Severi–Brauer多様体

$\mathbb{P}^n_k$ は分裂する Severi–Brauer 多様体であり、対応する中心単純環は $M_{n+1}(k)$ である。スキームの上では、階数 $r$ の局所自由加群 $E$ の射影化 $\mathbb{P}(E)$ は Zariski 局所的に $\mathbb{P}^{r-1}$ なので Severi–Brauer スキームであり、対応する Azumaya 代数は $\mathcal{E}nd(E)$（規約によってはその反対代数）である。その Brauer 類は $0$ である。

$C \subset \mathbb{P}^2_{\mathbb{R}}$ を $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ で定まる円錐曲線とする。これは $-x^2 - y^2 = z^2$ と同じなので、prop-sb-conic-norm の $a = b = -1$ の場合であり、対応する中心単純環は Hamilton の四元数 $\mathbb{H} = (-1, -1)_{\mathbb{R}}$ である。
$C$ は実点をもたない（実数の平方和が $0$ なら全部 $0$）。したがってthm-sb-chatelet により $C \not\cong \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$ であり、$\mathbb{H}$ は分裂しない。一方 $C_{\mathbb{C}} \cong \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ である。$[\mathbb{H}]$ の周期は $2$ なので、thm-sb-picard により、$C$ 上の可逆層の（幾何的な）次数はすべて偶数である。実際、反標準層は次数 $2$ である。

$k = \mathbb{Q}$、$a = -1$、$b = 3$ とし、$C$ を $-x^2 + 3y^2 = z^2$ とする。prop-sb-conic-norm により、$C$ が有理点をもつことは $3$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q}$ のノルム、すなわち有理数の平方の和 $3 = u^2 + v^2$ であることと同値である。$3$ は有理数の 2 つの平方の和でない（$u = p/q$、$v = r/q$ と通分して $3q^2 = p^2 + r^2$ とし、$3$ を法として平方剰余を見ると、$p, r$ がともに $3$ で割り切れることになり、無限降下に至る）。したがって $C$ は有理点をもたず、$(-1, 3)_{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ 上の斜体である。

$Q \subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{R}}$ を $x^2 + y^2 = z^2 + w^2$ で定まる 2 次曲面とする。$Q$ は実点 $(1 : 0 : 1 : 0)$ をもち、$\mathbb{R}$ 上有理的である。しかし $Q_{\mathbb{C}}$ は $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ に同型であり、その Picard 群は $\mathbb{Z}^2$ で、$\mathbb{P}^2$ の Picard 群 $\mathbb{Z}$ と異なるので、$Q_{\mathbb{C}} \not\cong \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ である。どの拡大体 $K$ の上でも $Q_K \cong \mathbb{P}^2_K$ とはならない（なれば $\bar K$ 上でもそうなり、上と同じ理由で矛盾する）。
したがって $Q$ は定義の条件（ある拡大体の上で射影空間に同型）を満たさず、Severi–Brauer 多様体でない。実際、$Q$ は有理点をもつが $\mathbb{P}^2_{\mathbb{R}}$ に同型でない。**thm-sb-chatelet の 2⇒1 は、「幾何的に射影空間」を「幾何的に有理的」に弱めると成り立たない。**

$X = \operatorname{Spec} \mathbb{R}[t]$ とし、$P \subset \mathbb{P}^2_X$ を $x^2 + y^2 = t z^2$ で定まる円錐曲線の族とする。$P \to X$ は超曲面の族なので、固有・平坦・有限表示である。

• $t = 0$ のファイバー。幾何的ファイバーは $x^2 + y^2 = 0$、すなわち $\mathbb{C}$ 上で交わる 2 本の直線 $x = \pm \sqrt{-1}\, y$ であり、$\mathbb{P}^1$ に同型でない。thm-sb-fiber-criterion の仮定（すべての幾何的ファイバーが射影空間）をこの点で満たさない。実際 $P$ は $X$ 上の Severi–Brauer スキームでない（Severi–Brauer スキームの幾何的ファイバーはすべて射影空間だから）。
• $t \ne 0$ の部分。幾何的ファイバーは滑らかな円錐曲線で $\mathbb{P}^1$ に同型なので、同じ定理により $P$ は $X \smallsetminus \{0\}$ 上の Severi–Brauer スキームである。
• Zariski 局所的に自明でないこと。$P$ の生成ファイバーは $\mathbb{R}(t)$ 上の円錐曲線 $x^2 + y^2 = t z^2$ である。$\mathbb{R}(t)$ で $t$ は 2 つの平方の和でない（平方の和である有理関数は、定義されている実数の点で $0$ 以上の値をとるが、$t$ は $t < 0$ で負になる）。$z = 0$ の点は $x = y = 0$ を強いるので存在せず、したがって生成ファイバーは有理点をもたない。よって $X \smallsetminus \{0\}$ のどの空でない開集合の上にも $P$ の切断はなく、$P$ は $X \smallsetminus \{0\}$ のどの点の近くでも Zariski 局所的に自明ではない。判定定理の「有限エタール全射」を Zariski 開近傍に置き換えることはできない。