Hurwitzの定理(合成代数)

どれも、$N(xy)=N(x)N(y)$ の変数を和に置き換えて展開すること（線形化）と、極形式の非退化性から従う。2 を線形化して 3 を、3 から 4・5 を、3 と 1 から 6 を導く。

1：$D$ のノルムが積を保ち、共役がノルムを保つ（$N(\bar x)=N(T(x)1-x)=T(x)^2+N(x)-T(x)^2=N(x)$）ことを使って展開すると、
$$ N\bigl((a,b)(c,d)\bigr)-N(a,b)N(c,d)=\gamma\bigl(\langle ac,\bar db\rangle-\langle da,b\bar c\rangle\bigr) $$
となる（$N(u+v)=N(u)+N(v)+\langle u,v\rangle$ で両辺を展開すると、$N(a)N(c)$、$\gamma^2N(b)N(d)$、$\gamma N(a)N(d)$、$\gamma N(b)N(c)$ の項は打ち消し合う）。lem-hurwitz-identities の 3 と 1 から $\langle ac,\bar db\rangle=\langle b,d(ac)\rangle$、$\langle da,b\bar c\rangle=\langle b,(da)c\rangle$ なので、右辺は $\gamma\langle b,\,d(ac)-(da)c\rangle$ である。$\gamma\neq0$ と非退化性から、これが全ての $a,b,c,d$ で $0$ であることは、$d(ac)=(da)c$ が全ての $a,c,d$ で成り立つこと、すなわち $D$ が結合的であることと同値である。
2：$\ell=(0,1)$ とおくと、定義から $(a,0)\ell=(0,a)$、$\ell(a,0)=(0,\bar a)$、$(a,0)\bigl((b,0)\ell\bigr)=(a,0)(0,b)=(0,ba)$、$\bigl((a,0)(b,0)\bigr)\ell=(0,ab)$ である。結合的なら最後の 2 つが等しく $ab=ba$。可換なら初めの 2 つが等しく $a=\bar a$、すなわち $2a=T(a)$ で、標数が $2$ でないので $a\in k$ である。
3：$D$ が可換なら lem-hurwitz-identities の 6 から $\overline{xy}=\bar x\bar y$ である。$\bigl((a,b)(c,d)\bigr)(e,f)$ と $(a,b)\bigl((c,d)(e,f)\bigr)$ を定義どおり展開すると、可換性と結合性によって成分が一致する。

$\ell$ の存在。$D$ の直交補空間を $D^{\perp}$ とする。$c\in C$ に対し、$D$ 上の線形形式 $d\mapsto\langle c,d\rangle$ は、$D$ が有限次元で形式が非退化なので、ある $p\in D$ により $\langle p,\cdot\rangle$ と表せ、$c-p\in D^{\perp}$ となる。$D\cap D^{\perp}=0$ なので $C=D\oplus D^{\perp}$ であり、$D\neq C$ から $D^{\perp}\neq0$ である。$D^{\perp}$ の元で $D^{\perp}$ 全体と直交するものは $C$ 全体と直交するので $0$ であり、形式は $D^{\perp}$ 上でも非退化である。もし $D^{\perp}$ 上で $N=0$ なら、極形式も $D^{\perp}$ 上で $0$ になって矛盾するので、$N(\ell)\neq0$ となる $\ell\in D^{\perp}$ がある。
以下 $a,b,d\in D$ とし、lem-hurwitz-identities を使う。$D$ は $1$ を含むので共役で閉じている。

• $T(\ell)=\langle\ell,1\rangle=0$ なので $\bar\ell=-\ell$、4 から $\ell^2=-N(\ell)=\gamma$。
• $\langle b\ell,a\rangle=\langle\ell,\bar ba\rangle=0$ なので $D\ell\perp D$。2 から $\langle a\ell,b\ell\rangle=N(\ell)\langle a,b\rangle$ で、$a\mapsto a\ell$ は単射、$D+D\ell$ は直和で、$N(a+b\ell)=N(a)-\gamma N(b)$。$T(b\ell)=0$ なので $\overline{b\ell}=-b\ell$。
• 4 の最後の式で $x=d$、$y=\ell$ とおくと $-d\ell+\ell\bar d=0$、すなわち $\ell\bar d=d\ell$。
• 5 の線形化で $x=\ell$、$w=d$ とおくと、$\bar d(\ell y)=\ell(dy)$、$(y\ell)\bar d=(yd)\ell$（全ての $y\in C$）。
  これらから積の公式を出す。
• $a(b\ell)=a(\ell\bar b)=\ell(\bar a\bar b)=\ell\,\overline{ba}=(ba)\ell$（6 を使った）。
• $(a\ell)b=(a\bar b)\ell$（上の第 2 式で $y=a$、$d=\bar b$）。
• 5 の第 2 の線形化で $y=a$、$x=\ell$、$w=-b\ell$（$\bar w=b\ell$）とおくと、$(a\ell)(b\ell)+\bigl(a(b\ell)\bigr)\ell=\langle\ell,-b\ell\rangle a=\gamma T(b)a$ である。$a(b\ell)=(ba)\ell$ と、5 から得る $(u\ell)\ell=-(u\ell)\bar\ell=-N(\ell)u=\gamma u$ を使うと、$(a\ell)(b\ell)=\gamma(T(b)a-ba)=\gamma\,\bar b\,a$ である。
  従って $(a+b\ell)(c+d\ell)=(ac+\gamma\bar db)+(da+b\bar c)\ell$ であり、$D+D\ell$ は積で閉じ、その積とノルムは $\operatorname{CD}(D,\gamma)$ のものと一致する。$D$ は $N$ の制限について合成代数で、$D+D\ell$ のノルムは積を保つので、prop-hurwitz-doubling-associativity の 1 から $D$ は結合的である。$\square$

1・2：$D_0:=k1$ とおく。$\langle1,1\rangle=2\neq0$ なので $N$ の $D_0$ への制限は非退化である。$D_0\neq C$ なら lem-hurwitz-subalgebra-doubling により $D_1:=D_0+D_0\ell_1\cong\operatorname{CD}(D_0,\gamma_1)$ が得られ、これも有限次元・非退化（$\operatorname{CD}$ の極形式は非退化）なので、$D_1\neq C$ ならさらに $D_2:=D_1+D_1\ell_2$ が得られる。こうして $\dim D_i=2^i$ の部分代数の列 $D_0\subset D_1\subset\cdots$ ができ、補題から、$D_i\neq C$ である限り $D_i$ は結合的である。

• $D_1=\operatorname{CD}(k,\gamma_1)$ は $2$ 次元なので $D_1\neq k$ である。
• $D_2$ ができたとすると、$D_2=\operatorname{CD}(D_1,\gamma_2)$ は、prop-hurwitz-doubling-associativity の 2 の後半と $D_1\neq k$ から可換でない。
• $D_3$ ができたとすると、$D_3=\operatorname{CD}(D_2,\gamma_3)$ は、同じ命題の 2 の前半と $D_2$ が可換でないことから結合的でない。従って $D_3\neq C$ はありえない（$D_3\neq C$ なら補題により $D_3$ は結合的）。
  よって列はある $i\le3$ で $D_i=C$ となって止まり、$\dim C\in\{1,2,4,8\}$ である。2 の性質は次のとおり。$D_1=\operatorname{CD}(k,\gamma_1)$ では $k$ の共役が恒等写像なので積の式が $(a,b)$ と $(c,d)$ について対称で可換であり、命題の 3 から結合的である。$D_2$ は命題の 3（$D_1$ が可換かつ結合的）から結合的で、上で見たとおり可換でない。$D_3$ は結合的でない。
  3：$k=\mathbb R$ で $N$ が正定値なら、補題の $\ell$ は $D^{\perp}$ の $0$ でない任意の元でよく、$\ell/\sqrt{N(\ell)}$ に取り替えて $N(\ell)=1$、すなわち $\gamma=-1$ とできる。$\varphi\colon D\to D'$ がノルムを保つ多元環の同型なら、$T(x)=\langle x,1\rangle$ と共役も保つので、$a+b\ell\mapsto\varphi(a)+\varphi(b)\ell'$ は $\operatorname{CD}(D,-1)\cong\operatorname{CD}(D',-1)$ を与える。$D_0=\mathbb R$ から帰納的に、$D_1\cong\operatorname{CD}(\mathbb R,-1)=\mathbb C$、$D_2\cong\mathbb H$、$D_3\cong\mathbb O$ がノルムを保つ同型で得られる。$\square$

$n=1,2,4,8$ では $\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O$ の積が条件を満たす。逆に $\mu$ があるとし、$|e|=1$ となる $e$ をとる。$R(x):=\mu(x,e)$、$L(y):=\mu(e,y)$ は $|R(x)|=|x|$、$|L(y)|=|y|$ を満たす線形写像なので単射、従って有限次元から可逆で、逆写像も長さを保つ。
$$ x\circ y:=\mu\bigl(R^{-1}x,\ L^{-1}y\bigr),\qquad u:=\mu(e,e) $$
とおくと、$|x\circ y|=|R^{-1}x||L^{-1}y|=|x||y|$ である。$R(e)=u$、$L(e)=u$ なので $u\circ y=\mu(e,L^{-1}y)=y$、$x\circ u=\mu(R^{-1}x,e)=x$ となり、$u$ は単位元である。$N(x)=|x|^2$ は正定値（特に非退化）なので、$(\mathbb R^n,\circ,N)$ は合成代数であり、thm-hurwitz-composition から $n\in\{1,2,4,8\}$ である。$\square$