすると $\left(\dfrac13\right)^x=3^{-x}$ である。$x=-2,0,2$ で値は $3^2=9$、$1$、$3^{-2}=\dfrac19$ で、確かに減っていく。
- $\left(\dfrac12\right)^x=5$ となる $x$ を探す。$\left(\dfrac12\right)^x=2^{-x}$ なので、まず $2^t=5$ となる $t$ をとる。$2^2=4<5<8=2^3$ なので $2< t<3$ で、$t=2.3219\ldots$ である。すると $x=-t=-2.3219\ldots$ で、$\left(\dfrac12\right)^{-2.3219\ldots}=2^{2.3219\ldots}=5$ である。
対数と対数関数
prop-egl-exp-monotone により、$a>0$、$a\ne1$ なら、どの正の実数 $c$ にも $a^x=c$ となる $x$ がある。しかも、そのような $x$ は 1 つしかない。$x_1\ne x_2$ なら、$y=a^x$ が狭義単調（増加または減少）なので $a^{x_1}\ne a^{x_2}$ だからである。
$a>0$、$a\ne1$ とし、$c>0$ とする。$a^x=c$ を満たすただ 1 つの実数 $x$ を、$a$ を底とする $c$ の対数といい、$\log_ac$ と書く。$c$ を真数という。つまり
$$
\log_ac=x\iff a^x=c
$$
である。正の実数 $x$ に $\log_ax$ を対応させる関数 $y=\log_ax$ を、$a$ を底とする対数関数という。定義域は $\mathbb{R}_{>0}$ である。
- $\log_28=3$ である。$2^3=8$ だからである。$\log_2\sqrt2=\dfrac12$ である。$2^{\frac12}=\sqrt2$ だからである。
- $\log_{\frac12}8=-3$ である。$\left(\dfrac12\right)^{-3}=2^3=8$ だからである。$\log_{\frac12}\dfrac14=2$ である。$\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ だからである。
- $\log_ac$ は $c>0$ のときだけ定まる。$a^x>0$ なので、$a^x=0$ や $a^x=-1$ となる $x$ はない。$\log_20$ や $\log_2(-1)$ は定義されない。
主定理：逆関数のグラフは直線 $y=x$ に関して対称
点の座標を入れ替える
まず、座標を入れ替えた 2 点の位置関係を確かめる。
$p\ne q$ とする。2 点 $P(p,q)$、$Q(q,p)$ について、直線 $y=x$ は線分 $PQ$ の垂直二等分線である。つまり $P$ と $Q$ は直線 $y=x$ に関して対称である。$p=q$ なら、$P=Q$ は直線 $y=x$ の上の点である。
要点：線分 $PQ$ の中点 $\left(\dfrac{p+q}2,\dfrac{p+q}2\right)$ は直線 $y=x$ の上にあり、$\overrightarrow{PQ}=(q-p)(1,-1)$ は直線 $y=x$ の向き $(1,1)$ と内積が $0$ で垂直である。
詳しい証明を開く
段 1（中点）。線分 $PQ$ の中点は $\left(\dfrac{p+q}2,\ \dfrac{q+p}2\right)$ である。$x$ 座標と $y$ 座標が等しいので、中点は直線 $y=x$ の上にある。
段 2（垂直）。$\overrightarrow{PQ}=(q-p,\ p-q)=(q-p)(1,-1)$ である。直線 $y=x$ の向きのベクトルは $(1,1)$ である。内積は $(q-p)\bigl(1\cdot1+(-1)\cdot1\bigr)=0$ なので、線分 $PQ$ と直線 $y=x$ は垂直である。
段 3（まとめ）。段 1・段 2 から、直線 $y=x$ は線分 $PQ$ の中点を通り $PQ$ に垂直なので、垂直二等分線である。$p=q$ のときは $P=Q=(p,p)$ で、これは直線 $y=x$ の上にある。$\square$
lem-egl-swap により、直線 $y=x$ に関する対称移動は、点 $(x,y)$ を点 $(y,x)$ に移す移動である。平行移動や、$x$ 軸・$y$ 軸に関する対称移動は グラフの平行移動と対称移動 で扱った。直線 $y=x$ に関する対称移動は、そこで扱った移動とは違い、$x$ と $y$ の役割そのものを入れ替える。
- $P(3,8)$ と $Q(8,3)$ の中点は $\left(\dfrac{11}2,\dfrac{11}2\right)$ で、直線 $y=x$ の上にある。$\overrightarrow{PQ}=(5,-5)$ と $(1,1)$ の内積は $5-5=0$ である。
- $P(-1,2)$ と $Q(2,-1)$ の中点は $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ で、$\overrightarrow{PQ}=(3,-3)$ と $(1,1)$ の内積は $0$ である。点が第 2 象限と第 4 象限に分かれていても、同じように対称である。
逆関数のグラフ
逆関数の定義を確かめる（逆関数は 逆関数の微分 でも扱う）。
$I$、$J$ を実数の集合とし、関数 $f$ は $I$ の各 $x$ に $J$ の値 $f(x)$ を対応させるとする。次の 2 つが成り立つとき、$f$ は $I$ から $J$ への全単射であるという。
(i) $I$ の異なる 2 点 $x_1\ne x_2$ では $f(x_1)\ne f(x_2)$ である（1 対 1）。
(ii) $J$ のどの $y$ にも、$f(x)=y$ となる $x\in I$ がある。
このとき、$J$ の各 $y$ に $f(x)=y$ となるただ 1 つの $x\in I$ を対応させる関数を $f$ の逆関数といい、$f^{-1}$ と書く。つまり、$x\in I$、$y\in J$ について
$$
f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y
$$
である。
関数 $f$（定義域 $I$）のグラフとは、点 $(x,f(x))$（$x\in I$）の全体
$$
G_f=\{\,(x,f(x)):x\in I\,\}
$$
のことである。点 $(p,q)$ が $G_f$ に入ることは、$p\in I$ かつ $q=f(p)$ であることと同じである。
$f$ を $I$ から $J$ への全単射とし、$f^{-1}$ をその逆関数とする。点 $(p,q)$ について、次の 2 つは同値である。
- $(p,q)$ は $y=f(x)$ のグラフの上にある。
- $(q,p)$ は $y=f^{-1}(x)$ のグラフの上にある。
したがって、$y=f^{-1}(x)$ のグラフは、$y=f(x)$ のグラフを直線 $y=x$ に関して対称に移したものである。
方針：1 と 2 を、それぞれ「$p$、$q$ についての式」に書き直し、逆関数の定義の同値で結ぶ。
段 1（1 の書き直し）。グラフの定義により、1 は「$p\in I$ かつ $q=f(p)$」と同じである。$f$ の値は $J$ に入るので、このとき $q\in J$ でもある。よって 1 は「$p\in I$ かつ $q\in J$ かつ $f(p)=q$」と同じである。
段 2（2 の書き直し）。$y=f^{-1}(x)$ のグラフは、定義域が $J$ の関数のグラフなので、点 $(q,p)$ がその上にあることは「$q\in J$ かつ $p=f^{-1}(q)$」と同じである。$f^{-1}$ の値は $I$ に入るので、このとき $p\in I$ でもある。よって 2 は「$p\in I$ かつ $q\in J$ かつ $f^{-1}(q)=p$」と同じである。
段 3（結ぶ）。def-egl-inverse により、$p\in I$、$q\in J$ のとき $f^{-1}(q)=p$ と $f(p)=q$ は同値である。段 1・段 2 と合わせて、1 と 2 は同値である。
段 4（対称移動）。段 3 により、$y=f^{-1}(x)$ のグラフの点は、$y=f(x)$ のグラフの点 $(p,q)$ の座標を入れ替えた点 $(q,p)$ でちょうど尽くされる。lem-egl-swap により、$(p,q)$ を $(q,p)$ に移すことは直線 $y=x$ に関する対称移動なので、$y=f^{-1}(x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを直線 $y=x$ に関して対称に移したものである。$\square$
この定理は指数関数に限らない。$y=x^2$（$x\ge0$）と $y=\sqrt x$ や、$y=\sin x$（$-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2$）と $y=\arcsin x$ のグラフも、直線 $y=x$ に関して対称である（後者は 逆三角関数（高校数学） で扱う）。
指数関数と対数関数のグラフ
$a>0$、$a\ne1$ とする。$y=\log_ax$ は $y=a^x$ の逆関数であり、$y=a^x$ のグラフと $y=\log_ax$ のグラフは、直線 $y=x$ に関して対称である。
方針：$f(x)=a^x$ が $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}_{>0}$ への全単射であることを確かめ、逆関数が $\log_ax$ であることを定義から読み、thm-egl-inverse-graph を使う。
段 1（全単射）。$f(x)=a^x$ とし、$I=\mathbb{R}$、$J=\mathbb{R}_{>0}$ とする。prop-egl-exp-monotone の 1 により $f$ は狭義単調なので、$x_1\ne x_2$ なら $f(x_1)\ne f(x_2)$ であり、def-egl-inverse の (i) が成り立つ。prop-egl-exp-monotone の 2 により、$J$ のどの $c$ にも $a^x=c$ となる $x$ があるので、(ii) も成り立つ。
段 2（逆関数は対数関数）。def-egl-log により、$x\in\mathbb{R}$、$c\in\mathbb{R}_{>0}$ について $\log_ac=x\iff a^x=c$ である。これは def-egl-inverse の $f^{-1}(c)=x\iff f(x)=c$ と同じ形なので、$f^{-1}(c)=\log_ac$ である。
段 3（グラフ）。thm-egl-inverse-graph を $f$ に使うと、$y=\log_ax$ のグラフは $y=a^x$ のグラフを直線 $y=x$ に関して対称に移したものである。$\square$
底が 2 のとき、y = 2 の x 乗（青）と y = log₂x（赤）のグラフが直線 y = x（破線）に関して対称で、青の点と赤の点が座標を入れ替えた組になっていることを見る図
底が 1/2 のとき、y = (1/2) の x 乗（青）と y = log の底 1/2 の x（赤）のグラフが直線 y = x に関して対称であることを見る図。どちらも減少する
図 1（$a=2$）と図 2（$a=\frac12$）では、青の点 $(p,q)$ と赤の点 $(q,p)$ を点線で結んだ。どの点線も直線 $y=x$ と垂直に交わり、その交点が点線の中点である（lem-egl-swap）。
- $a=3$：$3^2=9$ なので点 $(2,9)$ は $y=3^x$ のグラフの上にある。cor-egl-main により点 $(9,2)$ は $y=\log_3x$ のグラフの上にある。実際 $\log_39=2$ である。
- $a=\dfrac12$：$\left(\dfrac12\right)^{-1}=2$ なので点 $(-1,2)$ は $y=\left(\dfrac12\right)^x$ のグラフの上にある。点 $(2,-1)$ は $y=\log_{\frac12}x$ のグラフの上にあり、実際 $\log_{\frac12}2=-1$ である。図 2 の左上の青の点と右下の赤の点がこの組である。
- どの底でも $a^0=1$、$a^1=a$ なので、$y=a^x$ のグラフは点 $(0,1)$、$(1,a)$ を通る。入れ替えると、$y=\log_ax$ のグラフは点 $(1,0)$、$(a,1)$ を通る。$\log_a1=0$、$\log_aa=1$ である。
底による違い
増減
$a>0$、$a\ne1$ とする。$a>1$ なら $y=\log_ax$ は狭義単調増加であり、$0< a<1$ なら狭義単調減少である。つまり、対数関数は同じ底の指数関数と同じ向きに増減する。
要点：$0< c< d$ とし、$s=\log_ac$、$t=\log_ad$ とおくと $a^s=c$、$a^t=d$ である。$a>1$ で $s\ge t$ なら $a^s\ge a^t$、つまり $c\ge d$ となって矛盾するので $s< t$ である。$0< a<1$ では向きが逆になり $s>t$ である。
詳しい証明を開く
段 1（$a>1$ の場合）。$0< c< d$ とし、$s=\log_ac$、$t=\log_ad$ とおく。def-egl-log により $a^s=c$、$a^t=d$ である。もし $s\ge t$ なら、$s=t$ のときは $a^s=a^t$、$s>t$ のときは prop-egl-exp-monotone の 1 により $a^s>a^t$ となり、どちらでも $c\ge d$ となって $c< d$ に反する。よって $s< t$、つまり $\log_ac<\log_ad$ である。
段 2（$0< a<1$ の場合）。同じ記号で、もし $s\le t$ なら、$s=t$ のときは $a^s=a^t$、$s< t$ のときは prop-egl-exp-monotone の 1（減少）により $a^s>a^t$ となり、どちらでも $c\ge d$ となって矛盾する。よって $s>t$、つまり $\log_ac>\log_ad$ である。$\square$
- $\log_23$ と $\log_25$：底 $2>1$ で $3<5$ なので $\log_23<\log_25$ である（$1.58\ldots<2.32\ldots$）。
- $\log_{\frac12}3$ と $\log_{\frac12}5$：底 $\dfrac12<1$ なので大小が逆になり、$\log_{\frac12}3>\log_{\frac12}5$ である。実際 $\log_{\frac12}3=-1.58\ldots$、$\log_{\frac12}5=-2.32\ldots$ である。
底を逆数にする
ex-egl-table-half で見たとおり、$\left(\frac12\right)^x$ の値は $2^x$ の値を $x$ の符号を変えて読んだものである。これを一般の底で述べる。
$a>0$、$a\ne1$ とする。
- $y=\left(\dfrac1a\right)^x$ のグラフは、$y=a^x$ のグラフを $y$ 軸に関して対称に移したものである。
- 正の実数 $x$ について $\log_{\frac1a}x=-\log_ax$ である。したがって $y=\log_{\frac1a}x$ のグラフは、$y=\log_ax$ のグラフを $x$ 軸に関して対称に移したものである。
要点：指数法則から $\left(\dfrac1a\right)^x=a^{-x}$ である。点 $(p,q)$ が $y=a^x$ の上にあることは、点 $(-p,q)$ が $y=\left(\frac1a\right)^x$ の上にあることと同じである。また $t=\log_ax$ なら $\left(\dfrac1a\right)^{-t}=a^t=x$ なので $\log_{\frac1a}x=-t$ である。
詳しい証明を開く
段 1（書きかえ）。$\dfrac1a=a^{-1}$ なので、指数法則（rem-egl-facts の (i)）により $\left(\dfrac1a\right)^x=\left(a^{-1}\right)^x=a^{-x}$ である。
段 2（1 の証明）。点 $(p,q)$ が $y=a^x$ のグラフの上にあることは $q=a^p$ と同じである。段 1 により $a^p=a^{-(-p)}=\left(\dfrac1a\right)^{-p}$ なので、これは $q=\left(\dfrac1a\right)^{-p}$、つまり点 $(-p,q)$ が $y=\left(\dfrac1a\right)^x$ のグラフの上にあることと同じである。$(p,q)$ を $(-p,q)$ に移すのは $y$ 軸に関する対称移動である。
段 3（2 の等式）。$x>0$ とし、$t=\log_ax$ とおく。$a^t=x$ である。段 1 により $\left(\dfrac1a\right)^{-t}=a^{t}=x$ なので、def-egl-log（底 $\frac1a$）により $\log_{\frac1a}x=-t=-\log_ax$ である。
段 4（2 のグラフ）。点 $(p,q)$ が $y=\log_ax$ のグラフの上にあることは、$p>0$ かつ $q=\log_ap$ と同じであり、段 3 によりこれは $p>0$ かつ $-q=\log_{\frac1a}p$、つまり点 $(p,-q)$ が $y=\log_{\frac1a}x$ のグラフの上にあることと同じである。$(p,q)$ を $(p,-q)$ に移すのは $x$ 軸に関する対称移動である。$\square$
左は y = 2 の x 乗（青）と y = (1/2) の x 乗（橙）が y 軸に関して対称であること、右は y = log₂x（赤）と y = log の底 1/2 の x（緑）が x 軸に関して対称であることを見る図
図 3 の左では、青の点 $(1,2)$、$(2,4)$ と橙の点 $(-1,2)$、$(-2,4)$ が $y$ 軸をはさんで向かい合う。右では、赤の点 $(2,1)$、$(4,2)$ と緑の点 $(2,-1)$、$(4,-2)$ が $x$ 軸をはさんで向かい合う。
prop-egl-reciprocal-base の 1 と 2 は、cor-egl-main でつながっている。
2 つの対称移動のつながりを開く
$y=a^x$ を $y$ 軸で折り返してから直線 $y=x$ で折り返すと、$y=a^x$ を直線 $y=x$ で折り返してから $x$ 軸で折り返したものと同じになる。点で書くと、$(p,q)\mapsto(-p,q)\mapsto(q,-p)$ と $(p,q)\mapsto(q,p)\mapsto(q,-p)$ で、行き先が一致する。
漸近線
$a>1$ とする。
- $x\to\infty$ のとき $a^x\to\infty$、$x\to-\infty$ のとき $a^x\to0$ である。
- $x\to\infty$ のとき $\log_ax\to\infty$、$x\to+0$ のとき $\log_ax\to-\infty$ である。
したがって $y=a^x$ のグラフは $x$ 軸を、$y=\log_ax$ のグラフは $y$ 軸を漸近線にもつ。$0< a<1$ のときは、prop-egl-reciprocal-base により $\pm\infty$ の向きが入れ替わる。
要点：$a=1+h$（$h>0$）とおくと、二項定理から正の整数 $n$ について $a^n\ge1+nh$ で、右辺はいくらでも大きくなる。単調性で $x\ge n$ に広げ、$a^{x}=\dfrac1{a^{-x}}$ で $x\to-\infty$ の場合に移す。対数関数は、$x>a^M$ なら $\log_ax>M$ となることから分かる。
詳しい証明を開く
段 1（下からの評価）。$a=1+h$、$h>0$ とおく。正の整数 $n$ について、二項定理により
$$a^n=(1+h)^n=1+nh+\binom n2h^2+\cdots+h^n\ge1+nh$$
である。$h>0$ なので、捨てた項はどれも $0$ 以上だからである。
段 2（$x\to\infty$）。正の数 $M$ を任意にとる。$n>\dfrac Mh$ となる正の整数 $n$ をとると、段 1 により $a^n\ge1+nh>1+M>M$ である。$x\ge n$ なら、単調性（rem-egl-facts の (ii)）により $a^x\ge a^n>M$ である。よって $x\to\infty$ のとき $a^x\to\infty$ である。
段 3（$x\to-\infty$）。正の数 $\varepsilon$ を任意にとる。段 2 を $M=\dfrac1\varepsilon$ で使うと、$u\ge n$ のとき $a^u>\dfrac1\varepsilon$ となる $n$ がある。$x\le-n$ なら $-x\ge n$ なので、$a^x=\dfrac1{a^{-x}}<\varepsilon$ である（$a^xa^{-x}=a^0=1$ を使った）。$a^x>0$ と合わせて、$x\to-\infty$ のとき $a^x\to0$ である。
段 4（対数関数）。正の数 $M$ をとる。$x>a^M$ なら、prop-egl-monotone により $\log_ax>\log_aa^M=M$ である。よって $x\to\infty$ のとき $\log_ax\to\infty$ である。また $0< x< a^{-M}$ なら $\log_ax<-M$ なので、$x\to+0$ のとき $\log_ax\to-\infty$ である。$\square$
- $2^{-10}=\dfrac1{1024}=0.000976\ldots$ である。$x=-10$ で、$y=2^x$ のグラフは $x$ 軸まで $0.001$ ほどしか離れていない。それでも $2^x>0$ なので、$x$ 軸には触れない。
- $\log_2x$ は $\infty$ に向かうが、ゆっくり増える。$\log_21000000=19.93\ldots$ で、$x$ が $100$ 万でも $y$ は $20$ に届かない。cor-egl-main で折り返すと、これは $2^{20}=1048576$ が $100$ 万を少し超えることの言いかえである。
底が $1$ より大きいときと小さいときのまとめ
| $a>1$ | $0< a<1$ | |
|---|---|---|
| $y=a^x$ の増減 | 増加 | 減少 |
| $y=a^x$ の定義域・値域 | $\mathbb{R}$・$\mathbb{R}_{>0}$ | $\mathbb{R}$・$\mathbb{R}_{>0}$ |
| $y=a^x$ が通る点 | $(0,1)$、$(1,a)$ | $(0,1)$、$(1,a)$ |
| $y=a^x$ の漸近線 | $x\to-\infty$ で $x$ 軸 | $x\to\infty$ で $x$ 軸 |
| $y=\log_ax$ の増減 | 増加 | 減少 |
| $y=\log_ax$ の定義域・値域 | $\mathbb{R}_{>0}$・$\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}_{>0}$・$\mathbb{R}$ |
| $y=\log_ax$ が通る点 | $(1,0)$、$(a,1)$ | $(1,0)$、$(a,1)$ |
| $y=\log_ax$ の漸近線 | $x\to+0$ で $y$ 軸（$y\to-\infty$） | $x\to+0$ で $y$ 軸（$y\to\infty$） |
表の各行の根拠は、増減が prop-egl-exp-monotone と prop-egl-monotone、定義域と値域が prop-egl-exp-monotone と def-egl-log、通る点が ex-egl-main の (3)、漸近線が prop-egl-asymptote である。表の下半分は、上半分の行を cor-egl-main で折り返したものになっている。
交点は直線 $y=x$ の上にあるとは限らない
$y=a^x$ と $y=\log_ax$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称なので、交わるなら直線 $y=x$ の上で交わる、と考えたくなる。底が $1$ より大きければ、これは正しい。
$f$ を $I$ から $J$ への全単射で、狭義単調増加なものとする。点 $(p,q)$ が $y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ の両方のグラフの上にあれば、$p=q$ である。したがって、2 つのグラフの共有点は、方程式 $f(x)=x$ の解 $x=p$ に対する点 $(p,p)$ だけである。
特に $a>1$ なら、$y=a^x$ と $y=\log_ax$ のグラフの共有点は、$a^x=x$ の解 $p$ に対する点 $(p,p)$ だけである。
要点：両方のグラフに乗ることは $q=f(p)$ かつ $f(q)=p$ と同じである。$p< q$ なら増加性から $f(p)< f(q)$、つまり $q< p$ となって矛盾し、$p>q$ も同じように矛盾するので $p=q$ である。逆に $f(p)=p$ なら、点 $(p,p)$ は座標を入れ替えても同じ点なので両方のグラフの上にある。
詳しい証明を開く
段 1（式に直す）。$(p,q)$ が $y=f(x)$ のグラフの上にあるので $q=f(p)$ である。$(p,q)$ が $y=f^{-1}(x)$ のグラフの上にあるので $q=f^{-1}(p)$、つまり def-egl-inverse により $f(q)=p$ である。
段 2（$p< q$ はない）。$p< q$ なら、$f$ は狭義単調増加なので $f(p)< f(q)$、段 1 によりこれは $q< p$ である。$p< q$ に反する。
段 3（$p>q$ はない）。$p>q$ なら同じように $f(p)>f(q)$、つまり $q>p$ となり、$p>q$ に反する。よって $p=q$ で、このとき段 1 から $f(p)=p$ である。
段 4（逆向き）。逆に $f(p)=p$ なら、点 $(p,p)$ は $y=f(x)$ のグラフの上にあり、thm-egl-inverse-graph（座標を入れ替えても同じ点）により $y=f^{-1}(x)$ のグラフの上にもある。
段 5（指数関数の場合）。$a>1$ なら、prop-egl-exp-monotone と prf-egl-main の段 1 により $f(x)=a^x$ は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}_{>0}$ への狭義単調増加な全単射で、逆関数は $\log_ax$ である。ここまでの結論をこの $f$ に使えばよい。$\square$
$a=\sqrt2$ とする。$\left(\sqrt2\right)^2=2$、$\left(\sqrt2\right)^4=4$ なので、$x=2$ と $x=4$ は $a^x=x$ の解である。prop-egl-increasing-meet により、点 $(2,2)$、$(4,4)$ は $y=\left(\sqrt2\right)^x$ と $y=\log_{\sqrt2}x$ の両方のグラフの上にある。実際 $\log_{\sqrt2}2=2$、$\log_{\sqrt2}4=4$ である。
交点はこの 2 つだけである（図 5）。
ほかに交点がないことの確かめ（数学 III の微分）を開く
$g(x)=\left(\sqrt2\right)^x-x$ とおくと、$g'(x)=\left(\sqrt2\right)^x\log\sqrt2-1$ である（$\log$ は自然対数）。$\left(\sqrt2\right)^x$ は増加するので $g'(x)$ も増加し、$g'(x)=0$ となる $x$ はただ 1 つ（$x_0=3.057\ldots$）である。よって $g$ は $x< x_0$ で減少し、$x>x_0$ で増加する。減少する区間でも増加する区間でも、$g(x)=0$ となる $x$ は多くて 1 つずつなので、解は多くて 2 つである。$x=2$、$4$ がその 2 つである。
$a=2$ のとき、すべての実数 $x$ について $2^x>x$ であることを示す。すると $2^x=x$ の解はなく、prop-egl-increasing-meet により $y=2^x$ と $y=\log_2x$ のグラフは交わらない（図 1 でも交わっていない）。$x\le0$ と $x>0$ に分けて確かめる。
$2^x>x$ の確かめを開く
(1) $x\le0$ なら、$2^x>0\ge x$ である。
(2) $x>0$ なら、$x$ 以下の最大の整数を $n$ とする（$n\ge0$、$n\le x< n+1$）。二項定理から $2^n=(1+1)^n\ge1+n$ である（$n=0$ でも $2^0=1\ge1$）。単調性により $2^x\ge2^n\ge n+1>x$ である。
では、底が $1$ より小さいときはどうか。$f$ が減少関数なら、prop-egl-increasing-meet の証明で使った「$p< q$ なら $f(p)< f(q)$」が使えない。実際、直線 $y=x$ の外の交点が現れる。
$a=\dfrac1{16}$ とする。
(1) $\left(\dfrac1{16}\right)^{\frac12}=\dfrac14$ なので、点 $\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ は $y=\left(\dfrac1{16}\right)^x$ のグラフの上にある。$\left(\dfrac1{16}\right)^{\frac14}=\dfrac12$ なので $\log_{\frac1{16}}\dfrac12=\dfrac14$ であり、同じ点 $\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ は $y=\log_{\frac1{16}}x$ のグラフの上にもある。
(2) 同じ 2 つの等式を逆に読むと、点 $\left(\dfrac14,\dfrac12\right)$ も両方のグラフの上にある。$\left(\dfrac1{16}\right)^{\frac14}=\dfrac12$ と $\log_{\frac1{16}}\dfrac14=\dfrac12$ だからである。
(3) 直線 $y=x$ の上にも交点がある。$\left(\dfrac1{16}\right)^c=c$ となる $c$ が $0< c<1$ にただ 1 つあり（数値計算では $c=0.3642\ldots$）、点 $(c,c)$ は両方のグラフの上にある。
$c$ がただ 1 つあることと、点 $(c,c)$ が両方のグラフの上にあることの確かめを開く
$h(x)=\left(\dfrac1{16}\right)^x-x$ とおくと、$h(0)=1>0$、$h(1)=\dfrac1{16}-1<0$ である。$h$ は連続なので、中間値の定理により $h(c)=0$ となる $c$（$0< c<1$）がある。$h$ は減少関数 $\left(\frac1{16}\right)^x$ と減少関数 $-x$ の和で狭義単調減少なので、$c$ はただ 1 つである。$f(x)=\left(\frac1{16}\right)^x$ とすると $f(c)=c$ で、点 $(c,c)$ は $y=f(x)$ のグラフの上にある。この点は座標を入れ替えても同じ点なので、thm-egl-inverse-graph により、$f$ が増加でなくても $y=f^{-1}(x)$ のグラフの上にもある。
交点は全部で 3 つあり、そのうち 2 つは直線 $y=x$ の外にある（図 4）。$x\ge1$ では $\log_{\frac1{16}}x\le0<\left(\frac1{16}\right)^x$ なので、交点は $0< x<1$ にしかない。$0< x<1$ で $\left(\frac1{16}\right)^x-\log_{\frac1{16}}x$ の符号を細かい刻みで調べる数値計算では、符号が変わるのは上の 3 か所だけだった。刻みの間の交点を数値計算で除くことはできないので、交点がちょうど 3 つであることはこの記事では証明しない。
底が 1/16 のとき、2 つのグラフは (1/2, 1/4)、(1/4, 1/2) と直線 y = x の上の (0.364…, 0.364…) の 3 点で交わることを見る図
底が √2 のとき、2 つのグラフは直線 y = x の上の (2, 2) と (4, 4) の 2 点で交わることを見る図
図 4 では、2 つの曲線がほとんど重なりながら 3 回交わる。図 5 では、交点は 2 つとも直線 $y=x$ の上にある。
$f$ が増加でなくても、点 $(p,q)$ が $y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ の両方のグラフの上にあることは、$q=f(p)$ かつ $p=f(q)$ であることと同じである。この条件は $p$ と $q$ を入れ替えても変わらないので、$(p,q)$ が交点なら $(q,p)$ も交点である。$p\ne q$ の交点は、直線 $y=x$ に関して対称な 2 点の組で現れる。
底 $a$（$0< a<1$）がどの範囲のとき直線 $y=x$ の外の交点が現れるかは、$a< e^{-e}=0.0659\ldots$ のときであることが知られている。$\frac1{16}=0.0625$ はこの範囲に入る。この記事ではこの事実を証明しない（証明は 累乗の塔 にある）。
2 回続けて使うと戻る点を開く
$q=f(p)$、$p=f(q)$ は、$f$ を 2 回続けて使うと $p$ に戻る（$f(f(p))=p$）ということである。$f$ が増加関数ならこのような $p\ne q$ はない（prop-egl-increasing-meet）。$f$ が減少関数なら、$p$ を小さくすると $f(p)$ が大きくなるので、$p$ と $q$ が互いに行き来する組がありうる。$a=\frac1{16}$ では $p=\frac12$、$q=\frac14$ がその組で、$f(x)=\left(\frac1{16}\right)^x$ は $\frac12\mapsto\frac14\mapsto\frac12$ と行き来する。
$a>1$ の場合の交点の個数（$0$ 個・$1$ 個・$2$ 個）は、方程式 $a^x=x$ の解の個数である。
底と交点の個数の関係を開く
$x>0$ で両辺の自然対数をとると $\log a=\dfrac{\log x}x$ となり、曲線 $y=\dfrac{\log x}x$ と直線 $y=\log a$ の交点の数になる。この数え方は 定数分離と方程式の実数解の個数 で扱った。そこでの結果を使うと、$\log a<\dfrac1e$（$1< a< e^{\frac1e}=1.444\ldots$）なら $2$ 個、$a=e^{\frac1e}$ なら $1$ 個、$a>e^{\frac1e}$ なら $0$ 個である。$\sqrt2=1.414\ldots$ は $2$ 個の場合、$2$ は $0$ 個の場合である。
例と反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 底 $a\ne1$ | $a=1$：$1^x=1$ | $y=a^x$ が全単射で、逆関数（対数関数）がある |
| 底 $a>0$ | $a=-2$：$(-2)^{\frac12}$ | 指数関数が実数全体で定義される |
| $f$ が増加関数 | $a=\frac1{16}$ | 交点は直線 $y=x$ の上だけ（prop-egl-increasing-meet） |
| $f$ が 1 対 1 | $y=x^2$（$x$ は実数全体） | 直線 $y=x$ で折り返した図形が関数のグラフになる |
$a=1$ なら、どの $x$ でも $1^x=1$ である。値は $1$ だけなので、def-egl-inverse の (i)（1 対 1）も (ii)（$\mathbb{R}_{>0}$ のどの値もとる）も成り立たない。たとえば $1^x=2$ となる $x$ はなく、$1^x=1$ となる $x$ は無数にある。「$\log_12$」も「$\log_11$」も 1 つの数に決まらない。$y=1$ のグラフを直線 $y=x$ で折り返すと直線 $x=1$ になり、これは関数のグラフではない。
$a=-2$ とする。$x$ が整数なら $(-2)^x$ は定まる（$(-2)^3=-8$、$(-2)^{-1}=-\dfrac12$）。しかし $(-2)^{\frac12}$ は「$2$ 乗して $-2$ になる実数」であるべきで、実数の $2$ 乗は $0$ 以上なので、そのような実数はない。したがって $y=(-2)^x$ は実数全体では定義できない。整数 $x$ での値も正負が入れ替わり、単調にならない（詳しくは 指数関数と対数関数はどう定義するか）。
ex-egl-sixteenth が 3 行目の反例である。4 行目の反例を確かめる。
$f(x)=x^2$（$x$ は実数全体）のグラフを直線 $y=x$ で折り返すと、点 $(p,p^2)$ は点 $(p^2,p)$ に移り、図形は $x=y^2$ になる。$x=4$ のとき $y=2$ と $y=-2$ の 2 点があるので、これは関数のグラフではない。$f(2)=f(-2)=4$ で、$f$ が 1 対 1 でないからである。定義域を $x\ge0$ に制限すると 1 対 1 になり、折り返した図形は $y=\sqrt x$ のグラフになる。指数関数は prop-egl-exp-monotone により最初から 1 対 1 である。
大学数学で見る：和を積に移す同型
$a>0$、$a\ne1$ とし、$\exp_a(x)=a^x$ と書く。cor-egl-main により、$\exp_a$ は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}_{>0}$ への全単射で、逆関数は $\log_a$ である。さらに指数法則 $a^{x+y}=a^xa^y$ により、次の図式は可換である。
$$
\xymatrix{
\mathbb{R}\times\mathbb{R} \ar[r]^{+} \ar[d]_{\exp_a\times\exp_a} & \mathbb{R} \ar[d]^{\exp_a} \\
\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}_{>0} \ar[r]_{\times} & \mathbb{R}_{>0}
}
$$
図式が可換であるとは、左上の組 $(x,y)$ を「先に足して $\exp_a$ で移す」のと「先に $\exp_a$ で移して掛ける」のが同じ結果になること、つまり
$$
\exp_a(x+y)=\exp_a(x)\exp_a(y)
$$
ということである。
大学数学では、このように演算を移す全単射を群の同型という。$\exp_a$ は足し算の世界 $(\mathbb{R},+)$ から掛け算の世界 $(\mathbb{R}_{>0},\times)$ への同型であり、逆関数 $\log_a$ は掛け算を足し算に変える逆向きの同型である。
群と同型の説明を開く
足し算について実数全体 $\mathbb{R}$ は群をなし（$0$ が単位元、$-x$ が $x$ の逆元）、掛け算について正の実数全体 $\mathbb{R}_{>0}$ も群をなす（$1$ が単位元、$\frac1x$ が逆元）。群から群への全単射で演算を移すもの（上の等式を満たすもの）が群の同型である。逆関数 $\log_a$ は $\log_a(st)=\log_as+\log_at$ を満たす。$\log_a$ が掛け算を足し算に変えることは、計算尺の原理そのものである（計算尺と対数）。
$y=a^x$ は区間 $\mathbb{R}$ で連続かつ狭義単調なので、その逆関数 $y=\log_ax$ も連続であり（Leb26 Proposition 3.6.6）、グラフは切れ目のない曲線になる。
逆関数の連続性についての補足を開く
thm-egl-inverse-graph の対称性は、逆関数があればいつでも成り立つ。これに対して、グラフが切れ目なくつながっていること（連続性）は、逆関数に自動的に引き継がれるとは限らない。狭義単調な関数については、区間で定義されていれば逆関数は連続である。上の $y=\log_ax$ の連続性は、この事実を $y=a^x$ に使ったものである。
演習
- $y=3^x$ のグラフの上の点 $(-2,\ \square)$ の $\square$ を求め、その点を直線 $y=x$ で折り返した点が $y=\log_3x$ のグラフの上にあることを確かめよ。
- $\log_{\frac13}9$ を求め、prop-egl-reciprocal-base の 2 と合っていることを確かめよ。
解答を開く
(1) $3^{-2}=\dfrac19$ なので点は $\left(-2,\dfrac19\right)$ である。折り返した点は $\left(\dfrac19,-2\right)$ で、$\log_3\dfrac19=-2$（$3^{-2}=\dfrac19$ だから）なので、確かに $y=\log_3x$ のグラフの上にある。
(2) $\left(\dfrac13\right)^{-2}=3^2=9$ なので $\log_{\frac13}9=-2$ である。一方 $\log_39=2$ なので、$\log_{\frac13}9=-\log_39$ が成り立っている。
- $y=4^x$ と $y=\log_4x$ のグラフは交わらないことを示せ。
- 点 $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ は $y=\left(\dfrac14\right)^x$ と $y=\log_{\frac14}x$ の両方のグラフの上にあることを確かめよ。
解答を開く
(1) ex-egl-two により、すべての $x$ で $2^x>x$ である。$x\ge0$ なら $4^x=2^x\cdot2^x\ge2^x>x$（$2^x\ge1$ を使った）、$x<0$ なら $4^x>0>x$ である。よって $4^x=x$ の解はない。底 $4>1$ なので、prop-egl-increasing-meet により交点はない。
(2) $\left(\dfrac14\right)^{\frac12}=\dfrac12$ なので、点 $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ は $y=\left(\dfrac14\right)^x$ のグラフの上にある。同じ等式から $\log_{\frac14}\dfrac12=\dfrac12$ なので、$y=\log_{\frac14}x$ のグラフの上にもある。底 $\dfrac14=0.25$ は $e^{-e}=0.0659\ldots$ より大きいので、rem-egl-pairs で述べた事実から、直線 $y=x$ の外の交点はない（数値計算で差の符号を調べても、符号が変わるのはこの 1 か所だけである）。
さらに先へ
- 底の違う指数関数は、$a^x=b^{x\log_ba}$ と書けるので、$y=b^x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\dfrac1{\log_ba}$ 倍したもの（$\log_ba<0$ なら $y$ 軸に関する対称移動も含む）である。どの底の指数関数も、1 つの底（大学では $e$）の指数関数で表せる。底 $e$ が特別な理由は eはなぜ特別か で扱う。
- 片方の軸だけを対数の目盛にすると、$y=a^x$ のグラフは直線になる。この見方は次の 対数目盛と片対数グラフ で扱う。
- 逆関数の微分の公式 $\left(f^{-1}\right)'(q)=\dfrac1{f'(p)}$（$q=f(p)$、$f'(p)\ne0$）は、thm-egl-inverse-graph の折り返しで接線の傾きが逆数になることの言いかえである（逆関数の微分）。
関連項目
- 前提: 指数関数と対数関数はどう定義するか, グラフの平行移動と対称移動
- 前に読む: 指数関数と対数関数はどう定義するか, グラフの平行移動と対称移動
- 次に読む: 対数目盛と片対数グラフ, 常用対数と桁数, 逆関数と合成関数, 対数の底の変換
- 関連（高校数学）: 逆関数の微分, 逆三角関数（高校数学）, 定数分離と方程式の実数解の個数, 累乗の塔
- 発展: 逆関数, 群の同型
- 比較: 指数関数, 対数関数
参考文献
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