Muirheadの不等式（高校数学）

$s=p-q$ とおく。右辺の 2 つの括弧を展開すると
$$ \bigl(x^t-y^t\bigr)\bigl(x^{s-t}-y^{s-t}\bigr)=x^s-x^ty^{s-t}-x^{s-t}y^t+y^s $$
で、これに $x^qy^q$ を掛けると $x^{q+s}y^q-x^{q+t}y^{q+s-t}-x^{q+s-t}y^{q+t}+x^qy^{q+s}$、つまり $x^py^q-x^{q+t}y^{p-t}-x^{p-t}y^{q+t}+x^qy^p$ になり、左辺と一致する。
符号：$u>0$ のとき、$x\mapsto x^u$ は正の数の範囲で増加なので、$x^u-y^u$ は $x-y$ と同じ符号である（$u=0$ なら $0$）。$t\ge0$、$s-t\ge0$ なので、2 つの括弧はどちらも $x-y$ と同じ符号か $0$ で、積は $0$ 以上である。$x^qy^q>0$ なので左辺は $0$ 以上である。$0< t< s$ かつ $x\ne y$ なら、2 つの括弧はどちらも $0$ でなく同じ符号なので、左辺は正である。$\square$

$[\gamma]$ は成分の並べかえで変わらないので、$\gamma=(p,q,r)$、$\gamma'=(p-t,q+t,r)$ としてよい。def-mui-mean の 6 項を、指数 $r$ が $c$、$b$、$a$ のどれに付くかで 2 項ずつに分けると
$$ 6[p,q,r]=c^r\bigl(a^pb^q+a^qb^p\bigr)+b^r\bigl(a^pc^q+a^qc^p\bigr)+a^r\bigl(b^pc^q+b^qc^p\bigr) $$
である。$[\gamma']$ も同じ形で、$p,q$ を $p-t,q+t$ に替えたものである。よって $6([\gamma]-[\gamma'])$ は、lem-mui-two の左辺の形の 3 つの式（$(x,y)=(a,b),(a,c),(b,c)$）に正の数 $c^r$、$b^r$、$a^r$ を掛けて足したもので、$0$ 以上である。$a,b,c$ がすべて等しくはないなら、3 つの組 $(a,b),(a,c),(b,c)$ の中に $x\ne y$ のものがあり、$0< t< p-q$ ならその式は正なので、$[\gamma]>[\gamma']$ である。$\square$

方針：$\alpha$ から出発し、lem-mui-step の取りかえ（1 段のならし）を 2 回以内行って $\beta$ に着けることを示す。各段で平均は大きくならないので $[\alpha]\ge[\beta]$ である。
準備。和が等しく $\alpha_1+\alpha_2\ge\beta_1+\beta_2$ なので $\alpha_3\le\beta_3$ である。よって
$$ \alpha_3\le\beta_3\le\beta_2\le\beta_1\le\alpha_1 $$
である。$\alpha_2$ と $\beta_2$ の大小で場合を分ける。
場合 A（$\alpha_2\ge\beta_2$）。
段 A1。第 1 成分 $\alpha_1$ から第 3 成分 $\alpha_3$ へ $t=\alpha_1-\beta_1$ を移し、$\gamma=(\beta_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3+\alpha_1-\beta_1)$ とする。lem-mui-step の条件 $0\le t\le\alpha_1-\alpha_3$ は、$\alpha_1\ge\beta_1$ と $\beta_1\ge\alpha_3$ から成り立つ。
段 A2。$\gamma$ の第 2 成分 $\alpha_2$ から第 3 成分 $\gamma_3=\alpha_3+\alpha_1-\beta_1$ へ $t'=\alpha_2-\beta_2$ を移す。和が等しいので $\gamma_3=\beta_2+\beta_3-\alpha_2$ である。条件 $0\le t'\le\alpha_2-\gamma_3$ は、$t'\ge0$（場合 A）と、$\alpha_2-\gamma_3-t'=\beta_2-\gamma_3=\alpha_2-\beta_3\ge0$（$\alpha_2\ge\beta_2\ge\beta_3$）から成り立つ。移したあとの組は $(\beta_1,\ \beta_2,\ \gamma_3+t')=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\beta$ である。
場合 B（$\alpha_2<\beta_2$）。
段 B1。第 1 成分 $\alpha_1$ から第 2 成分 $\alpha_2$ へ $t=\beta_2-\alpha_2>0$ を移し、$\gamma=(\alpha_1+\alpha_2-\beta_2,\ \beta_2,\ \alpha_3)$ とする。条件 $t\le\alpha_1-\alpha_2$ は $\beta_2\le\alpha_1$ と同じで、$\beta_2\le\beta_1\le\alpha_1$ から成り立つ。
段 B2。$\gamma$ の第 1 成分 $\gamma_1=\alpha_1+\alpha_2-\beta_2$ から第 3 成分 $\alpha_3$ へ $t'=\gamma_1-\beta_1$ を移す。$t'=(\alpha_1+\alpha_2)-(\beta_1+\beta_2)\ge0$ で、条件 $t'\le\gamma_1-\alpha_3$ は $\beta_1\ge\alpha_3$ と同じで成り立つ。移したあとの第 3 成分は $\alpha_3+t'=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\beta_1-\beta_2=\beta_3$ なので、組は $\beta$ である。
不等式。どちらの場合も、lem-mui-step を 2 回使って $[\alpha]\ge[\gamma]\ge[\beta]$ である。
等号。$a=b=c$ なら $[\alpha]$、$[\beta]$ はどちらも $a$ の（同じ和の）冪なので等しい。$\alpha=\beta$ でも等しい。逆に $\alpha\ne\beta$ で $a,b,c$ がすべて等しくはないとする。2 つの段の移す量がどちらも $0$ なら $\beta=\alpha$ になるので、移す量が正の段がある。その段で、移す量は lem-mui-step の上限 $p-q$ より真に小さいことを確かめる。

• 段 A1 で $t=\alpha_1-\alpha_3$ なら $\beta_1=\alpha_3$ で、準備の不等式から $\beta_1=\beta_2=\beta_3=\alpha_3$ である。和が等しいので $\alpha_1+\alpha_2=2\alpha_3$ となり、$\alpha_1\ge\alpha_2\ge\alpha_3$ と合わせて $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$、つまり $\alpha=\beta$ になって仮定に反する。段 B2 で $t'=\gamma_1-\alpha_3$ のときも、同じく $\beta_1=\alpha_3$ から $\alpha=\beta$ になる。
• 段 A2 で $t'=\alpha_2-\gamma_3$ なら、上の計算から $\alpha_2=\beta_3$ で、$\alpha_2\ge\beta_2\ge\beta_3$ より $\beta_2=\alpha_2$、つまり $t'=0$ である。
• 段 B1 で $t=\alpha_1-\alpha_2$ なら $\beta_2=\alpha_1$ で、$\beta_1=\beta_2=\alpha_1$ となり、$\alpha_1+\alpha_2\ge\beta_1+\beta_2=2\alpha_1$ から $\alpha_2\ge\alpha_1$、つまり $\alpha_2=\alpha_1=\beta_2$ で、場合 B の $\alpha_2<\beta_2$ に反する。
  よって移す量が正の段では $0<(\text{移す量})< p-q$ であり、lem-mui-step の後半によりその段で平均は真に小さくなる。したがって $[\alpha]>[\beta]$ である。$\square$

方針：$a,b,c$ に特別な値を入れ、$t$ を大きくしたり小さくしたりして指数を比べる。
段 1（和が等しい）。$a=b=c=t$（$t>0$）を入れると $t^{\lvert\alpha\rvert}\ge t^{\lvert\beta\rvert}$ である（$\lvert\alpha\rvert=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$）。$t=2$ では $2^{\lvert\alpha\rvert}\ge2^{\lvert\beta\rvert}$ から $\lvert\alpha\rvert\ge\lvert\beta\rvert$、$t=\frac12$ では $\bigl(\frac12\bigr)^{\lvert\alpha\rvert}\ge\bigl(\frac12\bigr)^{\lvert\beta\rvert}$ から $\lvert\alpha\rvert\le\lvert\beta\rvert$ である。よって和は等しい。
段 2（$\alpha_1\ge\beta_1$）。$a=t\ge1$、$b=c=1$ を入れると、$[\alpha]=\dfrac13\bigl(t^{\alpha_1}+t^{\alpha_2}+t^{\alpha_3}\bigr)$ である（6 項のうち、$a$ の指数が $\alpha_i$ の項が 2 つずつ）。$t\ge1$ なので $t^{\alpha_2},t^{\alpha_3}\le t^{\alpha_1}$ で、$[\alpha]\le t^{\alpha_1}$ である。一方 $[\beta]\ge\dfrac13t^{\beta_1}$ である。仮定 $[\alpha]\ge[\beta]$ から $t^{\alpha_1}\ge\dfrac13t^{\beta_1}$、つまり $t^{\beta_1-\alpha_1}\le3$ がすべての $t\ge1$ で成り立つ。もし $\beta_1>\alpha_1$ なら、$t$ を大きくすると $t^{\beta_1-\alpha_1}$ はいくらでも大きくなり（$t=3^{\frac2{\beta_1-\alpha_1}}$ で $9$）、矛盾する。よって $\alpha_1\ge\beta_1$ である。
段 3（$\alpha_1+\alpha_2\ge\beta_1+\beta_2$）。$a=b=t\ge1$、$c=1$ を入れると、各項は $t^{(\text{2 つの成分の和})}$ で、$[\alpha]=\dfrac13\bigl(t^{\alpha_1+\alpha_2}+t^{\alpha_1+\alpha_3}+t^{\alpha_2+\alpha_3}\bigr)$ である。指数の最大は $\alpha_1+\alpha_2$ なので、段 2 と同じ議論で $\alpha_1+\alpha_2\ge\beta_1+\beta_2$ である。
段 1〜3 により $\alpha\succ\beta$ である。$\square$