Peanoの存在定理

$U$ は開集合なので、$T>0$、$\delta>0$ を $[t_0-T,t_0+T]\times\overline{B}_\delta(x_0)\subset U$ となるようにとれる。thm-peano-main の $T_0>0$ について $\varepsilon:=T_0$ とし、得られた解を開区間に制限すればよい。$\square$

右側（$t\geq t_0$）を示す（左側も同じ）。$k$ についての帰納法で、$x_N$ が $[t_0,t_k]$ で定義されて $\lvert x_N(t)-x_0\rvert\leq M(t-t_0)$ をみたすことを示す。$k=0$ では明らかである。$k$ で成り立つとすると、$\lvert x_N(t_k)-x_0\rvert\leq M(t_k-t_0)\leq MT_0\leq\delta$ なので $(t_k,x_N(t_k))\in V\subset U$ であり、傾き $f(t_k,x_N(t_k))$ が定まって $\lvert f(t_k,x_N(t_k))\rvert\leq M$ である。よって $t\in[t_k,t_{k+1}]$ について
$$ \lvert x_N(t)-x_0\rvert\leq\lvert x_N(t)-x_N(t_k)\rvert+\lvert x_N(t_k)-x_0\rvert\leq M(t-t_k)+M(t_k-t_0)=M(t-t_0) $$
であり、$k+1$ でも成り立つ。とくに $\lvert x_N(t)-x_0\rvert\leq MT_0\leq\delta$ である（$M=0$ なら $x_N\equiv x_0$）。最後の不等式は、$x_N$ が各小区間で傾きの大きさ $M$ 以下の 1 次関数であることから、$s$ と $t$ の間の分点で区切って三角不等式を使えば得られる。$\square$

$t\geq t_0$ とする（$t\leq t_0$ も同じ）。各小区間 $[t_k,t_{k+1}]$ の上で $x_N$ は傾き $f(t_k,x_N(t_k))$ の 1 次関数なので、$x_N(t)-x_0=\int_{t_0}^{t}\sigma_N(s)\,ds$ である。ここで $\sigma_N(s):=f(t_k,x_N(t_k))$（$t_k\leq s< t_{k+1}$）は階段関数である。$s\in[t_k,t_{k+1})$ なら $\lvert s-t_k\rvert\leq h$ であり、lem-peano-ball により $\lvert x_N(s)-x_N(t_k)\rvert\leq Mh$、どちらの点も $V$ に属するので $\lvert\sigma_N(s)-f(s,x_N(s))\rvert\leq\omega(h)$ である。よって
$$ \Bigl\lvert x_N(t)-x_0-\int_{t_0}^{t}f\bigl(s,x_N(s)\bigr)\,ds\Bigr\rvert\leq\int_{t_0}^{t}\bigl\lvert\sigma_N(s)-f\bigl(s,x_N(s)\bigr)\bigr\rvert\,ds\leq(t-t_0)\,\omega(h) $$
である。$\square$

段 1（部分列）．lem-peano-ball により、折れ線の列 $(x_N)_{N\geq1}$ は $I_0$ 上の連続写像で、$\lvert x_N\rvert\leq\lvert x_0\rvert+\delta$ をみたし（一様有界、とくに各点有界）、共通の Lipschitz 定数 $M$ をもつので同程度連続である（Arzelà–Ascoliの定理の記事の例「共通の Lipschitz 定数をもつ族」）。$I_0$ はコンパクトなので、Arzelà–Ascoliの定理の記事の定理「Arzelà–Ascoliの定理」により、部分列 $(x_{N_j})_j$ と連続写像 $x\colon I_0\to\mathbb{R}^n$ で、$x_{N_j}\to x$ が $I_0$ 上で一様収束するものがある。各点で $\lvert x_{N_j}(t)-x_0\rvert\leq\delta$ なので、極限でも $\lvert x(t)-x_0\rvert\leq\delta$、すなわち $x(I_0)\subset\overline{B}_\delta(x_0)$ である。
段 2（右辺の一様収束）．$f$ は $V$ 上で一様連続である。$\varepsilon>0$ に対し $\eta>0$ を、$(s,y),(s,z)\in V$、$\lvert y-z\rvert< \eta$ なら $\lvert f(s,y)-f(s,z)\rvert<\varepsilon$ となるようにとる。$j$ が大きく $\max_{I_0}\lvert x_{N_j}-x\rvert< \eta$ となれば、すべての $s\in I_0$ について $(s,x_{N_j}(s))$、$(s,x(s))$ はともに $V$ に属するので $\lvert f(s,x_{N_j}(s))-f(s,x(s))\rvert<\varepsilon$ である。よって $f(s,x_{N_j}(s))\to f(s,x(s))$ は $s\in I_0$ について一様収束する。
段 3（極限が積分方程式をみたす）．$t\in I_0$ を固定する。lem-peano-defect を $N=N_j$ で使い、三角不等式で
$$ \Bigl\lvert x(t)-x_0-\int_{t_0}^{t}f\bigl(s,x(s)\bigr)\,ds\Bigr\rvert\leq\lvert x(t)-x_{N_j}(t)\rvert+T_0\,\omega\Bigl(\frac{T_0}{N_j}\Bigr)+\Bigl\lvert\int_{t_0}^{t}\Bigl(f\bigl(s,x_{N_j}(s)\bigr)-f\bigl(s,x(s)\bigr)\Bigr)ds\Bigr\rvert $$
を得る。$j\to\infty$ のとき、右辺の第 1 項は段 1 により、第 2 項は $\omega(h)\to0$（$h\to0$）により、第 3 項は段 2 により（被積分関数の上限 $\times T_0$ で抑えられる）$0$ に近づく。左辺は $j$ によらないので $0$ であり、
$$ x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f\bigl(s,x(s)\bigr)\,ds\qquad(t\in I_0) $$
が成り立つ。
段 4（解であること）．$x$ は連続で、$(s,x(s))\in V\subset U$ なので被積分関数 $s\mapsto f(s,x(s))$ は連続である。微分積分学の基本定理の記事の定理「積分の上端についての微分」を成分ごとに使えば、$x$ は $C^1$ 級で $x'(t)=f(t,x(t))$（端点では片側微分係数）、$x(t_0)=x_0$ である。よって $x$ は $I_0$ 上の解であり、値は $\overline{B}_\delta(x_0)$ に入る。$\square$

$x_{a,b}$ が解であること：$t>b$ では $x'=2(t-b)=2\sqrt{(t-b)^2}$、$t< a$ では $x'=-2(t-a)=2\lvert t-a\rvert=2\sqrt{(t-a)^2}$、$a< t< b$ では両辺 $0$ である。接ぎ目 $t=b$（$b$ が有限のとき）では左右の微分係数がどちらも $0$ で、$2\sqrt{\lvert x(b)\rvert}=0$ に等しい。$t=a$ でも同じである。よって $x_{a,b}$ は $C^1$ 級で方程式をみたし、$x_{a,b}(0)=0$ である。
解がこれらに限ること：$x$ を $\mathbb{R}$ 上の解とする。$x'=2\sqrt{\lvert x\rvert}\geq0$ なので $x$ は単調増加であり、$x(0)=0$ から $t\geq0$ で $x(t)\geq0$、$t\leq0$ で $x(t)\leq0$ である。
$t\geq0$ の側：$b:=\sup\{t\geq0\mid x(t)=0\}\in[0,\infty]$ とおく。単調性から $[0,b)$ 上で $x=0$ であり、$b$ が有限なら連続性から $x(b)=0$ である。$b$ が有限のとき、$(b,\infty)$ の上で $x>0$ であり（単調で、$b$ より先に零点がない）、そこでは $\bigl(\sqrt{x}\bigr)'=x'/(2\sqrt{x})=1$ なので、ある定数 $c$ で $\sqrt{x(t)}=t-c$（$t>b$）となる。$t\to b+0$ とすると左辺は $\sqrt{x(b)}=0$ に近づくので $c=b$ であり、$x(t)=(t-b)^2$（$t>b$）である。
$t\leq0$ の側：$a:=\inf\{t\leq0\mid x(t)=0\}\in[-\infty,0]$ とおくと、同様に $(a,0]$ 上で $x=0$ であり、$a$ が有限なら $(-\infty,a)$ の上で $y:=-x>0$、$y'=-x'=-2\sqrt{y}$ なので $\bigl(\sqrt{y}\bigr)'=-1$ である。$t\to a-0$ で $\sqrt{y}\to0$ から $\sqrt{y(t)}=a-t$、すなわち $x(t)=-(t-a)^2$（$t< a$）である。
以上より $x=x_{a,b}$ である。$\square$

$(x_N)$ の任意の部分列 $(x_{N_k})_k$ をとる。prf-peano-main の段 1〜4 は $(x_N)$ の代わりに $(x_{N_k})$ から始めてもそのまま通る（使ったのは lem-peano-ball と lem-peano-defect と $N\to\infty$ だけである）ので、$(x_{N_k})$ はさらに部分列をもち、それは $I_0$ 上の解で $\overline{B}_\delta(x_0)$ に値をとるものに一様収束する。仮定によりその解は $x$ である。こうして、$I_0$ 上の連続写像の空間に上限距離を入れた距離空間の中で、$(x_N)$ の任意の部分列が $x$ に収束する部分列をもつので、部分列の記事の定理「部分列の部分列による収束の判定」により $x_N\to x$（一様収束）である。$\square$