G環

同義語：G-ring

概要

前提知識: ネーター環、局所化、テンソル積、平坦性

定義に必要な言葉

以下、環は単位元をもつ可換環とする。ネーター局所環 $(A,\mathfrak m)$ の $\mathfrak m$-進完備化は、商 $A/\mathfrak m^n$ の整合的な列からなる環
$$ \widehat A=\varprojlim_{n\geq1}A/\mathfrak m^n $$
である。素イデアル $\mathfrak q\subset A$ の剰余体は $\kappa(\mathfrak q)=\operatorname{Frac}(A/\mathfrak q)$ と表される。
ここで局所環は唯一の極大イデアルをもつ非零環とする。Krull次元は素イデアルの真の包含列の長さの上限である。ネーター局所環 $(B,\mathfrak n,l)$（$l=B/\mathfrak n$）が正則であるとは、$\dim_l\mathfrak n/\mathfrak n^2=\dim B$ となることをいう。ネーター環が正則であるとは、すべての素イデアルでの局所化が正則局所環であることである。
体 $k$ 上のネーター代数 $B$ が幾何学的に正則であるとは、任意の有限次体拡大 $k'/k$ に対し、$B\otimes_k k'$ が正則であることをいう。単に $B$ 自身が正則であることとは区別する。

形式的ファイバー

ネーター局所環 $A$ の素イデアル $\mathfrak q$ における形式的ファイバーは
$$ \widehat A\otimes_A\kappa(\mathfrak q) $$
という $\kappa(\mathfrak q)$-代数である。完備化写像 $A\to\widehat A$ のファイバーを、閉点だけでなく各素イデアルで見る。

G環

ネーター環 $R$ が G環（G-ring）であるとは、すべての素イデアル $\mathfrak p$ に対し、局所環 $R_{\mathfrak p}$ のすべての形式的ファイバーが、対応する剰余体上幾何学的に正則であることをいう。

同じ条件は、すべての完備化写像 $R_{\mathfrak p}\to\widehat{R_{\mathfrak p}}$ が正則準同型であるとも表される。ここで正則準同型は、平坦で、すべてのファイバーが幾何学的に正則な準同型を意味する。平坦とは、テンソル積を取る操作が完全列を保つことである。ネーター局所環の完備化写像は平坦なので、上の二つの表現は一致する。 Stacks, G-rings

直感：完備化への移行をファイバーで調べる

完備化は、局所環を無限級数を扱える形に近づける操作である。G条件は環自体が正則であることを要求するのではなく、局所化してから完備化する写像のファイバーに正則性を要求する。対象となる環と、写像のファイバーを区別するのが要点である。

例

体はG環である

体 $k$ の唯一の素イデアルは $(0)$。その局所化は $k$ 自身で、$(0)$-進完備化も $k$ である。形式的ファイバーは $k$、任意の有限次拡大 $k'/k$ による基底変換後は $k'$ となる。体は次元0の正則局所環なので、$k$ はG環である。

正則でないG環

$A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ は基底 $1,\varepsilon$ をもつ有限次元の $k$-代数なのでネーター的である。素イデアルは冪零元 $\varepsilon$ を含み、商 $A/(\varepsilon)$ は体なので、唯一の素イデアルは $\mathfrak m=(\varepsilon)$ である。また $a+b\varepsilon$（$a\neq0$）の逆元は $a^{-1}-ba^{-2}\varepsilon$ なので、$A$ はこの極大イデアルをもつ局所環で、$A_{\mathfrak m}=A$ となる。$\mathfrak m^2=0$ なので完備化は $A$ 自身となり、唯一の形式的ファイバーは $k$ である。体の例と同様に、これは幾何学的に正則なので $A$ はG環である。
一方、$\dim A=0$ だが $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=1$ なので、$A$ 自身は正則でない。G環は正則環の別名ではない。

判定を簡単にする定理

極大イデアルでの判定

ネーター環 $R$ がG環であることは、すべての極大イデアル $\mathfrak m$ について $R_{\mathfrak m}\to\widehat{R_{\mathfrak m}}$ が正則準同型であることと同値である。特にネーター局所環 $A$ は、$A\to\widehat A$ が正則であることにより判定できる。 Stacks, Lemma 15.51.7

これは全素イデアルによる定義を短縮できるという定理である。ただし、選んだ各写像の全ファイバーを調べることは変わらない。「極大イデアルだけで局所化すればよい」と「閉点ファイバーしか見なくてよい」は別である。

保存される操作と主要な例

G環の局所化、任意のイデアルによる商、有限型代数はG環である。したがって体上の有限型代数の局所化、たとえば $k[x_1,\ldots,x_n]_{\mathfrak p}/I$ もG環である。また $\mathbb Z$ と完備ネーター局所環もG環であり、それらの有限型代数にも適用できる。 Stacks, Propositions 15.51.10, 12

完備局所環への適用

ネーター局所環 $A$ が極大イデアル進位相で完備なら、$A\to\widehat A$ は同型である。同型は平坦で、各ファイバーはその点の剰余体であり幾何学的に正則である。従って上の極大イデアル判定を適用すると $A$ はG環となる。「$A$ のすべての局所化が完備である」という誤った主張は必要ない。

ここで完備化の種類を区別する。ネーター局所環の極大イデアル進完備化は常に完備ネーター局所環なのでG環となる。一方、一般のG環を任意のイデアルで完備化してもG性が保たれるとは限らない。後者は外部の反例として知られており、構成の詳細は本記事では扱わない。 Stacks, Remark 15.51.11

完備化で何が保たれるか

被約性・正規性の移行

ネーター局所G環 $A$ について、次が成り立つ。

$A$ が被約なら $\widehat A$ も被約。
$A$ が正規なら $\widehat A$ も正規。
ここでネーター環が正規とは、各素イデアルでの局所化が整閉整域であることをいう。G性単独から被約・正規を結論するのではなく、元の環の性質を完備化へ移せるという帰結である。 Stacks, Lemma 15.43.1 、 Lemma 15.53.6

被約性は正則準同型 $A\to\widehat A$ に沿った移行定理から従う。正規性は、幾何学的正則な形式的ファイバーが正規でもあることと、上記の形式的ファイバーの定理を用いる。
ネーター局所G環は永田環でもある。実際、幾何学的正則な形式的ファイバーは幾何学的に被約であり、それが局所環の永田性と同値だからである。 Stacks, Lemma 15.53.4

G環でもCMとは限らない

$B=k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy)$ はG環かつ永田環だが、CM環でもGorenstein環でもない。形式的ファイバーの条件とホモロジー的な深さの条件は異なる。

次元と深さを計算する

$B$ は体上有限型環の局所化なので、両クラスの保存定理からG環かつ永田環である。$x$ は冪零で、$B/(x)\cong k[y]_{(y)}$ より $\dim B=1$。また $x\neq0$ である。もし局所化後 $x$ が $(x^2,xy)$ に入るなら、ある $s\notin(x,y)$ で $sx\in x(x,y)$。多項式環で $x$ を約分すると $s\in(x,y)$ となり矛盾する。一方、極大イデアル $(x,y)$ はすべて $x$ を零にするため、非零因子から始まる正則列を取れず深さ0。よって非CMであり、GorensteinならCMという定理によりGorensteinでもない。

用語と量化の注意

「G」はGorensteinの略ではなく、Gorenstein環とは別の条件である。
本記事は、可換環論で使うG-ringを扱う。対象の同型類や完全列の関係から構成するGrothendieck環（$K_0$など）とは別の記事にする。「Grothendieck環」単独を無条件の別名として登録しない。
局所環の閉点における形式的ファイバーは剰余体になるが、それだけを確認してG条件を満たしたと判断しない。定義はすべての局所化と、その全形式的ファイバーにわたる。
「幾何学的に正則」の体拡大条件を落とさない。

参考文献と証明の範囲

The Stacks Project Authors, More on Algebra, G-rings, Definition 15.51.1, Tag 07GG 。同節冒頭の形式的ファイバーの説明と、全素イデアルでの定義に従う。
体と双対数環の例では、完備化とファイバーを直接計算した。一般のネーター局所環の完備化写像が平坦であるという標準定理を、正則準同型による言い換えに用いている。この一般定理の証明は本記事の範囲外とする。
増補した一般的な特徴づけ・保存定理・完備化の帰結は、各段落で示した一次資料の定理を、記載された条件のもとで用いている。短い導出と具体例の計算は本文に記したが、引用した一般定理や難しい反例の構成まで本記事内で証明したとはしない。