一般の基底変換定理

1. $j^{-1}(U)=U$ であり、$j$ の $U$ の上の部分は恒等射 $\mathrm{id}_U$ である。順像は開集合への制限と交換するので、$U$ の上で $j_*\Lambda|_U=\Lambda_U$、$i\ge1$ で $R^ij_*\Lambda|_U=R^i(\mathrm{id}_U)_*\Lambda=0$ であり、これらは構成可能である。$S'\to S$ が $U$ を経由するなら、$Y'=Y\times_SS'=S'$、$X'=\mathbb G_m\times_SS'=S'$ で $f'=\mathrm{id}_{S'}$ となる。$g\colon S'\to Y$ は $U$ を経由するので、$g^{-1}R^ij_*\Lambda$ は $i=0$ で $\Lambda_{S'}$、$i\ge1$ で $0$ である。一方 $R^i(\mathrm{id}_{S'})_*\Lambda$ も $i=0$ で $\Lambda_{S'}$、$i\ge1$ で $0$ であり、基底変換射は恒等射である。
2. $S'=\bar0=\operatorname{Spec}\Omega$ とすると $X'=\mathbb G_m\times_S\bar0=\emptyset$ なので $f'_*g'^{-1}\Lambda=0$ である。一方 $g^{-1}j_*\Lambda$ は茎 $(j_*\Lambda)_{\bar0}$ であり、これは $0$ でない。実際、$(j_*\Lambda)_{\bar0}=\Gamma(\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{S,\bar0}[t^{-1}],\Lambda)$ であり（Stacks Tag 03Q9）、$k[t]_{(t)}\to\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{S,\bar0}$ は忠実平坦なので $t$ は冪零でなく、$\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{S,\bar0}[t^{-1}]\neq0$ の上で定数関数 $1$ は $0$ でない切断である（固有基底変換定理の例「反例：固有でない開埋め込み」と同じ計算）。よって基底変換射は同型でない。$S$ の開集合で原点を含むものは、この $S'$ が経由するので $U$ にとれない。$\square$

$H^1$ の計算。体 $L\in\{k,K\}$ について、$\mathbb A^1_L$ の上の Artin–Schreier 列 $0\to\mathbb Z/p\to\mathbb G_a\xrightarrow{\ \wp\ }\mathbb G_a\to0$、$\wp(g)=g^p-g$ は完全である（エタールコホモロジーの命題「Kummer列とArtin–Schreier列」）。$H^0(\mathbb A^1_L,\mathbb G_a)=L[x]$ であり、$\mathbb A^1_L$ はアフィンなので $H^1(\mathbb A^1_L,\mathbb G_a)=0$ である（同記事の定理「基礎的な比較と計算」の 2）。コホモロジーの長完全列から
$$ H^1(\mathbb A^1_L,\mathbb Z/p)\cong L[x]/\wp(L[x]) $$
であり、この同型は体の拡大 $k\subset K$ と両立する（引き戻しの写像は $k[x]\to K[x]$ から誘導される）。
標準形。$L$ を標数 $p$ の代数閉体とする。$x$ の次数が $p$ と素な単項式だけからなり定数項が $0$ である多項式を、標準形と呼ぶ。
(a) すべての $h\in L[x]$ は、$\wp(L[x])$ を法として標準形の多項式と合同である。実際、$a\in L$、$m\ge0$ について、$L$ は完全体なので $b:=a^{1/p}$ があり、$\wp(bx^m)=ax^{pm}-bx^m$ より $ax^{pm}\equiv bx^m$ である。$m\ge1$ なら次数が $pm$ から $m$ に下がり、$m=0$ なら定数 $a$ は、$L$ が代数閉なので $c^p-c=a$ となる $c$ があって $a=\wp(c)\equiv0$ である。次数が $p$ で割り切れる単項式にこれを繰り返すと、有限回で標準形になる。この手順は係数を $L$ の外に出さない。
(b) 標準形の多項式 $h$ が $\wp(L[x])$ に入るなら $h=0$ である。実際 $h=\wp(g)=g^p-g$ とし、$g$ の次数 $d$ が $1$ 以上なら、$g$ の最高次の係数を $a$ として $g^p-g$ の最高次の項は $a^px^{pd}$ で、その次数 $pd$ は $p$ で割り切れるので、$h$ が標準形であることに反する。よって $g$ は定数で、$h=g^p-g$ も定数であり、定数項が $0$ なので $h=0$ である。(a)(b) から、$L[x]/\wp(L[x])$ の各元はちょうど 1 つの標準形で代表される。
全射でないこと。$c\in K\setminus k$ をとり、$cx\in K[x]$ の類が $k[x]$ の像に入ると仮定する。$cx\equiv h\pmod{\wp(K[x])}$ となる $h\in k[x]$ があり、(a) を $L=k$ で使うと $h\equiv h'\pmod{\wp(k[x])}$ となる標準形 $h'\in k[x]$ がある。$\wp(k[x])\subset\wp(K[x])$ なので、$cx$ と $h'$ はどちらも $K[x]$ の標準形で、$\wp(K[x])$ を法として合同である。(b) により $cx=h'$ であり、$c\in k$ となって矛盾する。
基底変換との関係。$k$、$K$ は分離閉なので、$\operatorname{Spec}k$・$\operatorname{Spec}K$ のエタール層はアーベル群と同じであり、$R^1f_*\mathbb Z/p$ は $H^1(\mathbb A^1_k,\mathbb Z/p)$、基底変換した射の $R^1$ は $H^1(\mathbb A^1_K,\mathbb Z/p)$ に対応する。基底変換射は引き戻しの写像なので同型でない。$\square$

thm-gbc-main を $Y=S$ に使い、稠密な開集合 $U_0$ をとる。$\bar s\to U_0$ を幾何的点とすると、基底変換 $\bar s\to U_0$ で $R^if_*F$ の作り方が交換するので、$(R^if_*F)_{\bar s}\cong H^i(X_{\bar s},F)$ である。$R^if_*F|_{U_0}$ は構成可能で、有限個の $i$ を除いて $0$ である。
Noether スキーム $U_0$ の上の構成可能層 $G$ は、稠密な開集合の上で局所定数である。実際、$U_0$ を有限個のアフィン開集合 $V$ で覆い、定義の分解 $V=V_1\sqcup\dots\sqcup V_m$ をとる。$V$ の既約成分 $Z$ の生成点 $\eta$ はある $V_j$ に入る。$V_j=W\cap C$（$W$ は開、$C$ は閉）と書くと、$C$ は $\eta$ を含むので $Z\subset C$ であり、$Z\cap W\subset V_j$ である。$W$ から $Z$ 以外の既約成分（有限個の閉集合）を除いた開集合 $W_Z$ は $\eta$ を含み、$W_Z\subset Z\cap W\subset V_j$ なので、$G|_{W_Z}$ は局所定数である。これらの $W_Z$ の和は $U_0$ の稠密な開集合で、その上で $G$ は局所定数である。
有限個の $i$ について $R^if_*F$ にこれを使い、得られた開集合の共通部分を $U$ とする（有限個の稠密な開集合の共通部分は稠密）。$U$ の上で $R^if_*F$ は有限型の局所定数層なので、$U$ の連結成分の上で茎は互いに同型である。茎は $H^i(X_{\bar s},F)$ なので主張が従う。$\square$

$\bar a$ での幾何的ファイバーは $X_{\bar a}=\bigsqcup_{b\neq a}\{\bar a\}$ であり（$X_a$ は $a$ の上に点をもたない）、$\Gamma(X_{\bar a},\Lambda)=\prod_{b\neq a}\Lambda$ である。$Y$ の開集合 $V$（またはエタールな $V\to Y$）について $f_*\Lambda(V)=\prod_{b\in k}\Gamma(X_b\times_YV,\Lambda)$ なので、$b=a$ の成分が $1$ で、ほかの成分が $0$ である $Y$ 上の切断 $\sigma$ がある。$\bar a$ のエタール近傍 $(V,v)$ について、$X_a\times_YV$ は $V$ から $a$ の上の点（有限個）を除いたもので、$V$ の各既約成分は $1$ 次元なので空でない。よって $\sigma$ のどのエタール近傍への制限も $0$ でなく、茎 $(f_*\Lambda)_{\bar a}$ での $\sigma$ の像は $0$ でない。一方、基底変換射で $\sigma$ はファイバーの $\prod_{b\neq a}\Lambda$ の $0$ に写る（$b\neq a$ の成分がすべて $0$）。よって基底変換射 $(f_*\Lambda)_{\bar a}\to\Gamma(X_{\bar a},\Lambda)$ は単射でない。$\mathbb A^1_k$ の空でない開集合は、有限個を除くすべての $a\in k$ に対応する閉点を含むので、どんな稠密な開集合 $U$ もこのような点 $a$ を含み、$\bar a\to U$ による基底変換で交換しない。$\square$